Aula 04 Funções. Professor Marcel Merlin dos Santos Página 1

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1 PARIDADE Define-se como paridade o estudo das características do que é igual ou semelhante, ou seja, é uma comparação para provar que uma coisa pode ser igual ou semelhante à outra. Função Par Define-se que é uma função par todo f(-x) = f(x), ou seja, os valores simétricos devem possuir a mesma imagem, ou seja, há uma simetria em relação ao eixo vertical. sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, todos os elementos do domínio possuem uma imagem correspondente e não há elementos no contradomínio sem ligação com o domínio. Função Ímpar Define-se que é uma função ímpar todo f(- x) = -f(x), ou seja, os valores simétricos possuem imagens simétricas, ou seja, há uma simetria com relação ao ponto de origem. FUNÇÃO INVERSA Define-se como função inversa toda função onde o domínio passa a ser contradomínio e vice-versa. Para que a função inversa exista é necessário que a função original seja bijetora. Seu objetivo é criar funções a partir de outras. Como obter Vamos analisar os conjuntos abaixo: Dados: A = {-2,-1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, por f:a B é definida pela fórmula f(x) = x + 5. PROPRIEDADES DE UMA FUNÇÃO Injetora Define-se que uma função é injetora quando elementos distintos do domínio possuem imagens distintas, ou seja, os elementos do conjunto A tiverem apenas um correspondente no conjunto B. Sobrejetora Define-se que uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio, ou seja, não podem faltar elementos no conjunto B sem ligação com o conjunto A. Bijetora Define-se que uma função é bijetora quando possuir características de injetora e 1º Passo: Inverter a função isolando x, o conjunto que era domínio vira contradomínio e vice-versa. 2º Passo: Inverter as posições de x e y na função e indicar a função inversa por f -1 B A. 3º Passo: Verificar se após a inversão do conjunto, ele ainda é uma função. Exemplo: Tendo f(x) = x + 5 encontrar a função inversa. Vamos escrever: y = x + 5 1º Passo: Inverter a função y = x + 5 y - 5 = x 2º Passo: x = y 5 será, y = x 5 ou f -1 (x) = x 5 Professor Marcel Merlin dos Santos Página 1

2 3º Passo: Verificar se é função D(f) y=x-5 Im(f) 3 y= y= y= y= y=7-5 2 Função Afim ou função do 1⁰grau Uma função definida por f:r R chama-se afim quando existem constantes a, b pertencentes ao conjunto dos números reais tais que f(x)=ax+b, para todo x R. A lei que define uma função afim é dada por: f(x)=ax+b (a,b R) a, constante que multiplica o coeficiente x, é chamado de taxa de variação e b é chamado de termo constante. O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox. Veja abaixo: Quando o valor de x é zero, a função afim cruza o eixo das ordenadas. Ou seja: 9(0)=;.0+< 9(0)=< Exemplo: f(x)=2x+6, tem-se: a=2 b=6 (cruzamento com o eixo das ordenadas) raiz: 2:+6=0 2: = 6 : = 6 2 = b=6 Raíz= Quando o coeficiente a é positivo, afirmamos que a função é crescente. Se a for negativo, a função é decrescente. O domínio da função afim, ou seja, o conjunto dos valores possíveis das abscissas (x), está dentro do universo dos números reais. A imagem da função afim, ou seja, o conjunto de valores possíveis das ordenadas (f(x) ou y), também está dentro do universo dos números reais: Domínio: D=R Imagem: Im=R Raíz de uma função Uma função afim (função de 1⁰grau) possui apenas uma raiz, ou seja, a função só cruza o eixo das abscissas em um ponto. Essa raiz pode ser obtida igualando a função à zero: 9(:)=;:+< 9(:)=0 ;:+<=0 : = < ; Função Linear Uma função definida por f:r R, tal que f(x)=ax para todo x R, onde a constante a R, é chamada de função linear, ou seja: f(x)=ax (a R) O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo x, e que cruza a origem do plano cartesiano, ou seja, (0,0): Domínio: D=R Imagem: Im=R Função constante Uma função definida por f:r R é chamada de constante para todo a=0 e b R, tal que f(x)=b para qualquer x R, ou seja: 9(:)=<(< R) O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ou coincidente ao eixo das abscissas, e cruza o eixo das ordenadas no ponto b: Professor Marcel Merlin dos Santos Página 2

