Curso de Geometria Analítica. Hipérbole

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1 Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 03 - Cônicas- Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola INTRODUÇÃO Cônicas são figuras curvas que podem ser obtidas de diferentes formas, entre elas através da intersecção de um plano com uma superfície de revolução, como por exemplo um cone. Circunferência Elipse Hipérbole Parábola As propriedades destas curvas podem ser estudadas sob o aspecto geométrico e através de um processo algébrico podemos obter as equações que representam cada uma destas curvas. CIRCUNFERÊNCIA: Dado um ponto C e um número real r>0, definimos circunferência de centro C e raio r, ao Lugar Geométrico dos pontos P do plano que distam r do ponto C, ou ainda, dos pontos P do plano que eqüidistam de r do ponto C. Isto é, D PC = r. Se representarmos os pontos P=(x,y) e C=(a,b) pelas suas coordenadas e considerando a fórmula da distância entre os pontos P e C, então a relação D PC = r pode ser escrita de seguinte forma: D PC = (x - a ) 2 + (y - b ) 2 = r ou (x - a ) 2 + (y - b ) 2 = r 2 Esta equação recebe o nome de Equação reduzida da Circunferência, pois a mesma representa todos os pontos P=(x,y) do plano que tem a distância igual a r do ponto (centro) C=(a,b). Se desenvolvermos esta equação obtemos a Equação Geral da Circunferência como segue: x 2 + y 2 2ax 2by + (a 2 + b 2 r 2 ) =0 Particularmente, para determinar a equação de uma circunferência, conhecendo 3 de seus pontos, basta resolver um sistema de 3 equações resultantes à aplicação de cada ponto na equação da circunferência em sua forma geral. Posições relativas entre pontos e Circunferências: Considerando o Ponto P = (x 0,y 0 ) e a circunferência de centro C=(a,b) e Raio r, teremos: i. P pertence à Circunferência se a distância entre o Ponto e o centro da circunferência for igual ao Raio, isto é (x 0 - a ) 2 + (y 0 - b ) 2 = r; r C P

2 ii. P é interno à Circunferência se a distancia entre o Ponto e o centro da circunferência for menor do que o Raio, isto é (x 0 - a ) 2 + (y 0 - b ) 2 < r; r C P iii. P é externo à Circunferência se a distancia entre o Ponto e o centro da circunferência for maior do que o Raio, isto é (x 0 - a ) 2 + (y 0 - b ) 2 > r. r C P Posições relativas entre retas e Circunferências: Considerando a reta ax + by + c =0 a circunferência de centro C=(x 0,y 0 ) e Raio r, teremos: i. A reta é tangente à circunferência se a distância entre o Centro da circunferência e a reta for igual ao raio, isto é: ax 0 + by 0 + c = r; a 2 + b 2 C r Observamos que neste caso existe um ponto comum entre a reta e a circunferência que é obtido pela solução do sistema das duas equações. ii. A reta é secante à circunferência se a distância entre o Centro da circunferência e a reta for menor do que o raio, isto é: ax 0 + by 0 + c < r; a 2 + b 2 C r Observamos que neste caso existem dois pontos comuns entre a reta e a circunferência que são obtidos pela solução do sistema das duas equações. iii. A reta é externa à circunferência se a distância entre o Centro da circunferência e a reta for maior do que o raio, isto é: ax 0 + by 0 + c > r; a 2 + b 2 C r Observamos que neste caso não existem pontos comuns entre a reta e a circunferência.

3 Posições relativas entre Circunferências: Considerando duas Circunferências de Centro C 1 =(a 1,b 1 ) e raio r 1 e de Centro C 2 =(a 2,b 2 ) e raio r 2, respectivamente, teremos: i. As circunferências são tangentes, externa ou internamente e teremos que a distância entre os centros será para cada caso: r 1 C 1 r 1 r 2 C 2 C 1 r 2 C 2 D C1C2 = r 1 + r 2 D C1C2 = r 1 - r 2 Observamos que neste caso existe um ponto comum entre as circunferências que é obtido pela solução do sistema das duas equações. ii. As circunferências são externa ou internamente sem pontos comuns e teremos que a distância entre os centros será para cada caso: r 1 C 1 r 1 r 2 C 2 C 1 r 2 C 2 D C1C2 > r 1 + r 2 D C1C2 < r 1 - r 2 Observamos que neste caso não existem pontos comuns entre as circunferências. iii. As circunferências são secantes e teremos que a distância entre os centros será: D C1C2 < r 1 + r 2 e D C1C2 > r 1 - r 2 r 1 r 2 Observamos que neste caso existem dois pontos C 1 C 2 comuns entre as circunferências que são obtidos pela solução do sistema das duas equações.

