Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado, obtemos, finalmente, Exercícios

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1 Cónicas 61 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado, obtemos, finalmente, que não contém radicais e é do segundo grau. 40x y 2-24xy + 168x - 168j = 0, 3.1. Determine os focos, os vértices e esboce as elipses cujas equações são: * 2 y, 2 x 2 y 2, - a) + =1 b) + = 1 ' c) Ax 2 +9y 2 = 36 d) x 2 +2>> 2 = Deduza uma equação da elipse a) de focos F(0, 1) e F,(0, 1) e eixo maior 4; b) de focos F(l, 1) e F,( 1,-1) e eixo maior 4-^" Escreva a equação da elipse que contém o ponto -y-j e cujos focos são F( JV,O) e F,(-Jzo) Escreva a equação da elipse de focos F(0, a) e F,(0, b) sabendo que um de seus vértices é a origem e que b > a > a) Mostre que se F,(x 0, y ü ) satisfaz a equação a b 2 então os pontos P 2 { x 0, y 0 ), F 3 (x 0, y 0 ) e P 4 ( x Q, y 0 ) também satisfazem, b) Conclua, a partir do item a), que a elipse é simétrica em relação a cada um de seus eixos e em relação à origem Utilizando régua e compasso, construa uma elipse conhecendo a) seus focos e o eixo maior; b) seus focos e o eixo menor; c) seus quatro vértices Mostre que a) os gráficos das funções definidas por f(x) = bjl - e f(x) = -bjl - ^, -a s * s a, são semi-elipses; b) se a < x 0 < a e y 0 = f (x 0 ), a equação da reta que contém (x 0, y 0 ) e cuja declividade é f'(x n ) é dada por Esta reta é chamada tangente à elipse **o, yy 0 _, a 2 b 2 no ponto (x, y 0 ). a 2 b 2

2 62 Geometria Analítica \ 3.8. Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à elipse 2 x 2 y a 2 b 2 no ponto (x 0, }> ). Esta reta é chamada normal à elipse em (x, y, j Determine o valor de k para que a reta seja tangente à elipse 2x ky ~9~ + T = Determine o ponto da elipse 18 8 mais próximo da reta 2x 3y + 25 = Considere uma semi-elipse e uma semi-reta como mostra a Figura 3.8. Se girarmos a semi-reta no sentido horário, em torno de P, em qual ponto da elipse ela tocará? Pr 2 Fig Mostre que, qualquer que seja o valor de t, o ponto (a cost, b sení) pertence à elipse a 2 b 2 Observação. Quando t varia de 0 a 2TT, O ponto {a cos /. b sen /) percorre a elipse, a partir do vértice A{a, 0), uma vez. são equações paramétricas da elipse. x = a cos t y = b sen t

3 68 Geomet ria Analítica \ (a) (b) Fig Determine os focos, os vértices e esboce as hipérboles cujas equações são: = c) 4x 2-9y = 0 y x b) =1 ; 9 25 d ) x 2 -y 2 = Deduza uma equação da hipérbole a) de focos F(3, 0) e F,(-3, 0) e vértices A(2, 0) e A,(-2, 0); b) de focos F(2, 2) e F,( 2, -2) e vértices A(l, l)e A,(-l, -1) Seja P o pé da perpendicular baixada do foco F da hipérbole 2 2 O. 2 b 2 a uma das assíntotas. Demonstre que F F = b e PO=a, Mostre que a) os gráficos das funções definidas por onde O é a origem do sistema de coordenadas. f(x)=b \\+~ ef(x)=-b \\+\, x e R V a 2 v a 1 são ramos de hipérbole; b) se y 0 = fix 0 ), a equação da reta que contém (jt 0, y 0 ) e cuja declividade éf\x 0 ) é dada por yoy_xox =l Esta reta é chamada tangente à hipérbole

4 Cónicas 69 no ponto (x 0, y 0 ) Mostre que nenhuma tangente à hipérbole passa pela origem Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à hipérbole no ponto (x 0, > ). Esta reta é chamada normal à hipérbole no ponto (x 0, >' 0 ) Deduza as equações da tangente e da normal à hipérbole 3.3 PARABOLA Dados um ponto F e uma reta r, chama-se parábola de foco F e diretriz r ao conjunto de pontos P do plano tais que d(p, F) = d(p, r). Construção. Pelo foco F traçamos a perpendicular à diretriz r e tomamos sobre esta perpendicular (chamada eixo da parábola) um ponto C. Por C traçamos uma paralela a r e com abertura igual a d(c, r) e centro em F determinamos nesta paralela os pontos P e P' da parábola. Unindo os pontos assim construídos, obtemos a parábola (Figura 3.14). Observe que se escolhermos o ponto C, sobre o eixo, de modo que d( C, r) < d(c, F), o arco traçado com centro em F e raio d(c, F) não intercepta a paralela à diretriz traçada por C. O ponto da parábola mais próximo de r c o ponto O (veja a Figura 3.14b) tal que d(0, r) = d(0, F). Este ponto é chamado vértice da parábola. r í f r F IC o ] (b) Fig. 3.14

