Matemática I Cálculo I Unidade B - Cônicas. Profª Msc. Débora Bastos. IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE

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1 Unidade B - Cônicas Profª Msc. Débora Bastos IFRS Campus Rio Grande FURG UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE

2 Cônicas São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com um plano. De acordo com a posição relativa do plano com a reta geratriz do cone, o corte resulta numa curva diferente. Se o plano for paralelo a base do cone, a curva gerada pela intersecção é um círculo. Se o plano corta o cone não paralelamente à base e à geratriz a curva formada é uma elipse. Desde que o plano não contenha o vértice do cone. Na verdade o círculo é um caso especial de elipse. Se o plano corta o cone perpendicularmente à base a curva gerada é uma hipérbole. Desde que o plano não contenha o vértice do cone. Se o plano corta o cone paralelamente à geratriz e obliquamente à base do cone a curva formada é uma parábola. Da mesma forma que os anteriores, o plano não pode conter o vértice do cone. 13. Estudo do círculo. y 0 x 0 Círculo é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo. Este ponto fixo é chamado de centro e qualquer segmento que liga o centro a um ponto do círculo é o raio. Para chegarmos a equação que relaciona como a variável y depende de x, suponhamos um ponto P (x,y) este ponto, representando TODOS os pontos do círculo. A distância deste ponto ao centro C(x 0,y 0) é fixa. Sabemos que: d(c,p) = r ( x x0)² (y y0)² r Elevando os dois membros da equação ao quadrado obtemos: : (x x 0 )²+(y y 0 )²=r²

3 23 Considere C(x 0,y 0) e medida do raio r. Este tipo de equação do círculo é chamada de reduzida. Exemplos: 1. Determine a equação do círculo de centro em C(3,4) e medida do raio Determine a equação do círculo, cujo gráfico é: (a) (b) 3. Verifique se as equações abaixo representam círculos, em caso afirmativo determine as coordenadas do centro e a medida do raio. (a) : (x+2)²+(y-1)²=4 (b) : (x-1)² (y-3)²=9 (c) : (x-2)³+(y-1)³=16 (d) : (x+1)²+(y+5)²=7 (e) : (x-3)²+(y-1)²+25 = 0 (f) : (x-1)²+(y-3)²= 0

4 Equação Canônica do Círculo Basta dividir a equação reduzida por r², pois o formato canônico de equações de cônicas possuem o segundo membro igual a 1. 2 (x x ) r 2 (y y0) r : Com essa equação, identificamos o centro da cônica como o ponto C(a,b) e raio r. Exemplos: Determine a equação canônica do círculo considerando que os pontos A(3,4) e B(-5,8) formam um diâmetro para este círculo. 14. Elipse Além de ser gerada pelo corte do cone duplo por um plano obliquo à base e à geratriz, a elipse tem uma propriedade geométrica importante. Uma elipse de focos F 1 e F 2 é o conjunto dos pontos P(x,y) do plano cuja soma das distâncias a F 1 e F 2 é igual a uma constante 2a positiva, maior que a distância entre os focos d(f 1,F 2)= 2c. Os pontos A 1 e A 2 são os vértices da elipse, o segmento A 1A 2 é chamado de eixo focal e d(a 1,A 2)=2a. Já o segmento B 1B 2 é chamado de eixo não focal e d(b 1,B 2)=2b, em que a²=b²+c². O centro da elipse é o ponto médio dos eixos focal e não focal. Sob a condição 0 < c < a, podemos escrever: d(f 1, P) + d(f 2, P) = 2a A primeira forma que veremos considerará um caso particular em que os focos estão no eixo ox equidistantes da origem. Assim suas coordenadas são F 1(c,0) e F 2(c,0). Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes quadradas e substituindo o fato de a² = b² + c², obtemos a forma canônica da elipse:

5 25 x² y² : a² b² 1 Em que a = d(a 1,O), semi-eixo focal e b = d(b 1,O), semi-eixo não focal. Observação: Sabemos da astronomia que a trajetória dos planetas em torno do sol é elíptica. Em que o sol ocupa o lugar de um dos focos. Exemplos: 1. Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (4,0) e seus focos são os pontos (3,0) e (3,0). Determine a equação da elipse. 2. Uma elipse tem centro na origem e um de seus vértices sobre a reta 14 focal é (7,0). Se a elipse passa pelo ponto P, 5, determine sua 3 equação, seus vértices e seus focos. Podemos fazer translações horizontais e verticais alterando os eixos focais e não focais, consequentemente o centro da elipse deixa de ser a origem do sistema cartesiano. Após estas translações podemos constatar que o eixo focal continua horizontal, medindo 2a e o eixo não focal continua sendo