4 ELIPSE: Definimos Elipse ao Lugar Geométrico dos pontos P do plano, cuja soma das distâncias de dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos), é igual a um valor real constante 2a, com a 0, Isto é: Desta forma teremos: P F 1 + P F 2 = 2a B 1 Adotaremos as seguintes notações: P F 1 F 2 = Distância Focal da elipse = 2c; A 1 A 2 = Eixo Maior da elipse = 2a; B 1 B 2 = Eixo Menor da elipse = 2b; C = Centro da elipse; A 1 A 2 P = Ponto genérico(qualquer) da elipse; F 1 C F 2 F 1 C = F 2 C = c = Semi distância focal; A 1 C = A 2 C =a = Semi eixo maior; B 1 C = B 2 C =b = Semi eixo menor; B 2 Considerando que B 1 F 1 + B 1 F 2 = 2a, teremos que B 1 F 1 =a, assim o triângulo F 1 CB 1, que é reto em C, tem como catetos CF 1 =c e CB 1 =b e como hipotenusa B 1 F 1 =a, o que nos permite obter a seguinte relação, entre o eixo maior, o eixo menor e a distância focal de uma Elipse: a 2 = b 2 + c 2 Observamos que a relação entre a semi-distância focal e o semi-eixo maior, é um número real que chamamos de excentricidade (ε) da Elipse e nos permite avaliar o quanto ma elipse é excêntrica em relação a uma circunferência, assim teremos: c ε = Avaliando esta relação podemos afirmar que 0<ε<1. a Quando ε tende a 0(c=0), a elipse tende a ser uma circunferência; Quando ε tende a 1 (a=c), a elipse tende a ser um conjunto de duas retas coincidentes; Quando mais próximo de 1 estiver o valor de ε, mais excêntrica será a Elipse. Equação Geral da Elipse: Ao representarmos os elementos da elipse no plano cartesiano, pelas suas coordenadas cartesianas e aplicando a definição da Elipse teremos que PF 1 + PF 2 = 2a; Sendo P=(x,y), F 1 =(x F1,y F1) e F 2 =(x F2,y F2), teremos: y F2 F 2 y P (x-x F1) 2 + (y-y F1 ) 2 + (x-x F2 ) 2 + (y-y F2 ) 2 = 2a y C C P Considerando que esta equação tem como incógnitas y F1 F 1 apenas os valores de x e y (coordenadas do ponto P, ao resolver esta equação irracional chegaremos a uma equação de segundo grau de duas variáveis do tipo : Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 0 x F1 x C x F2 x P [com A, B, C, D, E e F IR (reais)] Esta equação representa a Equação Geral de uma Elipse no plano. Observamos que embora a Elipse seja representada por equação de segundo grau com duas variáveis, nem toda equação de segundo grau com duas variáveis representa uma Elipse.

5 Equação Reduzida da Elipse: Se representarmos a mesma Elipse em uma posição espacial no Plano Cartesiano, com centro na Origem e focos no eixo das abscissas, embora sua posição seja diferente, seus elementos tais como, eixos, distância focal, excentricidade etc, permanecem os mesmos. Desta forma podemos determinar uma equação mais simples para representar elipses com os mesmos elementos, assim y F1 = y F2 = 0 e x C = y C = 0, então a relação PF 1 + PF 2 = 2a resulta em: ou (x-x F1) 2 + (y-0) 2 + (x-x F2 ) 2 + (y-0) 2 (x-x F1) 2 + y 2 + (x-x F2 ) 2 + y 2 = 2a = 2a y P P Considerando ainda que a 2 = b 2 + c 2 ao resolver esta equação irracional chegaremos a uma x F1 x C x P x F2 equação do tipo: x 2 y 2 + =1 a 2 b 2 sendo a e b os semi-eixos da Elipse. Esta equação representa a Equação Reduzida de uma Elipse no plano. Observamos que embora a esta equação representa uma Elipse em posição especial, com centro na origem e Focos sobre o eixo das abscissas, poderá certamente, em termos de investigação de propriedades e cálculos, representar qualquer elipse do plano que tem os mesmos elementos (eixos, distância focal, excentricidade etc). A equação Reduzida de uma Elipse pode ser representada em outras formas dependendo a posição especial que ocupa no Plano Cartesiano assim teremos: F1 F1 C F2 C F2 x 2 y 2 y 2 x 2 + = 1 + = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 (x-x C ) 2 (y-y C ) 2 (y-y C ) 2 (x-x C ) 2 + = 1 + = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 F1 y C F1 C F2 y C C F2 x C x C

