Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz

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1 Pesquisa Operacional Prof. José Luiz

2 Prof. José Luiz

3 Função Linear - Introdução O conceito de função é encontrado em diversos setores da economia, por exemplo, nos valores pagos em um determinado período de um curso. O valor a ser pago vai depender da quantidade de disciplinas que o aluno está matriculado. Imagine x o valor por disciplina e y o valor total a ser pago no período. Então, temos: y = f(x) y = número de disciplinas. x

4 Função do 1 Grau Denominamos função do primeiro grau a qualquer função f: R R, tal que: f(x) = ax + b (com a 0) O gráfico de uma função do 1 grau é sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y = b. O valor constante b da expressão ax + b é chamado coeficiente linear. O coeficiente a da expressão ax + b é chamado coeficiente angular e está associado ao grau de inclinação que a reta do gráfico terá (na verdade o valor de a é igual à tangente de um certo ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo horizontal).

5 Função Linear - Exemplos f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = -3 f(x) = -2x 7, onde a = -2 e b = 7 f(x) = x/3 + 2/5, onde a = 1/3 e b = 2/5 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

6 Representação no Plano Cartesiano Uma reta real é orientada a um eixo, e cada ponto está associado a um único número real. O ponto zero é chamado origem, portanto, qualquer ponto á direita de 0, o número será positivo; à esquerda, será negativo. E quando coincidir com o zero, será nulo. origem

7 Plano Cartesiano Vamos imaginar um número P = - 3. Teremos OP = - 3. Agora vamos praticar: Para P = -1 teremos OP = -1 Para P = +2 teremos OP = +2 origem P =

8 Plano Cartesiano Consideremos num plano α de dois eixos, x e y, perpendiculares em 0, um ponto A pertencente a α, existem apenas duas retas, r e s, que passam por A de modo que r // y e s // x. Eixos: X = eixo das abscissas y = eixo das ordenadas α = plano cartesiano

9 Plano Cartesiano O plano cartesiano está dividido em quatro quadrantes:

10 Plano Cartesiano - Exemplos Podemos então localizar os pontos A(2,3), B(-3,2), C(-2,-1), D(3,-2), E(3,0) e F(0,2):

11 Funções crescentes e decrescentes O gráfico de uma função de 1 grau y = ax + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo 1: Construir o gráfico da função y = 3x - 1 X Y = 3x /3 0

12 Funções Crescentes Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então, que a função y = 3x 1 é crescente.

13 Funções Decrescentes Exemplo 2: Construir o gráfico da função y = - 2x + 3 X Y = -2x /2 0

14 Funções Decrescentes Quando aumentamos o valor de x, os correspondentes valores de y diminuem. Dizemos, então, que a função y = -2x + 3 é decrescente.

15 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

16 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

17 PESQUISA OPERACIONAL TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO

18 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO Conceito: Consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, ou seja, o conjunto de pontos (x1, x2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. Gráfico: A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis é uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis é um dos semiplanos definidos pela reta correspondente à equação. Exemplo 1: Representar graficamente a inequação: x1 + 2x2 10 a) Construir a reta correspondente à equação x1 + 2x2 = 10 Precisamos de dois pontos: Fazendo x1 = 0, teremos 2x2 = 10 x2 = 5 Fazendo x2 = 0, teremos x1 = 10

19 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO b. Testar a inequação: x1 + 2x2 10 Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta, por exemplo o ponto (x1 = 10, x2 = 5). Substituindo na inequação: ou 20 10, o que é verdadeiro, portanto a região das soluções da inequação é aquela que contém o ponto testado.

20 MÉTODO GRÁFICO x2 0 x1

21 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO Exemplo 2: Representar graficamente a solução do sistema: x1 + 3x2 12 2x1 + x2 16 x1 0 x2 0 Solução: Vamos representar cada uma das retas correspondentes: 1. x1 + 3x2 = 12; se x1 = 0 x2 = 4; se x2 = 0 x1 = 12; A = (0; 4) e B = (12; 0) 2. 2x1 + x2 16; se x1 = 0 x2 = 16; se x2 = 0 x1 = 8; C = (0; 16) e D = (8; 0) As restrições de não negatividade x1 0 e x2 0 representam o primeiro quadrante do gráfico das soluções.

22 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO Verificar para cada reta qual a região que corresponde à solução da inequação. Para isso, escolhe-se um ponto fora das retas, por exemplo o ponto (8, 16). 1. x1 + 3x2 12; 1substituindo x1 = 8, x2 = 16, obtém-se: , ou 56 12; a desigualdade é falsa. Solução: região oposta. (Verificar flecha indicativa) 2. 2x1 + x2 16; substituindo x1 = 8, x2 = 18, obtém-se: , ou 32 16; a desigualdade é verdadeira (Flecha indicativa da solução na região do ponto testado.) A região de soluções aparece sombreada no gráfico.