3 :=R;ST 9(:)0 :>R;ST 9(:)>0 :<R;ST 9(:)<0 :R;ST 9(:)0 :>R;ST 9(:)<0 :<R;ST 9(:)>0 Taxa de variação (α) ( A taxa de variação de uma função afim corresponde ao coeficiente angular da reta. α é igual a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x. Para calcular a tangente, toma-se dois pontos que pertençam à reta, da seguinte maneira: ;=GH( )= K : =(K L K M ) (: L : M ) O estudo dos sinais da função afim é muito útil para a solução de inequações. Exemplo: 2x+6>0 Vamos afirmar que f(x)2x+6 Como definido anteriormente, Raiz: x-3 a2 positivo crescente Sendo a função crescente, tem-se: :>3,9(:)0 :>>3,9(:)>0 :<>3,9(:)<0 Logo, o intervalo que corresponde a solução da inequação é dada por: x]-3,+ [ Se α>0 >0, a função é crescente. Se α<0 <0, a função é decrescente. Sinal da função No estudo do sinal buscamos os intervalos nos quais a função possui determinadas características. Tem-se duas situações a serem Analisadas: -3 Inequação produto Uma inequação produto consiste de uma inequação dada pelo produto de duas ou mais funções. Para encontrar a solução, deve-se encontrar os valores de x que satisfaçam as condições estabelecidas pela inequação. Exemplo: Considere a equação do produto: (:+3).(>2:+8)>0 Estabelecem-se as seguintes funções: K M :+3 K L >2:+8 Encontram-se as raízes das equações: K M :+30 :>3 K L >2:+80 >2:>8 Professor Marcel Merlin dos Santos Página 3

4 : = 8 2 =4 Para encontrar a solução, deve-se fazer o estudo dos sinais para ambas as equações, ou seja: Logo, a solução da inequação pode ser escrita por: {x R -3<x<4} ou ]-3,4[ Inequação quociente Deve-se usar os mesmos recursos acima para encontrar a solução da inequação quociente. Porém, no denominador, devese adotar valores maiores ou menores que zero, mas nunca igual a zero. Exemplo: 2:+2 4: 2 0 Para resolver, adotam-se as seguintes funções: K M =2:+2 2:+2=0 2: = 2 : = 2 2 = 1 Y 1 / / /2 Logo, pode-se afirmar que a solução da inequação é: {x R -1 x<1/2} ou [-1,1/2[ Note que, para que não tenha divisão por zero, x não poderá ser ½. Logo, o intervalo deverá ser aberto em ½. K L =2: 1 2: 1=0 2: =1 : = 1 2 Estudando o sinal, tem-se: Professor Marcel Merlin dos Santos Página 4

5 Exercícios: 1- (Unesp) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade. Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa de absorção. Com base no gráfico, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é: a) m1 = m2 b) m2 = 2.m1 c) m1.m2 = 1 d) m1.m2 = -1 e) m1 = 2.m2 Resolução: A partir do gráfico, obtemos: a1= =8 2 =4 a2= =2 1 =2 Portanto, a1=2.a2, e a alternativa correta é E. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê uma venda de cópias. O custo fixo de produção do filme foi R$ ,00 e o custo por unidade foi de R$20,00 (fita virgem, processo de copiar e embalagem).qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo? a) R$20,00 b) R$22,50 c) R$25,00 d) R$27,50 e) R$35,00 Resolução: Se associarmos o custo total com a quantidade de cópias vendidas, teremos uma função afim: Custo total=20x(número de cópias)+r$ Assim, o custo total de cópias será de: Custo total=r$20x r$ = =R$ Portanto, o custo mínimo de cada cópia deverá ser: =R$27,50 3- A raiz da equação LefM =1 é um número compreendido entre: a) 0 e 1 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 8 e)9 e 15 Solução: 2:+1 : 3 2 =1 2.(2:+1) 3.(:) =1 6 4:+2 3:=6 : =6 2=4 g e L 4- Quantos números inteiros e positivos satisfazem a inequação e L +Lehi 0? a) Nenhum b)1 c)2 d) 3 e)4 Solução: : 2 +2: 7 =0 3 3:+2(2: 7) =0 6 3:+4: 14 =0 6 7: 14=0 : =2 5- O intervalo que satisfaz a inequação (:+5)( 2:+4)>0 é: a) ]-5, 2[ b) [-5, 2] c) [-5, 2[ d) [-2, 5] e) ]-2, 5[ Solução K M =:+5=0 g Professor Marcel Merlin dos Santos Página 5

6 : = 5 K L = 2:+4=0 2: = 4 : = 4 2 = Logo, {x R -5<x<2} ou ]-5,2[ 6- O intervalo que satisfaz a inequação hefl Lehj 0 é: : 2 kl : 5 2 n o pq n> r o Solução: K M = :+2=0 := 2 :=2 K L =2: 5=0 2:=5 := 5 2 Y 1 / 2 : :< / /2 Logo, {x R x 2 ou x>5/2} : 2 kl :< 5 2 Professor Marcel Merlin dos Santos Página 6