5 Côn/cas 71 que é a equação da parábola. Nos demais casos, efetuando contas semelhantes, obtemos y = 1, - x- 4 a >=±r 4a 1 2 X V, 4 a que são, respectivamente, as equações das parábolas das Figuras 3.15b, c e d. Em todos os casos a = Ld(F,r). Exemplo. O gráfico da equação x = y 2 é a parábola de foco F( 1/4, 0) e diretriz x =1/4, pois, neste caso, 1/4a = 1, donde a = 1/4. Veja a Figura y i x = 4 i J X F -,0)/ 4 j y Fig Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são: a) y = \x 2 b) x = -\y c) y = x 2 d) x = 2>' Deduza uma equação da parábola a) de foco F( 0, -1) e diretriz y = 1; b) de foco F(~ 1, 0) e vértice (0, 0); c) de foco F( 1, 1) e vértice (0, 0) Deduza uma equação da parábola com vértice em V(6, 3) e cuja diretriz é a reta 3x 5y + 1 = Prove que toda parábola cujo eixo é paralelo ao eixo y tem uma equação da forma y = ax 2 + bx + c.

6 72 Geometria Analítica \ Qual é a forma geral das equações cujo eixo é paralelo ao eixo x? Deduza uma equação da parábola que contém o ponto (1,4), sabendo que seu eixo é paralelo ao eixo y e que seu vértice é o ponto (2, 3) Deduza uma equação da parábola que contém os pontos ( 1, 12), (1, 2) e (2, 0) e tem eixo paralelo ao eixo y Prove que numa parábola o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular ao eixo é duas vezes a distância do foco à diretriz a) Prove que a reta x 2a>, ay + x 0 = 0 é tangente à parábola x = ay 2 no ponto P(x 0, y 0 ). b) Mostre que a perpendicular à tangente em P(x 0, y 0 ) é bissetriz do ângulo formado por PF (onde F é o foco da parábola) e a paralela ao eixo da parábola, que contém P(x 0, y Q ) Uma partícula se move de modo que no instante í seu vetor posição é ÔP(t) = (r, At - t 2 ). Determine: a) uma equação cartesiana da trajetória da partícula; b) o instante em que a partícula se encontra mais próxima da reta y = Sejam a e b números reais tais que b > a > 0 e considere os pontos B(0, 0), B,(0, a + b), F(0, a) e 0, b). a) Mostre que as equações da elipse de vértice B e Bj e focos F e F. e da parábola de vértice B e foco F podem ser escritas, respectivamente, nas formas 1,, 1 a+b, y= y~+ x 2 a+b 4a b 1 2 y = x 2. 4 a b) Se os pontos (x, y e ) e (x, y ) pertencem, respectivamente, à elipse e à parábola do item a), mostre que }imy=y. c) A partir dos itens a) e b), conclua que a parábola de vértice B e foco F pode ser imaginada como a posição limite da elipse de vértices B e B, e focos F e F, quando o foco F l tende para o infinito. Observação. Veja na Seção 3.5 como a elipse pode ser obtida interceptando-se um cone com o plano. A posição limite descrita no item c) corresponde ao caso em que o plano é paralelo à geratriz do cone. 3.4 ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DE EIXOS Nos parágrafos anteriores vimos que a equação de uma cónica (elipse, hipérbole ou parábola) é sempre do segundo grau, isto é, é da forma ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + / = 0. Vimos, ainda, que quando o sistema de coordenadas é convenientemente escolhido, a equação da cónica reduz-se a uma das formas a b x x y 1 y 1 rm a "TT b = 1 OU 12 b a 2~ = 1 (H) >'= x 2,y= -^ x 2,x=-^-y 2 ou x= y 2. (P) 4 a 4 a 4 a Aa

7 80 Geometria Analítica \ y Efetua-se uma translação de eixos de modo que a nova origem seja o ponto ( 2. 3). a) Determine as coordenadas dos pontos (3, 2) e (5, 7) com respeito ao novo sistema. b) Escreva uma equação da reta y = 2x + 7 com respeito ao novo sistema Efetue uma translação de eixos tal que, em relação ao novo sistema, as equações das retas y = 2x 1 e x + 3y = 11 não contenham o termo constante. Escreva as equações destas retas em relação ao novo sistema Seja ^Oj^ um sistema obtido de xoy por uma translação. Determine a nova origem 0 t, sabendo que um determinado ponto tem coordenadas (3, 4) no sistema xoy e ( 2, 3) no sistema Jt,0 ] >, Seja ^O,^ uma translação de xüy cuja nova origem é 0,(4, 1) e x y 2 uma translação de x l 0 ] y l cuja nova origem (no sistema J^OJ,) é 0 2 ( 1, 2). a) Determine as coordenadas de 00,,0,0 2 e 00 2 em relação a cada um dos três sistemas. b) Verifique que 00 2 = 00,+ 0,0 2, em qualquer um dos três sistemas Mostre que, quando se efetua uma translação de eixos, as coordenadas de um vetor AB (sendo A e B dois pontos quaisquer) não se alteram Efetua-se uma rotação de eixos de um ângulo 9 no sistema x0y. Sabendo que, em relação ao sistema xoy, o ponto P é dado por (5, -J3) e que, em relação ao novo sistema, é dado por (4, 2«j3), determi-, - ^ ne o ângulo 6. "K337J Determine as coordenadas do ponto P(2, 5) em relação ao sistema obtido do sistema xoy por uma rotação de um ângulo d tal que tg 0 = 1/ Seja XjOv, o sistema obtido de xqy por uma rotação de 30 no sentido anti-horário, e x 2 0^y 2 o sistema obtido de por uma translação em que a nova origem (no sistema xfiy^ é o ponto 0 2 (3, 2). a) Determine as coordenadas do ponto P nos sistemas xqy e x 2 0^y 2, sabendo que no sistema ele é dado por (2, 1). b) Determine as coordenadas do ponto Q no sistema xoy, sabendo que no sistema x y 2 ele é dado por (1,2) Se xoy e xfi 1 y 1 são os sistemas de coordenadas mostrados na Figura 3.23, determine as equações de mudança de xov para XjOjy,.

