(j) e x. 2) Represente geometricamente e interprete o resultado das seguintes integrais: (i) 1x dx Resposta: (ii)

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1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO DESEMPENHO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CÂMPUS PATO BRANCO Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral Prof a Dayse Batistus, Dr a. Eng. Acadêmico (a): Curso: Engenharia Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 8/0/0 ) Calcule as seguintes integrais definidas (a) d - 7 (b) 9d 6 (c) 5 6 d 78 (d) ( ) d 8 (e) ( + 5 8) d 5 (f) 0 cos d (g) 0 s en d (h) 0 c os d 0 (i) 0 sen d (j) e 0 d e - (k) e d e e ) Represente geometricamente e interprete o resultado das seguintes integrais: (i) d (ii) d 0 ) Represente graficamente e determine a área A sob o gráfico de f() para a b, ou seja, calcular a integral b f ( ) d. a (a) f() = 0 7 A = 98 (b) f() = 0 A = 6 (d)f() = 0 8 A = ) Represente graficamente e calcule a área da região sob o gráfico de f() = entre = 0 e 50 =. 5) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f() = e o eio no intervalo [0; ]. 6) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = e y =. 9 7) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = e y = 8. 8) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = 6 + 8, pelo eio dos e pelas retas = e =.

2 9) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = , pelo 8 eio dos e pelas retas = 5 e = 8. 0) Determinar a área das seguintes regiões, utilizando integral definida, representadas nos gráficos a seguir: a) b) 5 5 ) Represente graficamentee e calcule a área sob o gráfico de f() = 00 - no intervalo [0, 0]. 000 ) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f() = + e o eio no intervalo [0, 5]. 8, pois: A =, A = e A = 0

3 ) Represente geometricamente e calcule a área A sob o gráfico da função f () = entre = - e =. Solução: Um traçado do gráfico de f (figura ao lado) mostra que ela está abaio do eio no intervalo [-, 0]. Não podemos calcular A simplesmente calculando d, já que a área abaio do eio de proporciona uma contribuição negativa para esta integral. Entretanto, dividindo o intervalo [-, ] em dois subintervalos, podemos facilmente calcularmos a sua área: A 0 d + = ) Represente graficamente e calcule o volume V do sólido obtido pela rotação do gráfico de f(), a b, em torno do eio, em cada caso, ou seja, calcular a integral, V = b [f ()] d. a (a) f ( ) = (0 ) V = (b) f ( ) = (0 ) V = 6 (c) f ( ) = (0 ) V = Dica: equação reduzida da circunferência: r = +y, logo, o gráfico é: 0 d 5) Represente geometricamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de y = em torno do eio, no intervalo (0 ). 6) Represente geometricamente e calcule o volume do tronco de cone obtido pela rotação do gráfico de f () = + 7 (0 ) em torno do eio. 9 7) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de. f ( ) = em torno do eio, entre = 0 e =. 5 8) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f () = 9 em torno do eio, [-, ]. Faça uma figura e interprete o número resultante. 6

4 9) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de f () = 9 em torno do eio, para entre 0 e. Faça uma figura e interprete o número resultante. 6. 0) Represente graficamente e calcule o volume da esfera de raio. ) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio r. r. Sugestão: A equação reduzida de uma circunferência é dada por: ( ) + (y y ) = r, onde: ( c, y c ) representa o centro da circunferência e r o raio da c c mesma. Considere um circulo com centro na origem (0,0) e raio r qualquer. ) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume de um cone circular reto com raio da base r = e altura h = 5. 5 ) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio R = ) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eio, da região limitada pela parábola y = ( ) e pela reta y = ( + 5). aproimadamente,05 u.v. 5) A região R, limitada pelas curvas y = e do sólido resultante. 5 u.v. y =, é girada em torno do eio. Encontre o volume 6) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região do eercício anterior em torno da reta 8 y =. u.v. 5 7) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região do eercício em torno da reta y =. u.v. Dica: veja livro de Cálculo, James Stewart.

5 8) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eio y, da região limitada pela curva 8 y = e pela reta y =. aproimadamente 07, u.v. 9) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y = + no intervalo [0, ]. aproimadamente,668 u.c. 0) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y = no intervalo [0, ]. aproimadamente,668 u.c. ) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função aproimadamente,90 u.c. y = no intervalo [0, ]. ) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função y = ln (cos ) no intervalo [0, /]. aproimadamente,70 u.c.