CÔNICAS. Cristianeguedes.pro.br/cefet

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1 CÔNICAS Cristianeguedes.pro.br/cefet

2 Seções Cônicas São curvas obtidas pela interseção de um cone com um plano.

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4 Circunferência É o lugar geométrico plano dos pontos que estão à mesma distância r de um ponto C dado (centro ). Equação reduzida da circunferência Considere o ponto C de coordenadas ( C, y C ), chamado centro, e a distância r, chamada raio. Os pontos pertencentes à circunferência Ω devem atender à equação:

5 Tal equação é obtida a partir da aplicação do teorema de Pitágoras a todos os pontos da circunferência. Se P ϵ Ω d pc = r Equação geral Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se: y y y y r 0 c c c c y a by c 0 com a, b e c constantes reais.

6 Elipse É o lugar geométrico plano no qual a soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva até dois pontos dados F 1 e F (focos), é constante e maior que a distância entre os focos. Elementos Focos: os pontos F 1 e F Eio maior: o segmento A A 1 A, que passa pelos focos (A 1 A = a) Centro: o ponto O, médio de A 1 A A 1 A Eio menor: o segmento B 1 B, perpendicular a A 1 A A 1 A, que passa por O (B 1 B = b). Distância focal: a distância c = F 1 F entre os focos

7 y B1 (0;b) P(;y) a A1 A F1(-c;0) 0 F(c;0) (a;0) B (0; -b)

8 y b F a

9 y F a F1 b

10 y F1 y C(, y ) F b F a a C(, y ) F1 b

11 Equação Elipse com eio maior na horizontal (a > b): Elipse com eio maior na vertical (a > b): Ecentricidade A razão e = c/a (com c a).

12 Propriedade Refletora Uma propriedade muito importante da elipse é que qualquer raio luminoso ou onda sonora que saia de um dos focos será refletido pela elipse na direção do outro foco, conforme indicado na figura abaio:

13 Aplicações A propriedade refletora justifica algumas aplicações da elipse como, por eemplo, a aplicação óptica de um dispositivo de iluminação usado em consultórios odontológicos. Este dispositivo consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se coloca no foco mais próimo. A luz da lâmpada é concentrada pelo espelho no outro foco, ajustandose o dispositivo de forma a iluminar o ponto desejado.

14 Aplicações Na astronomia, a descoberta do cometa Halley é paradigmática. Em 1704 Edmund Halley estudou as órbitas de vários cometas, para as quais eistiam dados. Concluiu que os cometas de 168, 1607, 1531 e 1456 eram afinal um único cometa que descrevia uma órbita elíptica à volta do sol com um período de cerca de 76 anos. Fez a previsão correta de seu retorno em 1758, o que fez que o cometa ficasse conhecido pelo seu nome.

15 Aplicações Investigações recentes sugerem que os chineses tivessem registrado este cometa em cerca de 40 a.c... Mesmo depois de Copérnico, que no século XVI formulou a teoria heliocêntrica, se acreditava que o Movimento natural era o movimento circular e, por isso, os planetas deveriam seguir esse tipo de trajetórias à volta do sol. Foi o astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler, em 1969, que descobriu que cada planeta descreve uma elipse de que o sol ocupa um dos focos (1 primeira lei de Kepler). O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e a construção de espelhos parabólicos.

16 Parábola Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico plano dos pontos que equidistam de r e F. Elementos Foco: o ponto F Diretriz: a reta r Eio de simetria: a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eio de simetria Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz, i.e, p = FD

17 Equação Forma geral: Pelas coordenadas do vértice: Equação reduzida concavidade para cima: concavidade para baio: Parábola com diretriz na vertical:

18 Propriedade Refletora A propriedade de destaque na parábola, denominada de propriedade de refleão, é o fato de que todo raio luminoso ou onda sonora que incida sobre a parábola paralelamente ao seu eio é refletido de modo a passar pelo foco da parábola. O processo inverso também acontece, ou seja, qualquer raio ou onda que seja emitido do foco da parábola e que incida sobre a parábola é refletido numa mesma direção segundo retas paralelas ao eio da parábola. Essa propriedade faz com que a parábola apresente várias aplicações, como por eemplo, em antenas parabólicas, faróis de veículos, fornos solares e em telescópios.