6 HIPÉRBOLE: Definimos Hipérbole ao Lugar Geométrico dos pontos P do plano, cuja diferença, em módulo, das distâncias de dois pontos fixos F 1 e F 2 (focos),é igual a um valor real constante 2a, com a 0, Isto é: Desta forma teremos: P F 1 - P F 2 = 2a B 1 Adotaremos as seguintes notações: P F 1 F 2 = Distância Focal da Hipérbole = 2c; A 1 A 2 = Eixo Real da Hipérbole = 2a; B 1 B 2 = Eixo Virtual da Hipérbole = 2b; C = Centro da Hipérbole; F 1 A 1 C A 2 F 2 P = Ponto genérico(qualquer) da Hipérbole; F 1 C = F 2 C = c = Semi distância focal; A 1 C = A 2 C =a = Semi eixo real; B 1 C = B 2 C =b = Semi eixo virtual; B 2 Considerando o triângulo A 1 CB 1, que é reto em C, tem como catetos CA 1 =a e CB 1 =b e como hipotenusa A 1 B 1 =a, o que nos permite obter a seguinte relação, entre o eixo maior, o eixo menor e a distância focal de uma Hipérbole: c 2 = a 2 + b 2 Observamos que a relação entre a semi-distância focal e o semi-eixo maior, é um número real que chamamos de excentricidade (ε) da Hipérbole e nos permite avaliar o quanto uma Hipérbole é excêntrica, assim teremos: c Avaliando esta relação podemos afirmar que ε>1. ε = Quando maior for o valor de ε, mais excêntrica será a Hipérbole. a Equação Geral da Hipérbole: Ao representarmos os elementos da Hipérbole no plano cartesiano, pelas suas coordenadas cartesianas e aplicando a definição da Hipérbole teremos que PF 1 - PF 2 = 2a; Sendo P=(x,y), F 1 =(x F1,y F1) e F 2 =(x F2,y F2), teremos: y F2 F 2 y P (x-x F1) 2 + (y-y F1 ) 2 - (x-x F2 ) 2 + (y-y F2 ) 2 = 2a y C C P Considerando que esta equação tem como incógnitas y F1 F 1 apenas os valores de x e y (coordenadas do ponto P, ao resolver esta equação irracional chegaremos a uma equação de segundo grau de duas variáveis do tipo : Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 0 x F1 x C x F2 x P [com A, B, C, D, E e F IR (reais)] Esta equação representa a Equação Geral de uma Hipérbole no plano. Observamos que, estruturalmente as Equações da Elipse e da Hipérbole tem a mesma equação geral e que embora a Hipérbole seja representada por equação de segundo grau com duas variáveis, nem toda equação de segundo grau com duas variáveis representa uma Hipérbole.

7 Equação Reduzida da Hipérbole: Se representarmos a mesma Hipérbole em uma posição espacial no Plano Cartesiano, com centro na Origem e focos no eixo das abscissas, embora sua posição seja diferente, seus elementos tais como, eixos, distância focal, excentricidade etc, permanecem os mesmos. Desta forma podemos determinar uma equação mais simples para representar Hipérboles com os mesmos elementos, assim y F1 = y F2 = 0 e x C = y C = 0, então a relação PF 1 - PF 2 = 2a resulta em: ou (x-x F1) 2 + (y-0) 2 - (x-x F2 ) 2 + (y-0) 2 = 2a (x-x F1) 2 + y 2 + (x-x F2 ) 2 + y 2 = 2a y P P Considerando ainda que c 2 = a 2 + b 2 ao resolver esta equação irracional chegaremos a uma x F1 x C x P x F2 equação do tipo: x 2 y 2 =1 a 2 b 2 sendo a e b os semi-eixos da Hipérbole. Esta equação representa a Equação Reduzida de uma Hipérbole no plano. Observamos que embora a esta equação representa uma Hipérbole em posição especial, com centro na origem e Focos sobre o eixo das abscissas, poderá certamente, em termos de investigação de propriedades e cálculos, representar qualquer Hipérbole do plano que tem os mesmos elementos (eixos, distância focal, excentricidade etc). A equação Reduzida de uma Hipérbole pode ser representada em outras formas dependendo a posição especial que ocupa no Plano Cartesiano assim teremos: F1 F1 C F2 C F2 x 2 y 2 y 2 x 2 = 1 = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 (x-x C ) 2 (y-y C ) 2 (y-y C ) 2 (x-x C ) 2 = 1 = 1 a 2 b 2 a 2 b 2 F1 y C F1 C F2 y C C F2 x C x C

