Simulado 1 Matemática IME Soluções Propostas

Transcrição

1 Simulado 1 Matemática IME 2012 Soluções Propostas 1 Para 0, temos: para cada um dos elementos de, valores possíveis em (não precisam ser distintos entre si, apenas precisam ser pertencentes a, pois não se exige que a função seja injetiva), totalizando possibilidades para restrita a, pelo Princípio Multiplicativo; para cada um dos elementos de, valores possíveis em (não precisam ser distintos, pois não se exige que a função seja injetiva, nem precisam ser pertencentes apenas a, pois não se exige que ), totalizando possibilidades para restrita a, novamente pelo Princípio Multiplicativo Portanto, mais uma vez pelo Princípio Multiplicativo, temos para um total de possibilidades Obs: Para ou, o total de possibilidades para é, trivialmente, igual 2 Assumindo um evidente equívoco no enunciado, e substituindo por na expressão dada, temos, por redução ao mesmo denominador: Esta expressão terá sempre valor inteiro, para qualquer inteiro, se o resto da divisão do numerador pelo denominador for sempre igual a zero Para verificar isso, pode-se utilizar a função, que associa a cada inteiro o resto de sua divisão por um número inteiro positivo fixo, denominado módulo, e que possui as seguintes evidentes propriedades: Note-se que a divisibilidade por um número equivale à divisibilidade por cada um dos seus fatores primos, na potência com que ocorrem em sua fatoração prima Assim, em nosso caso, bastará verificar que é nulo o resto da divisão do numerador por e por Calculando o resto da divisão do numerador por, temos: Temos, assim, para qualquer inteiro : se, então ; se, então Portanto, para qualquer inteiro, temos que, ou seja, é divisível por Calculando, de mesma forma, o resto da divisão do numerador por, temos:

2 Temos, assim, para qualquer inteiro : ; ; ; Portanto, para qualquer inteiro, temos que, ou seja, é divisível por Concluímos, então que, para qualquer inteiro, a expressão é divisível por, de modo que a expressão inicial é um número inteiro, para qualquer inteiro 3 Definindo,,, o sistema de equações torna-se: Definindo, ainda, a função, o novo sistema pode ser expresso da seguinte forma: Um sistema assim admite, evidentemente, soluções da forma, onde é uma solução da equação Uma evidente condição necessária (mas não suficiente) para que existam outras soluções é que a função cruze a bissetriz dos quadrantes ímpares, como na figura abaixo Ocorre que a função forma encontra-se completamente acima dessa bissetriz, não existindo, portanto, outras soluções que não sejam da Como a equação só possui a solução, o sistema original só possui uma solução, dada por 4 Expressemos a tangente da soma pedida em termos das raízes do polinômio dado:

3 Portanto, a tangente da soma pedida pode ser calculada com os coeficientes do polinômio dado: Assim, a soma pedida é igual a, a menos de múltiplos de 5 Designemos por: o número de caras obtidas por A no lançamento de suas o número de caras obtidas por B no lançamento de suas moedas; moedas; o número de caras obtidas por A após o lançamento das suas primeiras moedas, antes de lançar a última das suas moedas; o número de caras obtidas por A no lançamentos da sua última moeda ( ) Assim, Em razão da honestidade de todas as moedas lançadas e da independência entre todos os lançamentos, temos que:, de modo que: Pelas mesmas razões, também temos: Como:, obtemos: Portanto, a probabilidade de A obter mais caras, no lançamento de suas moedas, do que B, no lançamento de suas moedas, é igual a 6 A forma geral do determinante é a seguinte: Somando a cada coluna a sua coluna vizinha à direita, indo da esquerda para direita, o determinante adquire a seguinte forma, sem alterar seu valor:

4 Desenvolvendo o determinante pela sua primeira linha, obtem-se, com Portanto, 7 A seguinte identidade, válida para quaisquer números reais, e revela que a igualdade a ser demonstrada, válida para, e, depende de ser a expressão entre colchetes igual à unidade, para Isto pode ser demonstrado com o desenvolvimento do binômio, obtendo-se, com a observação de que : Extraindo o quadrado do módulo de seus membros, por meio de conjugados, obtem-se, com a observação de que : Utilizando-se a seguinte identidade, válida para quaisquer números reais, e : obtem-se, para : como desejado, demonstrando a validade da igualdade a ser demonstrada 8 Para o, abaixo, tracemos, inicialmente, as paralelas e, aos lados e respectivamente, formando o paralelogramo A D C' B' A'' B A' C Tracemos, também, as medianas, e do, e liguemos por segmentos de reta o ponto médio do lado do paralelogramo aos extremos da mediana Mostremos, inicialmente, que os comprimentos dos lados do, em destaque na figura, são iguais aos comprimentos das medianas do Note-se, inicialmente, que o lado do já é uma das próprias medianas do Já o comprimento do lado do é igual à metade da diagonal do paralelogramo, pois e são os pontos médios dos seus lados e, respectivamente Como as diagonais desse paralelogramo se encontram em seus pontos médios, temos que, e são colineares, e que, portanto, o comprimento da mediana do é igual à metade do comprimento da diagonal do paralelogramo e, assim, igual ao comprimento do lado do Por fim, sendo e segmentos paralelos de mesmo comprimento, por serem lados opostos do paralelogramo, e sendo o ponto médio da e o ponto médio de, temos então que os segmentos e também são paralelos de mesmo comprimento, constituindo assim os lados opostos um paralelogramo, de modo que seus outros dois lados, a mediana do e o lado do, também são segmentos paralelos de mesmo comprimento Portanto, os lados do tem os mesmos comprimentos das medianas do Já a área deste, em relação à do, pode ser mais facilmente obtida em relação à área do paralelogramo, da qual a área do é a metade, excluindo-se as áreas do, do e do

