Porque?

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João Pedro Madureira de Oliveira
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7 Parábola Dados um ponto F e uma reta d, com F d, seja p = d(f,d). Chamamos parábola o conjunto dos pontos P do plano que são equidistantes de F e d, i. é., d(p,f)= d(p,d). 7

8 Elementos da Parábola Foco: é o ponto F, Diretriz: é a reta d, Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz, Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com seu eixo, d(v,f) = d(v,a) 8

9 Construção da Parábola, dados o foco e a diretriz

10 Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos y: x 2 =2 py Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para cima e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para baixo. 10

11 Equação Reduzida da Parábola O eixo da parábola é o eixo dos x: y 2 =2 px Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a esquerda. 11

12 EXEMPLO 1. Achar as coordenadas do foco e a equação da diretriz das parábolas a) b) x 2 =8 y y 2 = 2x 12

13 EXEMPLO 2. Determine a equação da parábola sabendo que: a) Vértice V(0,0) e foco F(1,0) b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima. 13

14 TRANSLAÇÃO DE EIXOS 14

15 Consideremos no plano cartesiano xoy um ponto o (h,k), arbitrário. Vamos introduzir m novo sistema x o y tal que os eixos o x o y tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos ox e oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos. Translação de Eixos 15

16 Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: Ou x e y em relação ao sistema xoy, x e y em relação ao sistema x o y. Pela figura anterior, obtemos: x=x +h e y=y +k x =x-h e y =y-k Translação de Eixos que são as fórmulas de translação e que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro. 16

17 Equação da Parábola de Vértice Fora da Origem do Sistema 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y. A equação da parábola de vértice V(h,k) é: ( x h) 2 =2 p ( y k) 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x. ( y k) 2 =2 p( x h) 17

18 Equação da Parábola na Forma Explícita Sabemos que a equação da parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma padrão: ( x h) 2 =2 p ( y k) Uma equação nessa forma pode ser escrita como: y=ax 2 +bx+c que é chamada forma explícita da equação da parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y. Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua equação na forma explícita é x=ay 2 +by+c ( y k) 2 =2 p( x h) correspondente à forma padrão. 18

19 Exemplo 1. Determine a equação da parábola de foco em F(1,2) e diretriz d:x=5 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o foco e a equação da diretriz da parábola y 2 +6 y 8 x+1=0 19

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21 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f 2 )=2a. 21

22 Elementos da Elipse Focos: são os pontos F 1 e F 2, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Centro: é o ponto médio O do segmento F 1 F 2, Vértices: são os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2, Eixo maior: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a ( o segmento A 1 A 2 contém os focos e os seus extremos pertencem a elipse), Eixo menor: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b (B 1 B 2 ḻ A 1 A 2 no seu ponto médio). Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1. 22

23 Construção da Elipse, dados dois eixos: por pontos Marcam-se os focos F1 e F2 sobre Se o eixo hallan MN. los focos F1 y F2, como ya se ha explicado. Toma-se um ponto A qualquer do eixo maior, situado entre um dos Se focos toma e o un centro, punto e A com cualquiera o raio MA del e eje centro mayor, em situado F1 se traça entre o uno arco de r1 los e focos com o y raio el centro, NA e centro y con radio F2 se MA traça y centro o arco en r2; F1 estes se traza dois arcos el arco se 1 y con interceptam radio NA no y centro ponto F2 V da se elipse. traza el arco 2; estos dos arcos se cortan en el punto V de la elipse. Repetindo a mesma operação com outros pontos B, C, etc., vão-se determinando pontos da elipse que posteriormente se unem.

24 Equação Reduzida da Elipse Eixo maior sobre o eixo dos x: x a 2 2 y b Eixo maior sobre o eixo dos y x 2 b 2 + y2 a 2 =1 Relação fundamental: a 2 b 2 c 2 24

25 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é x 2 y 2 a 2 b

26 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x: a c 26

27 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos y: Proposição 1. (b) A equação de uma elipse cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é x 2 b 2 + y2 a 2 =1 27

28 Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y: c a 28

29 EXEMPLOS 1. Determinar: a medida dos semi-eixos, um esboço do gráfico, os focos e a excentricidade: (a) (b) 9 x y 2 =225 x y2 100 =1 29

30 EXEMPLOS 2. Uma elipse de centro na origem tem um foca no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação. 30

31 Equação da Elipse de Centro Fora da Origem do Sistema 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x. A equação da elipse de centro C(h,k) é: ( x-h) 2 ( y-k )2 + =1 a 2 b 2 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y. ( x-h) 2 b 2 + ( y-k )2 a 2 =1 31

32 Exemplo 1. Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4, -2), excentricidade e = ½ e eixo menor de medida 6. Qual é a equação desta elipse? 32

33 Exemplo 2. Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação 4 x 2 +9 y 2 8 x 36 y+4=0 33

34 34

35 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos hipérbole o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 ) - d(p,f 2 ) =2a (0<2a<2c, 2c= d(f 1,F 2 ) ). 35

36 Elementos da Hipérbole Focos: são os pontos F 1 e F 2, Distância Focal: é a distância 2c entre os focos, Centro: é o ponto médio O do segmento F 1 F 2, Vértices: são os pontos A 1 e A 2, Eixo Real ou transverso: é o segmento A 1 A 2 de comprimento 2a, Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B 1 B 2 de comprimento 2b, Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1. c 2 =a 2 +b 2 36

38 Equação Reduzida da Hipérbole Eixo real sobre o eixo dos x: x 2 a 2 y2 b =1 2 Eixo real sobre o eixo dos y: y 2 a 2 x2 b 2=1 38

39 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x: Proposição 1. (a) A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é x 2 a 2 y2 b 2 =1 39

40 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x: 40

41 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y: Proposição 1. (b) A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é y 2 a 2 x2 b 2=1 41

42 Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y: 42

43 As retas y=± b a x Assíntotas são chamadas assíntotas da hipérbole. São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. 43

44 EXEMPLO 1. Determinar na hipérbole a) A medida dos semi-eixos b) Um esboço gráfico c) Os vértices d) Os focos e) A excentricidade f) As equações das assíntotas 9 x 2 7 y 2 63=0 44

45 EXEMPLO 2. Determinar na hipérbole a) A medida dos semi-eixos b) Um esboço gráfico c) Os vértices d) Os focos e) A excentricidade f) As equações das assíntotas y x2 64 =1 45

46 Equação da Hipérbole de Centro Fora da Origem do Sistema 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x. A equação da hipérbole de centro C(h,k) é: ( x-h) 2 a 2 ( y-k)2 b 2 =1 2º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo y. ( y-k ) 2 a 2 ( x-h)2 b 2 =1 46

47 Exemplos 1. Encontre uma equação da hipérbole de vértices A1(1,-2) e A2(5,-2), sabendo que F(6, -2) é um dos seus focos. 2. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os vértices e os focos da hipérbole de equação: 9 x 2 4 y 2 54 x+8 y+113=0 47

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