8 PARÁBOLA: Definimos Parábola ao Lugar Geométrico dos pontos P do plano, que eqüidistam. isto é, tem a mesma distância de um ponto fixo F (foco) e de uma reta fixa d (diretriz). e Desta forma teremos: PF = Pd Adotaremos as seguintes notações: Ponto F = Foco da Parábola; P PF Ponto V = Vértice da Parábola; F Reta d = Diretriz Parábola; Reta e = Eixo Parábola; Pd V p FD = p = Parâmetro da Parábola FV =VD = p / 2 = Semi-Parâmetro da Parábola; Ponto P = Ponto genérico(qualquer) da Parábola; D d PF= Distância do Foco ao ponto P; Pd= Distância do ponto P à reta diretriz d; Equação Geral da Parábola: Ao representarmos os elementos da Parábola no plano cartesiano, pelas suas coordenadas cartesianas e aplicando a definição da Parábola teremos que PF = Pd; Sendo P=(x,y), F=(x F,y F) e d=ax+by+c =0, teremos: y F F ax+by +c (x-x F) 2 + (y-y F ) 2 = y P P a 2 + b 2 Considerando que esta equação tem como incógnitas apenas os valores de x e y (coordenadas do ponto P), d ao resolver esta equação irracional chegaremos a uma equação de segundo grau de duas variáveis do tipo : Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 0 x F1 x C x F x P [com A, B, C, D, E e F IR (reais)] Esta equação representa a Equação Geral de uma Parábola no plano. Observamos que, estruturalmente as Equações da Elipse, da Hipérbole e da Parábola tem a mesma equação geral e que embora a Parábola seja representada por uma equação de segundo grau com duas variáveis, nem toda equação de segundo grau com duas variáveis representa uma Parábola. Equação Reduzida da Parábola: Se representarmos a mesma Parábola em uma posição espacial no Plano Cartesiano, com Vértice na Origem e foco no eixo das ordenadas, embora sua posição seja diferente, seus elementos permanecem os mesmos. Desta forma podemos determinar uma equação mais simples para representar Parábolas com os mesmos elementos, assim x F = 0, y F = p/2 e a reta d tem equação y=p/2 (0x+y+ p / 2 =0, com a=0, b=1 e c= p / 2 ), então a relação PF = Pd resulta em: 0x + y + p / 2 F (x 2 + (y- p / 2 ) 2 = P 1 V ao resolver esta equação irracional chegaremos a uma equação do tipo: x 2 =2py sendo p o Parâmetro da Parábola. Esta equação representa a Equação Reduzida de uma Parábola no plano.

9 Observamos que embora a esta equação representa uma Parábola em posição especial, com Vértice na origem e Foco sobre o eixo das ordenadas, poderá certamente, em termos de investigação de propriedades e cálculos, representar qualquer Parábola do plano que tem os mesmos elementos. A equação Reduzida de uma Parábola pode ser representada em outras formas dependendo a posição especial que ocupa no Plano Cartesiano assim teremos: F d V V d F x 2 = 2py x 2 = 2py V F F V d d y 2 = 2px y 2 = 2px Diretrizes da Elipse e Hipérbole: Vimos que a Diretriz é parte integrante da definição de uma Parábola. As Elipses e Hipérboles tem também definidas suas diretrizes como retas perpendiculares, respectivamente, aos eixos Maior e Real a uma distância do Centro igual ao valor de a / ε, sendo a o semi-eixo (maior ou real) e ε a excentricidade da Elipse ou Hipérbole, conforme o caso. Considerando que ε = c / a, podemos assumir que a / ε = a 2 / c. Representando no plano cartesiano teremos. d 1 d 2 Onde d 1 e d 2 são as diretrizes da Elipse a / ε = a 2 / c a / ε = a 2 / c 2( a / ε )= 2(a 2 / c )