5 As áreas do e do são ambas iguais à da área do paralelograma, pois cada uma é igual à metade das áreas dos e, respectivamente, tendo mesma altura, mas apenas metade da base desses triângulos Note-se que tais triângulos que são congruentes e, portanto, tem áreas iguais à metade da área do paralelogramo Por fim, a área do é igual à da área do, pois, como já visto, é paralelo ao segmento BD e tem metade do seu comprimento, tornando esses triângulos semelhantes, com razão de semelhança igual a e, portanto, a relação entre suas áreas é igual a Como a área do é igual à metade da área do paralelogramo, segue-se que a área do é igual a da área do paralelogramo Conclui-se, assim, que a área do é igual a da área do paralelogramo e, portanto, igual a da área do 9 A figura a seguir apresenta as relações entre as variáveis necessárias para a determinação geométrica da abscissa da reta vertical cujos pontos de intercecção com a hipérbole dada formam com o foco de abscissa positiva um triângulo retângulo, onde é a distância dos focos ao centro da hipérbole, é a distância das diretrizes ao centro da hipérbole, e é a excentricidade da hipérbole Interessante observar que, como a inclinação das assíntotas da hipérbole é menor do que a inclinação dos catetos do triângulo retângulo pedido, existem necessáriamente duas soluções, uma à esquerda do foco ( ) e outra à direita do foco ( ) e(x-d) (x,0) c-x /2 /2 (c,0) e(x-d) Para a determinação de ambas as soluções para, basta a seguinte relação: sendo uma solução obtida com e a outra com Explicitando a abscissa e simplificando sua expressão, temos: Assim, para a hipérbole em questão, com e, as soluções são dadas por, para, e por, para 10 Para determinarmos as dimensões do cone circular reto, cujo volume é pedido, deve-se escolher uma seção cônica que contenha seu eixo e pontos de tangência de sua superfície com as esferas que fixam essas dimensões A figura a seguir ilustra a vista de topo das esferas inferiores B H C

6 Pela disposição das esferas inferiores, podemos ver que a seção vertical a ser escolhida deve passar pelos centros de esferas opostas, no quadrado que estes centros formam, que assim não se tangenciam e estão distantes ; por exemplo a seção que contém os centros e, passando pelo encontro das diagonais do quadrado A figura a seguir ilustra a seção obtida, incluindo o centro da esfera superior, que tangencia todas as inferiores A' A O B H C B' H' C' Duas conclusões iniciais, que facilitam a obtenção das dimensões do cone, são imediatamente extraídas dessa figura: o isósceles formado pelos centros das duas esferas inferiores e a esfera superior é retângulo em, pois a distância entre os centros e é igual a vezes a distância comum entre esses centros e o centro da esfera superior;, formado pela seção cônica propriamente dita, e o são semelhantes, por possuirem lados paralelos distantes ; mais exatamente, são homotéticos, com centro de homotetia localizado nos incentros coincidentes, por serem suas bissetrizes coincidentes Essas conclusões são suficientes para o cálculo da altura e do raio da base do cone circular reto, e seu volume pedido O tamanho da altura do cone pode ser calculada pela soma dos comprimentos de, de e de Lembrando que o ângulo do vértice também é reto, pela semelhança entre e, sua tangência com a esfera superior torna o comprimento de igual a Sendo a altura de um triângulo retângulo isósceles cuja hipotenusa com comprimento igual a, tem então comprimento igual a Por fim, tem comprimento igual a, por estarem as esferas inferiores apoiadas sobre a base do cone Portanto, temos que tem comprimento O raio da base do cone pode ser calculado por meio da razão de semelhança entre e, juntamente com o comprimento da hipotenusa Essa razão de semelhança pode ser determinada pela razão entre o comprimento da altura e o comprimento da correspondente altura Portanto, a razão de semelhança é igual a e o raio da base circular é igual a Assim, o volume pedido do cone é igual a