23 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO

24 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO Avaliação do objetivo Devemos agora avaliar o desempenho da função objetivo: Maximizar L = 2x1 + 5x2 na região de soluções do gráfico a seguir.

25 Solução: Escolhemos um valor arbitrário para L, por exemplo, o valor 10. A equação: 10 = 2x1 + 5x2 fornece o conjunto de pontos (x1, x2) que dão para L o valor 10. Vamos representar esses pontos: 2x1 + 5x2 = 10 Se x1 = 0, então x2 = 10. Portanto, x2 = 10/5 ou x2 = 2 Se x2 = 0, então 2.x = 10, Portanto, x1 = 10/2 ou x1 = 5 Escolhemos um segundo valor para L, por exemplo, o valor 15, então: 2x1 + 5x2 = 15 Se x1 = 0, então x2 = 15. Portanto, x2 = 15/5 ou x2 = 3 Graficamente teremos: Se x2 = 0, então 2.x = 15, Portanto, x1 = 15/2 ou x1 = 7,5

26 2. Afastamento da origem 1. Retas Paralelas Verificamos do gráfico que: 1. À medida que atribuirmos valores a L, obtemos retas paralelas. 2. À medida que os valor de L aumenta, a reta se afasta da origem do sistema de eixos. Podemos concluir que pelo ponto P do gráfico, teremos a paralela de maior valor que ainda apresenta um ponto na região de soluções. Portanto, o ponto P é a solução que maximiza L na região de soluções dadas. Como P = (0, 6) e L = 2x1 + 5x2, substituindo x1 = 0 e x2 = 6, teremos: L = ou L máximo = 30

27 PESQUISA OPERACIONAL Exercícios Propostos 1 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar 1 unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 15 unidades monetárias e o do cinto é de 10 unidades monetárias, pede-se: O modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. Prof. José Luiz

28 PESQUISA OPERACIONAL 2 Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de R$ 25,00 e o lucro unitário de P2 é de R$ 35,00. A empresa necessita de 5 horas para fabricar uma unidade de P1 e 8 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 240 horas. A MP em peças utilizada para P1 é de 12 peças e para P2 é de 18 peças. A quantidade total de peças para os dois produtos é de 432 peças. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 50 unidades de P1 e 80 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. Prof. José Luiz

29 PESQUISA OPERACIONAL 6 Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, verificouse que P1 daria um lucro de R$ 120,00 por unidade e P2, R$ 150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos. Produto Recurso R1 por unidade Recurso R2 por unidade Recurso R3 por unidade Lucro P R$120,00 P R$150,00 Disponibilidade de recursos por mês Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Prof. José Luiz

30 Exemplo 1 Resolver o problema de programação linear: Minimizar Z = 2x1 + 3x2 Sujeito às restrições: x1 + x2 5 5x1 + x2 10 x1 8 x1 0 x2 0

31 Exemplo 1 Resolver o problema de programação linear: Minimizar Z = 2x1 + 3x2 Sujeito às restrições: x1 + x2 5 5x1 + x2 10 x1 8 x1 0 x2 0 Solução: a. Construir a região de soluções das restrições: 1. x1 + x2 = 5 Se x1 = 0, então 0 + x2 = 5 ou x2 = 5 Se x2 = 0, então x1 + 0 = 5 ou x1 = x1 + x2 = 10 Se x1 = 0, então x2 = 10 ou x2 = 10 Se x2 = 0, então 5.x = 5 ou x1 = 10/5 ou x1 = 2 3. x1 = 8 A representação gráfica é uma reta paralela ao eixo x2 pelo ponto x1 = 8

32 REGIÃO DE SOLUÇÕES DAS RESTRIÇÕES Tomando-se o ponto (5, 5) para o teste da região de solução de cada uma das inequações, temos, substituindo os valores x1 = 5 e x2 = 5: 1. x1 + x2 5, então ou 10 5 A desigualdade é verdadeira, flecha em 1 para a região do ponto testado. 2. 5x1 + x2 10, então ou A desigualdade é verdadeira, flecha em 2 para a região do ponto testado. A região resultante está sombreada na figura. 3. x1 8 substituindo x1 = 5, teremos 5 8. A desigualdade é verdadeira, flecha em 3 para a região do ponto (5, 5). b. Avaliar o desempenho da função objetivo. Arbitraremos dois valores para Z, por exemplo: Z = 12 e Z = 18 Para Z = 12, teremos: 2x1 + 3x2 = 12 Se x1 = 0, então x2 = 12 ou x2 = 4 Se x2 = 0, então 2.x = 12 ou x1 = 6

33 Para Z = 18, teremos: 2x1 + 3x2 = 18 Conclusão: Se x1 = 0, então x2 = 18 ou x2 = 6 Se x2 = 0, então 2.x = 18 ou x1 = 9 À medida que diminuímos o valor de Z, obteremos retas paralelas mais próximas da origem. Portanto, o ponto da região de soluções com o menor valor de Z é o ponto (5, 0). (Verificação no gráfico). Resposta: Ponto de Mínimo: x1 = 5; x2 = 0. Valor mínimo = = 10 Ponto (5, 0)