10 d 1 d 2 Onde d 1 e d 2 são as diretrizes da Hipérbole a / ε = a 2 / c a / ε = a 2 / c 2( a / ε )= 2(a 2 / c ) Observamos que as Diretrizes de qualquer cônica (Elipse, Hipérbole, Parábola), desempenham um papel especial para as mesmas e que por serem relacionadas com a excentricidade, sua posição em relação ao centro (origem) determina, propriamente seu tipo e espécie. Retângulo de Referência e Assíntotas da Hipérbole: Os Eixos Real (2a) e Virtual (2b) da Hipérbole são lados de um retângulo que, em função da relação c 2 = a 2 + b 2, determina a qualidade da Hipérbole, recebendo por isso a denominação de Retângulo de Referência da Hipérbole. As diagonais deste retângulo são duas retas chamadas Assíntotas da Hipérbole. Representando no plano cartesiano teremos: Assíntotas Observamos que as Assíntotas são retas que contem o centro da Hipérbole e os pontos de coordenadas (a,b), considerando, os valores positivos e/ou negativos, conforme a posição. Retângulo de referência

11 Cônicas: Relações complementares PF 1 ± PF 2 = 2a x 2 y 2 D 1 D 2 (x-x F1) 2 + y 2 ± (x-x F2 ) 2 + y 2 = 2a ± =1 a 2 b 2 y P Se definirmos a distância de um ponto P ao Foco por r (raio vetor) Considerando que PF 1 = r 1 e PF 2 = r 2, sendo D 1 e D 2 as Diretrizes F1 x F2 teremos, também as seguintes relações: r 1 = a + ε x e r 2 = a ε x, para a Elipse. D 1 D 2 a 2 = b 2 + c 2, 2a= eixo Maior, 2b= eixo Menor e 2c= dist. Focal y P F1 x F2 r 1 = ε x + a e r 2 = ε x a, para a Hipérbole. c 2 = a 2 + b 2, 2a= eixo Real e 2b= eixo Virtual e 2c= dist. Focal Definição geral de uma Cônica: Através do(s) Foco(s) e da(s) Diretriz(es), podemos enunciar uma definição Geral para as Cônicas, como segue: Dados um ponto F (foco) e uma reta d (diretriz), definimos como sendo uma Cônica, ao Lugar Geométrico dos pontos P do plano tais que PF = k Pd. Sendo: PF a distância do Ponto P ao Foco F; Pd a distância do ponto P à diretriz d; k um número real maior que zero. Conforme os valores assumidos por k, teremos: Para 0< k < 1, a Cônica será uma Elipse; Para k >1, a Cônica será uma Hipérbole; Para k = 1, a Cônica será uma Parábola.

12 Identificação de uma Cônica através de sua equação Geral Considerando a Equação Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0, com A, B, C, D, E e F IR (reais), sabemos que esta equação poderá representar uma Cônica. A identificação desta cônica é possível através da análise dos valores de A, B, C, D, E, F e os valores de G, H, I, assim determinados: A C/2 D/2 A C/2 G = C/2 B E/2 ; H = ; I = A + B D/2 E/2 F C/2 B Teremos então: G = 0 Cônica Falsa. H = 0 Parábola. G 0 H< 0 Hipérbole. G I < 0 H > 0 G I > 0 Cônica Falsa. A = B e C = 0 Circunferência. A B ou C 0 Elipse. Determinação da equação reduzida correspondente a uma Cônica I. A Cônica foi Identificada como sendo Elipse ou Hipérbole. Neste caso a Equação reduzida será do tipo: m x 2 + n y 2 + p =0. Sendo: m+n = I m n = H p = G/H II. A Cônica foi Identificada como sendo uma Parábola. Neste caso a Equação reduzida será do tipo: m x 2 + n y =0. Sendo: m = I m n 2 = 4G ou n = ( 4G/I ) Centro Universitário da FSA Prof.: Anastassios H.K.