6 26 vertical, medindo 2b. A distância entre os focos continua sendo 2c e a relação a² = b² + c² continua válida. Já as coordenadas dos focos, vértices focais e vértices nãofocais alteram totalmente. Considere que as coordenadas do centro da elipse, ponto médio dos focos ou vértices, são C(x 0,y 0). Já que A 1, A 2, F 1, F 2 e C estão alinhados horizontalmente, todos estes pontos tem a mesma ordenada (coordenada y). Precisamos associar quem são as abcissas destes pontos. Analogamente B 1, B 2 e C estão alinhamos verticalmente, por isso possuem a mesma abscissa (coordenada x). Falta-nos determinar as ordenadas destes pontos. Chegamos à seguinte conclusão: Vértices focais: A 1 (x 0 a, y 0) e A 2 (x 0 + a, y 0). Vértices não-focais: B 1 (x 0, y 0 b) e B 2 (x 0, y 0 + b). Focos: F 1 (x 0 c, y 0) e F 2 (x 0 + c, y 0). Note que agora a equação canônica da elipse é: (x : x )² a² 0 (y y )² b² 0 1 Observe a semelhança com a equação canônica do círculo. Exemplo: Os focos de uma elipse são os pontos (3,8) e (3,2) e o comprimento do seu eixo não focal é 8. Determine a equação da elipse e seus vértices. Além de translações podemos fazer rotações na elipse básica (centro na origem do plano cartesiano). Rotações sob ângulos quaisquer são complicadas, fogem do nosso interesse. Agora, rotação de 90º são simples e interessantes. Com esta rotação o eixo focal torna-se vertical e o eixo

7 27 não focal torna-se horizontal. Isso inverte as posições entre x e y, ou melhor, o eixo focal, cuja medida é 2a é paralelo agora ao eixo oy. O eixo não focal, cuja medida é 2b é paralelo agora ao eixo ox. Com essa inversão, lembrando que a > b, a equação da elipse fica: (x : x )² b² 0 (y y )² a² 0 1 Exemplo: Considere a elipse de centro no ponto (3,4), foco no ponto (3,1) e eixo focal medindo 6. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a equação da elipse. 15. Hipérbole Além de ser o corte do plano perpendicular à base do cone duplo, a Hipérbole tem outra propriedade geométrica. Uma hipérbole de focos F 1 e F 2 é o conjunto de todos os pontos P(x,y) do plano para os quais o módulo da diferença de suas distâncias a F 1 e F 2 é igual a uma constante 2a positiva, menor que a distância entre os focos é d(f 1,F 2)= 2c. Os pontos A 1 e A 2 são os vértices da Hipérbole e A 1A 2 é chamado eixo focal. Por definição, d(a 1,A 2)=2a. Os pontos B 1 e B 2 são chamados de vértices imaginários, o segmento B 1B 2 de eixo imaginário e d(b 1,B 2)=2b, considerando: c²= a² + b². A Hipérbole ainda possui um par de retas assíntotas, que são retas em que a curva se aproxima, mas nunca intersecciona, são as retas r 1

8 28 e r 2 no gráfico. O centro da Hipérbole o ponto médio do eixo focal que coincide com o ponto médio do eixo imaginário. Considerando 0 < a < c: : d(f 1,P) d(f 2,P) = 2a Para determinar a equação canônica da Hipérbole, consideraremos F 1(c,0), F 2(c,0), ou seja, pertencentes ao eixo ox, equidistantes à origem. Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes quadradas, o módulo e substituindo o fato de c² = a² + b², obtemos a forma canônica da hipérbole, centrada na origem: x² y² : 1 a² b² Observação: 1. Na forma canônica a equação das retas assíntotas são: b b r 1 : y x e r 2 : y x. a a 2. Chamamos de hipérbole equilátera quando o eixo focal tem a mesma medida que o eixo imaginário. 3. A origem da hipérbole exemplifica acima é a origem do plano cartesiano. Exemplos: 1. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos 8,0 e 8,0. Além disso determine os vértices e os vértices imaginários. 2. Os vértices de uma hipérbole são os pontos (3,0) e (3,0) e um de seus focos é o ponto (5,0). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo focal e suas assíntotas.