34 Exemplo 2 Resolver o problema de programação linear: MAX L = 2x1 + 3x2 Sujeito às restrições: 4x1 + 6x2 60 x1 + x2 12 x1 0 x2 0

35 Exemplo 2 Resolver o problema de programação linear: MAX L = 2x1 + 3x2 Sujeito às restrições: 4x1 + 6x2 60 x1 + x2 12 x1 0 x2 0 Solução: a. Construir a região de soluções das restrições: 1. 4x1 + 6x2 = 60 Se x1 = 0, então 0 + 6x2 = 60 ou x2 = 10 Se x2 = 0, então 4x1 + 0 = 60 ou x1 = x1 + x2 = 12 Se x1 = 0, então 0 + x2 = 12 ou x2 = 12 Se x2 = 0, então x1 + 0 = 12 ou x1 = 12

36 REGIÃO DE SOLUÇÕES DAS RESTRIÇÕES Tomando-se o ponto (15, 12) para o teste da região de solução de cada uma das inequações, temos, substituindo os valores x1 = 15 e x2 = 12: 1. 4x1 + 6x2 60, então ou A desigualdade é falsa, implica que a solução é oposta ao ponto testado. Flecha em 1. A região resultante está sombreada na figura. 2. x1 + x2 12, então ou A desigualdade é verdadeira. A solução é a região do ponto testado. Flecha em 2 b. Avaliar o objetivo na região de soluções: Arbitraremos dois valores para L, por exemplo: L = 24 e L = 45 Para L = 24, teremos: 2x1 + 3x2 = 24 Se x1 = 0, então x2 = 24 ou x2 = 8 Se x2 = 0, então 2.x = 24 ou x1 = 12

37 Para L = 45, teremos: 2x1 + 3x2 = 45 Se x1 = 0, então x2 = 45 ou x2 = 15 Se x2 = 0, então 2.x = 45 ou x1 = 22,5 Conclusão: Examinando o gráfico, concluímos que L atinge o maior valor na região de soluções sobre a reta 1. Portanto, todos os pontos do segmento PQ são soluções ótimas do modelo. Por exemplo: O Ponto Q: x1 = 15; x2 = 0. L = = 30 Ponto (15, 0)

38 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 1 MAXIMIZAR LUCRO = 2x1 + 3x2 Sujeito a: -x1 + 2x2 4 x1 + 2x2 6 x1 + 3x2 9 x1 0; x2 0

39 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO X2 1 MAXIMIZAR LUCRO = 2x1 + 3x X1

40 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 2 MAXIMIZAR RECEITA = 0,3x1 + 0,5x2 Sujeito a: 2x1 + x2 2 x1 + 3x2 3 x1 0; x2 0

41 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO X2 2 MAXIMIZAR RECEITA = 0,3x1 + 0,5x X1

42 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 3 MAXIMIZAR LUCRO = 2x1 + 3x2 Sujeito a: x1 + 3x2 9 -x1 + 2x2 4 x1 + x2 6 x1 0; x2 0

43 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO X2 3 MAXIMIZAR LUCRO = 2x1 + 3x X1

44 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 4 MINIMIZAR CUSTO = 10x1 + 12x2 Sujeito a: x1 + x2 20 x1 + x2 10 5x1 + 6x2 54 x1 0; x2 0

45 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO X2 4 MINIMIZAR CUSTO = 10x1 + 12x X1

46 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 5 MINIMIZAR Z = 7x1 + 9x2 Sujeito a: -x1 + x2 2 x1 5 x2 6 3x1 + 5x2 15 5x1 + 4x2 20 x1 0; x2 0

47 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO X2 5 MINIMIZAR Z = 7x1 + 9x X1

48 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 6 Resolver o problema 1 da lista 1. MÁXIMO LUCRO = 5x1 + 2x2; Sujeito a: 10x1 + 12x2 60 2x1 + x2 6 x1 0; x2 0

49 TÉCNICAS DE SOLUÇÃO PARA MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO GRÁFICO X2 MÁXIMO LUCRO = 5x1 + 2x X1

50 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 7 - MÁX L = 2x1 + 3x2 Sujeito a: 5X1 + 4X2 20-4X1 + 4X2 8 6X1 2X2 6 X1 0; X2 0

51 x2 x1

52 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 8 MÁX L = 6x1 + 4x2; Sujeito a: 4X1 + 5X2 20-6X1 + 6X2 12 9X1 3X2 9 X1 0; X2 0

53 x2 x1

54 Exercícios Propostos Resolver Graficamente o modelo de Programação Linear 9 MÁX L = 2x1 + 4x2; Sujeito a: 4X1-6X2 12 7X1 + 5X2 35 X2 4 X1 0; X2 0

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