8 Cónicas Dada a equação ax- + by 1 + cxy + dx + ey + f = 0, demonstre que se pode eliminar o termo em xy com uma rotação de eixos de um ângulo igual a TT/4 radianos, s ea = b,e igual a Esboce o gráfico das seguintes equações 1 c arctg 2, se a 4= b. a-b a) A(x - 1)- + 9v 2 = 36; b) x 1 - v 2-22x = 0; c) x 2 - Í6v 2-32v - 32 = 0; d) 16>' = x 2 + Hx + 32; e) xy = 1; f) xy-2y- 4x = 0; g) x 2 + y 2 + xy = 3; h) x 2 + 4y 2 + 4xy + I2x - 6y = 0; i) 41x 2 + 4\y 2-18x>' - 384x - 384? = Calcule a área do triângulo formado pelas retas x = 1, y = 2 e a tangente à cónica 4+VíP no ponto 2, x 2 + 4y 2-2x - 16y + 13 = EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU Já vimos que as cónicas (elipse, hipérbole e parábola) são subconjuntos do plano cujas equações são do segundo grau. Nos exemplos seguintes apresentaremos outros subconjuntos do plano cujas equações são, também, do segundo grau. Exemplo. Determine uma equação do segundo grau cujo gráfico seja o subconjunto constituído das retas r : ax + by + c = 0 s : a x x + + c, = 0.

9 86 Geometria Analítica \ cujo gráfico é uma elipse, se A, B e A tiverem o mesmo sinal, ou uma hipérbole, se os sinais de - AeB forem contrários a) Deduza uma equação do segundo grau cujo gráfico seja o subconjunto formado pelas retas r e s da Figura Fig b) Deduza duas equações do segundo grau, (E,) e ( 2 ), cujos gráficos sejam, respectivamente, as retas r e s. c) Multiplique (E,) por (E 2 ) e obtenha uma equação do quarto grau em x e y cujo gráfico é o par de retas formado por r e s Dê exemplo de uma equação da forma ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, onde os coeficientes a, b, c, d, e e/sejam todos não-nulos, cujo gráfico seja o conjunto vazio Mostre que o gráfico de é o par de assíntotas da hipérbole Dada a equação demonstre que o número =i a 2 b 2 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F= 0, (I) A = B 2 - é invariante por rotação ou translação, isto é, se 4AC A.XJ + B.JC, >', + C, >'? +D,x t +E,y l +F = 0 " é a equação que se obtém de (I) efetuando-se uma rotação ou translação de eixos, então A=B, 2 4A,C[ =B 2 4AC.

10 88 Geometria Analítica \ A cónica é uma elipse, hipérbole ou parábola, conforme o número e seja, respectivamente, menor, maior ou igual a 1. Exemplo. Equação da cónica (elipse) de foco F(l, 0), excentricidade 1/2 e que tem por diretriz a reta de equação x = 4. Solução. Seja P(x, y) um ponto da cónica. Aplicando a definição unificada, temos que é equivalente a 3x y 2 = 12, que é a equação procurada. Observe que, reescrevendo a última equação assim vemos que a cónica é, de fato, uma elipse e que seu outro foco é F,( 1,0). Veja a Figura A reta d\ de equação x = 4, é também uma diretriz da elipse. y d' d Fig Deduza uma equação da cónica de foco F(2, 0) com excentricidade e diretriz a) e =, x = 8;

11 Cónicas 89 1 b) e = 4, x = -; 2 c) e = 1, x = Demonstre que a elipse 1 H < a é a cónica de foco F(c, 0), excentricidade e = c/a e diretriz x = a/e ou a cónica de foco F,(~c. 0), excentricidade e = c/a e diretriz x = a/e, onde c = -Ja 2 -b Demonstre que a hipérbole 4-í-i a 2 b 2 é a cónica de foco F(c, 0), excentricidade e = c/a e diretriz x = «/<? ou a cónica de foco F,( c, 0), excentricidade e = e/a e diretrizx = a/e, onde c=~ja^~b 2 ou c=~jb 2 a ' Demonstre que a parábola é a cónica de foco F(0, a), excentricidade e = 1 e diretriz y = 4 a -a.