9 29 Se fizermos translações na hipérbole, horizontais ou verticais, a definição dos elementos desta cônica não se alteram. Por exemplo, medida do eixo focal é 2a, medida do eixo imaginário é 2b, d(f 1,F 2) = 2c, c² = a² + b², já que c > a. O que mudará? Coordenadas do centro, vértices e focos, assim como a equação canônica da hipérbole. Considerando as coordenadas do centro C(x 0,y 0), tem-se: Vértices focais: A 1 (x 0 a, y 0) e A 2 (x 0 + a, y 0). Vértices não-focais: B 1 (x 0, y 0 b) e B 2 (x 0, y 0 + b). Focos: F 1 (x 0 c, y 0) e F 2 (x 0 + c, y 0). b b Assíntotas: r1 : y y0 (x x0) e r2 : y y0 (x x0). a a E finalmente a equação da hipérbole, nestas condições: (x H : x )² a² 0 (y y )² b² 0 1 Exemplo: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da diferença das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10. Determine seus elementos principais.

10 30 Também podemos pensar na rotação da hipérbole por um ângulo de 90º. Os efeitos na hipérbole são semelhantes aos efeitos com a elipse. O eixo focal torna-se paralelo ao eixo oy, o eixo imaginário torna-se paralelo ao eixo ox. Observando que não há intersecção da hipérbole com o eixo imaginário o termo que fica subtraindo, com o sinal negativo é o referente à variável x, ou seja: (y H : y0)² (x a² x0)² b² (y 4)² (x 1)² Exemplo: Dada a equação da hipérbole H : 1, determine 9 16 os elementos principais desta cônica Parábola Além de ser originada pelo corte do cone duplo, quando o plano é paralelo a geratriz do cone, a parábola possui uma propriedade geométrica muito interessante que faz com que inúmeras aplicações do seu formato sejam utilizadas no nosso cotidiano. Assim como a antena parabólica, fornos solares, faróis de carro, etc. A propriedade que caracteriza a parábola e possibilita determinarmos a sua equação é o fato de qualquer ponto P(x,y) da parábola ser equidistante a F e a d, em que F é um ponto fixo, chamado foco, e d é uma reta fixa, chamada de reta diretriz. A reta que contém o foco F e é perpendicular à reta diretriz d é chamada reta focal. Podemos observar que a reta

11 31 focal é a reta de simetria da parábola. Podemos visualizar este fato dobrando o gráfico da parábola na reta focal, os lados da parábola se sobreporão. O ponto V, intersecção da parábola com a reta foca é chamado de vértice da parábola. Também é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz. A característica da equidistância nos possibilita obter a equação da parábola. : d(p,f)= d(p,d) Considerando a diretriz uma reta vertical, ou seja, d: x + p = 0 à esquerda do foco, F(p,0), pertencente ao eixo ox e manipulando algebricamente a igualdade acima, obtemos: : : y² = 4px Observação: A propriedade que se refere a ampla aplicabilidade do formato parabólico é o fato de feixes perpendiculares à diretriz da parábola serem refletidos pela superfície parabólica e incidirem num único ponto: o foco da parábola. Isso permite converter sinais fracos de tv, por exemplo, em um sinal de boa qualidade, colocando no foco da antena parabólica um receptor adequado. Exemplos: 1. Determine a equação da parábola, cuja diretriz é horizontal e o foco encontra-se no eixo oy, acima da diretriz. 2. Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco é o ponto:

12 32 (a) F (3, 0). (b) F (0,2). Dando mais ênfase às parábolas, cujas diretrizes são verticais, podemos assim como na elipse e na hipérbole, observar como as translações modificam o formato da equação desta cônica. Consideramos então que o vértice não é mais a origem, nem o foco está necessariamente no eixo ox. Considerando que o vértice é o ponto V(x 0,y 0) e a reta diretriz é d: x x 0 p = 0, obtém-se a equação da parábola: P: (y y 0 )²= 4p(x-x 0 ) Na equação o sinal fica positivo se a diretriz fica à esquerda do foco e o sinal fica negativo se a diretriz fica à direita do foco. Exemplo: Determine a equação da parábola, cuja reta diretriz possui equação x 9 =0 e o vértice tem coordenadas V(4,1).