19 Aplicações Antenas parabólicas e Radares É comum observarmos no alto de residências e edifícios as Antenas Parabólicas, que captam ondas eletromagnéticas que são enviadas por satélites em órbita ao redor da terra. Isto somente é possível devido à propriedade da parábola de refletir o conjunto de raios recebidos em um único ponto (o foco da parábola). Neste ponto encontra-se posicionado o receptor de ondas, que enviará o sinal recebido para um conversor que as decodificará e enviará para o receptor de televisão. Os aparelhos de radar operam de forma semelhante às antenas parabólicas, recebendo o eco de pulsos eletromagnéticos.

20 Aplicações Faróis de veículos Os refletores parabólicos de faróis e lanternas permitem que a luz da lâmpada localizada no foco se propague em raios paralelos ao eio da parábola formando o facho. As lentes parabólicas posicionadas na parte de trás dos faróis dos veículos permitem que a luz gerada pelos mesmos seja direcionada para um ponto específico, o foco da parábola, que normalmente é apontado para o solo, evitando desta forma que a luz de um carro ofusque a visão de um motorista que venha em direção oposta.

21 Hipérbole Dados dois pontos F 1 e F (chamados focos), é o lugar geométrico plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer ponto aos focos é constante e menor que F 1 F. Elementos Focos: os pontos F 1 e F Distância focal: a distância c = F 1 F entre os focos Vértices: os pontos A 1 e A, intersecções de F 1 F com a hipérbole Centro: o ponto médio O de A 1 A Eio real ou transverso: o segmento A 1 A (A 1 A = a) Eio imaginário ou conjugado: o eio B 1 B (B 1 B = b)

22 Equação reduzida Eio geral horizontal: Eio real na vertical: Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a interceptam. Suas equações são dadas por: r 1 : b - ay = 0 r : b + ay = 0

23 Ecentricidade É a razão e = c a (com c > a). À medida que essa razão se aproima de 1, os ramos da hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe:

24 Propriedade Refletora A propriedade de refleão da hipérbole afirma que qualquer segmento de reta dirigido a um dos focos da hipérbole encontra o ramo correspondente e é refletido em direção ao outro foco.

25 Aplicações Essa propriedade é muito aplicada nos telescópios de refleão, os quais são constituídos de dois espelhos, sendo um maior, que é parabólico e outro menor, que é hiperbólico. Esses dois espelhos dispõem-se de modo que os eios da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da parábola coincida com um dos focos da hipérbole. Nesse tipo de telescópio, quando os raios de luz se refletem no espelho parabólico são dirigidos para o foco, pela propriedade de refleão da parábola.

26 Como este também é foco da hipérbole, pela propriedade de refleão desta os raios de luz refletem-se no espelho hiperbólico e seguem em direção ao outro foco da hipérbole. Os raios de luz passam através de um orifício no centro do espelho primário, atrás do qual está uma lente-ocular que permite corrigir ligeiramente a trajetória da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou à película fotográfica. A vantagem deste tipo de telescópio reside no fato de ter um comprimento muito menor do que os telescópios de refração (isto é, de lentes) com o mesmo poder de ampliação.

27 Eemplos )4 1 5 )4 5 5 ) ) y y d y c y b y a

28 Eercícios 1) Esboçar o gráfico das seguintes curvas: a) b)4 c)4 3y y 3y 4 6y y 7 0 ) Os pontos de interseção da reta +y= com a elipse 4y 4 são P e Q. Determine a distância entre P e Q. 3) Determine o valor de b, sabendo que a reta y = + b é tangente à elipse y 4) O maior valor de k para o qual a reta y = + k e a parábola y 4 apresentam ponto comum é:

29 Continuação dos Eercícios 1 y 5) Determine os valores de m para os quais a reta y = m não intercepta a hipérbole 6) Determine os possíveis valores de k, sabendo que a parábola e a circunferência abaio têm quatro pontos em comum: 7) A equação que representa duas retas perpendiculares é: 1 ) ( y k y y y y y