SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

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1 1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma equação do segundo grau, nas variáveis, e, da forma: A + B + C + D + E + F + G + H + I + K = 0, que mediante uma rotação ou translação de eios, ou até mesmo através dos dois movimentos simultaneamente, se transforma em um dos dois tipos de equações: 1) A + B + C = D ) A + B + I = 0 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO Superfície de revolução é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma curva plana ou cônica em torno de um de seus eios ou em torno de uma reta fia pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A reta fia ou eio em torno da(o) qual rotacionou a curva plana ou cônica é denominada de eio da superfície e a curva plana ou cônica é a geratri. Eemplo: Obtenha uma equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela rotação da cônica 4 = 16 e identifique a superfície em cada caso. a) em torno do eio dos b) em torno do eio dos SOLUÇÃO 4 = 16 ou 16 4 a = 16 e b = 4 a = 4 e b = = 1 é uma hipérbole, onde Portanto, 4 = 16 é uma hipérbole de eio transverso ou real sobre (paralelo) o eio das abscissas (eio dos ) e eio conjugado ou imaginário sobre (paralelo) o eio das cotas (eio dos ).

2 a) rotação em torno do eio dos Seja Q(, 0, 1 ) um ponto pertencente à hipérbole 4 = 16 Logo, 4 1 = = = 16 4 (I) Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eio dos, o ponto Q(, 0, 1 ) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(, 0, 0). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. Assim, PR = ( ) + ( 0) + ( 0) = ( ) + (0 0) + ( 1 0) = QR + = 1 (II) (I) em (II), vem: + = = = 16 A superfície é uma hiperboloide de revolução de folhas. Q (, 0, 1 ) P (,, ) P (,, )

3 3 b) rotação em torno do eio dos Seja Q( 1, 0, ) um ponto pertencente à hipérbole 4 = 16. Logo, 1 4 = = 16 1 = (I) Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eio dos, o ponto Q( 1, 0, ) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0, 0, ). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. PR = ( 0) + ( 0) + ( ) = ( 1 0) + (0 0) + ( ) = QR + = 1 (II) (I) em (II), vem: + = = = 16 A superfície é uma hiperboloide de revolução de 1 folha. NOTA: Na equação de uma hiperboloide, a quantidade de sinais negativos (-) eistentes na equação indica o número de folhas da superfície, ou seja: 1 sinal (-) 1 folha; sinais (-) folhas. Q( 1, 0, ) 4 =

4 4 HIPERBOLOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação (ou revolução) de uma hipérbole da forma a b transverso ou eio conjugado, ou em torno de um dos eios coordenados. = 1 em torno de um de seus eios, eio Eemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da hipérbole a b SOLUÇÃO = 1 em torno do eio das abscissas (eio dos ). Seja Q(, 1, 0) um ponto pertencente à hipérbole a 1 = 1 a b 1 = b ( a ) (I). a = 1. Logo, 1 a b = 1 Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eio dos, o ponto Q(, 1, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(, 0, 0). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. PR = ( ) + ( 0) + ( 0) = ( ) + ( 1 0) + (0 0) = QR + = 1 (II). (I) em (II), vem: + = b ( a a b b eio de rotação sobre o eio dos. a ) + = b b a 1 = 1 Equação da Hiperboloide de Revolução de folhas (dois sinais (-)), com OBSERVAÇÃO: A equação a b c hiperboloide elíptica (não de revolução) de folhas, com eio sobre o eio dos. A equação a b c de revolução) de folhas, com eio sobre o eio dos. = 1, com a b c, representa uma = 1, com a b c, representa uma hiperboloide elíptica (não

5 5 Q (, 1, 0) -a 0 a R (, 0, 0) P (,, ) Q (, 1, 0) P (,, ) R (, 0, 0) Eemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da hipérbole a b SOLUÇÃO = 1 em torno do eio das ordenadas (eio dos ). Seja Q( 1,, 0) um ponto pertencente à hipérbole a = 1. Logo, 1 a b = 1 1 a = 1 + b 1 = a ( b + ) (I). b Ao girar a curva (hipérbole) em torno do eio dos, o ponto Q( 1,, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0,, 0). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. PR = ( 0) + ( ) + ( 0) = ( 1 0) + ( ) + (0 0) = QR + = 1 (II).

6 P (,, ) 6 (I) em (II), vem: + = a ( b + b ) a + a = b + 1 = 1. Equação da Hiperboloide de Revolução de 1 folha (um sinal (-)), com + a b a eio de rotação sobre o eio dos. A equação + a b c de revolução) de 1 folha, com eio sobre o eio dos. = 1, com a b c, representa uma hiperboloide elíptica (não R(0,, 0) Q( 1, 1, 0) a b = 1 -a a 0 R (0,, 0)

7 NOTA: Na equação da Superfície Hiperbólica, o termo com sinal diferente dos outros dois termos indica o eio de rotação da superfície. ELIPSOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação ou revolução da elipse em torno de um de seus eios, normalmente em torno do eio maior. 7 Eemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da elipse + a b = 1 em torno do eio dos (eio das abscissas). b Q(, 1, 0) R(, 0, 0) -a 0 a -b

8 8 SOLUÇÃO Seja Q(, 1, 0) um ponto pertencente à elipse + a b 1 = 1 a b 1 = b ( a ) (I). a = 1. Logo, + 1 a b = 1 Ao girar a curva (elipse) em torno do eio dos, o ponto Q(, 1, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(, 0, 0). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. PR = ( ) + ( 0) + ( 0) = ( ) + ( 1 0) + (0 0) = QR + = 1 (II). (I) em (II), vem: + = b ( a a ) b + b = 1 a a + b + b = 1. Equação da Elipsoide de Revolução ou Circular de eio de rotação sobre o eio dos. NOTA: A equação + + a b c (não de revolução), com eio sobre o eio dos. = 1, com a b c, representa uma elipsoide elíptica Quando a = b = c, a equação + + = 1 a a a ou + + = a representa uma superfície esférica. PARABOLOIDE CIRCULAR OU DE REVOLUÇÃO é a superfície gerada pela rotação ou revolução de uma parábola em torno do seu eio de simetria. Eemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da parábola a = b em torno do eio dos (eio das ordenadas). SOLUÇÃO Seja Q( 1,, 0) um ponto pertencente à parábola a = b.