13 33 Se analogamente ao que fizemos com a elipse e a hipérbole estudarmos a rotação das parábolas num ângulo de 90º teremos parábolas com a concavidade para cima ou para baixo, dessa forma estas cônicas serão os gráficos das funções quadráticas, às quais estudaremos mais profundamente na unidade E. 17. Exercícios. 1- Qual a equação do círculo que tem centro em (1,5) e raio de medida 11? 2- Determine a equação da reta s que passa pelo centro do círculo de equação : (x - 2) 2 + (y - 2) 2 = 2 e é paralela à reta de equação r: 3x + y 1 = Considere o quadrado circunscrito ao círculo de equação :(x-3) 2 +(y- 2) 2 = 1. Determine a medida da diagonal do quadrado. 4- Determine a posição relativa dos pontos A(1,1), B(3,9) e C(4,0) em relação ao círculo : x 2 +(y 2) 2 = Determine a posição relativa entre a reta s e o círculo em cada caso: (a) s: x 3y 2 = 0 e : (x+2) 2 + (y 1) 2 = 1 (b) s: y = 2x + 1 e : x 2 + (y-1) 2 4 = 0. (c) s: 4x + 3y + 4 = 0 e : (x 2) 2 + (y 1) 2 = Qual é a equação do círculo de centro em C(4,4) e é tangente à reta x + y 12 = 0? 7- Obtenha as equações das retas tangentes a : (x + 5) 2 + y 2 = 16 e que passam pela origem do plano cartesiano. 8- Dadas as equações de hipérboles abaixo, determine vértices, vértices imaginários, focos e assíntotas: x² y² (a) :

14 34 (b) : 36x² - 49y² = Obtenha a equação da parábola, cuja diretriz é d: x = 0 e foco F(4,0). 10- Obtenha as coordenadas do foco, F, vértice V e equação diretriz da parábola de equação. : x² = 32y. 11- Dadas as equações de elipses abaixo, determine vértices, pontos que definem o eixo não focal e focos: x² y² (a) : (b) : 36x² + 49y² = Determine a equação da elipse centrada na origem que possui a medida do eixo focal 10 e medida do eixo não focal Determine a equação da hipérbole centrada na origem com um vértice em (3,0) e um foco em (4,0). 14- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com foco no ponto (2,-1) e que passa pelo ponto (2,1). 15- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), com um vértice focal no ponto (3,2), cuja razão entre c e a, chamada de excentricidade das cônicas, é ½. 16- Considere a elipse de centro no ponto (1,1), foco no ponto (1,3) e excentricidade 3 5. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a equação desta elipse. 17- Obtenha o lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da soma das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a Determine os elementos principais da cônica dada sua equação: (x 1)² (y 3)² Determine a equação da hipérbole de centro no ponto (3,3), um vértice 2 no ponto (3,0) e assíntota de equação y x Determine a equação da parábola que possui vértice no ponto V(-1,4) e diretriz de equação x 8 = 0.

15 Determine a equação da parábola que possui foco no ponto F(3,1) e reta diretriz de equação x + 4 = Respostas dos exercícios item (a) fundamental: y 2 = 1(x 3), geral: 2x 2y 1 =0, reduzida: (b) fundamental: y 1 3(x 3), geral: 3x y , reduzida: y 3x (c) fundamental: y 5 = 0(x 3), geral: y 5 = 0, reduzida: y = 5 (d) fundamental: y 4 = -1(x 0), geral: x + y 4 = 0, reduzida: y = -x + 4 (e) só existe geral: x 3 = 0 2- (a) Não possui restrição. (b) A reta não pode ser vertical, pois a = tan e tan90º não existe. (c) A reta não pode ser vertical, pelo mesmo motivo anterior, pelo coeficiente angular e o coeficiente linear que é a intersecção da reta com o eixo oy não existe. 3- (a) Perpendiculares. P (b) Paralelas. (c) Concorrentes. P (d) Coincidentes. 4- s: 7x 3y = m: y 5 = 2(x 1) 17 7, , x-3y-5=0, 6x+y+3=0 e x+2y+4=0. H(0,1). 9- m: y 5 = 2(x 1) r = 13 y x 1 2