9 9 Logo, a 1 = b 1 = b a (I) Ao girar a curva (parábola) em torno do eio dos, o ponto Q( 1,, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0,, 0). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. PR = ( 0) + ( ) + ( 0) = ( 1 0) + ( ) + (0 0) = QR + = 1 (II) (I) em (II), vem: + = b a a + a = b. Equação da Paraboloide de Revolução ou Circular de eio de rotação sobre o eio dos. NOTA: A equação a + c = b, com a c, representa uma paraboloide elíptica (não de revolução), com eio sobre o eio dos. R(0,, 0) Q(, 1, 0) a = b 0

10 10 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO ou SELA é a superfície ou lugar geométrico de uma equação da forma a b = c, com c > 0. A seção por um plano = k (k > 0), é a hipérbole a b = ck, cujos eios transverso e conjugado são paralelos aos eios das abscissas (eio dos ) e das ordenadas (eio dos ). A seção por um plano = k, são parábolas de equações c = b + ak A seção por um plano = k, são parábolas de equações c = a bk A seção por um plano = 0, é a parábola de equação c = b A seção por um plano = 0, é o par de retas de equações a. = ± b. A seção por um plano = 0, é a parábola de equação c = a a = b 0 a = b SUPERFÍCIE CÔNICA ou simplesmente CONE é a superfície gerada por uma reta que gira em torno de um dos eios coordenados, passando sempre por um mesmo ponto, denominado de vértice da superfície cônica. Eemplo: Obtenha a equação e faça o esboço do gráfico da superfície gerada pela revolução da reta (r): a + b + c = 0 em torno do eio dos (eio das ordenadas).

11 11 SOLUÇÃO Seja Q( 1,, 0) um ponto pertencente à reta a + b + c = 0. Desta forma, a 1 + b + b + c c = 0 1 = (I) a Ao girar a curva (reta) em torno do eio dos, o ponto Q( 1,, 0) descreverá uma circunferência cujo centro é o ponto R(0,, 0). Sendo P(,, ) um ponto genérico dessa circunferência, tem-se que PR = QR = raio da circunferência. PR = ( 0) + ( ) + ( 0) = ( 1 0) + ( ) + (0 0) = QR + = 1 (II). (I) em (II), vem: + = ( a + a = (b + c) a + a (b + c) = 0 Equação da Superfície Cônica de Revolução ou Circular b + c ) a vértice Q( 1,, 0) a + b + c = 0 0

12 1 NOTA: A equação a + b c = 0, com a b, representa uma superfície cônica (ou simplesmente cone) não de revolução, ou seja, uma superfície cônica elíptica com vértice na origem O(0, 0, 0). SUPERFÍCIE CILÍNDRICA, ou simplesmente CILINDRO, é a superfície gerada por uma reta móvel que se desloca ao longo de uma curva plana ou cônica mantendo-se paralelamente a uma reta fia não pertencente ao plano da curva plana ou cônica. A curva plana ou cônica é denominada diretri da superfície cilíndrica e a reta móvel é chamada de geratri da superfície. Normalmente a reta fia (e a geratri) é perpendicular ao plano da curva plana ou cônica e, neste caso, a equação da superfície cilíndrica (ou cilindro) é a mesma equação da curva plana ou cônica. Eemplo: Discuta, identifique e esboce o gráfico de cada uma das superfícies seguintes: a) 4 = 16 b) 4 + = 16 c) 4 + = d) = SOLUÇÕES a) 4 = 16 ou 4 16 = 1 (a = 4 e b = 16 a = e b = 4) Discussão: A equação 4 = 16 representa, no plano, uma hipérbole com eio transverso ou real sobre o eio dos e eio conjugado ou imaginário sobre o eio dos. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica hiperbólica, uma ve que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretri).

13 13 4 = 16-0 b) 4 + = 16 ou = 1 (a = 16 e b = 4 a = 4 e b =) Discussão: A equação 4 + = 16 representa, no plano, uma elipse com eio maior sobre o eio dos e eio menor sobre o eio dos. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica elíptica (cilindro elíptico), uma ve que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretri)

14 14 c) 4 + = Discussão: A equação 4 + = representa, no plano, uma parábola com eio de simetria sobre o eio dos. Portanto, no espaço, representa uma superfície cilíndrica parabólica (cilindro parabólico), uma ve que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica (diretri). d) = Discussão: 1) Se = 0, tem-se + = ou = +, que representa uma parábola no plano 0. ) Se = 0, tem-se 4 + = ou = 4 +, que representa uma parábola no plano 0. 3) Se = 0, tem-se 4 + =, que representa uma elipse no plano 0. 4) Se = k, tem-se 4k + + = ou = + 4k, que representa uma parábola. 5) Se = k, tem-se 4 + k + = ou = 4 + k, que representa uma parábola. 6) Se = k, tem-se k = ou 4 + = k, que representa uma elipse, desde que k 0.

15 Assim, a superfície é uma parabolóide elíptica (não de revolução), com eio sobre o eio dos. 15 0