Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise

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1 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Superfícies de Nível de Funções Reais de Três Variáveis Seja f : Dom(f) R 3 R. Conforme já sabemos, dado k Im(f), temos que o conjunto de nível da função f correspondente ao nível k é o subconjunto do domínio dado por S k (f) = (,, ) Dom(f) f(,, )) = k}. No caso em questão, que é o das funções reais de três variáveis reais, os conjuntos de nível de f são de fato superfícies, as quais são portanto chamadas de superfícies de nível de f. Observação 3.9.: Como sabemos que f é constante ao longo das superfícies de nível, observe que duas superfícies de nível de uma função f correspondentes aos níveis k e k 2, onde k k 2, não podem se interceptar. Vamos agora faer alguns eemplos. Eemplo 3.9.: Determine e esboce as superfícies de nível das funções dadas abaio. a) h (,,) =. b) h 2 (,, ) = c) h 3 (,,) = e) h 4 (,,) =, 0, 0 e 0. d) h 5 (,, ) = Solução:

2 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise a) Neste caso, observe que Dom(h ) = R 3 e que Im(h ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, as superfícies de h correspondentes ao nível k são dadas por S k (h ) = (,,) R 3 = k}, ou seja, as superfícies de nível de h são planos paralelos ao plano. Por eemplo, para k = 0, temos o plano = 0; para k =, temos o plano = ; para k = 2, temos o plano = 2; para k =, temos o plano = ; para k = 2, temos o plano = 2. As superfícies de nível de h encontram-se esboçadas ao lado. b) Neste caso, observe que Dom(h 2 ) = R 3 e que a imagem de h 2 é Im(h 2 ) = k R k 0}. Desta forma, temos que para todo k 0, as superfícies de nível de h 2 correspondentes ao nível k são dadas por S k (h 2 ) = (,, ) R = k}. Observe que para k = 0, temos que a superfície de nível de h 2 é da forma = 0, o que corresponde ao eio. Já para cada k > 0, temos que a superfície de nível de h 2 correspondente ao nível k é da forma = k > 0, o que corresponde a cilindros circulares concentricos (figura ao lado). De fato, por eemplo para k = 0, temos = 0 = 0 e = 0, que é a reta (,, ) = (0, 0,), R; para k =, temos o cilindro = ; para k = 2, temos o cilindro = 2; para k = 3, temos o cilindro = 3.

3 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise c) Neste caso, observe que Dom(h 3 ) = R 3 e que a imagem de h 3 é Im(h 3 ) = k R k 0}. Desta forma, temos que para todo k 0, as superfícies de nível de h 3 correspondentes ao nível k são dadas por S k (h 3 ) = (,, ) R = k}. Observe que para k = 0, temos que a superfície de nível de h 3 se degenera em apenas um ponto, que é a origem (0, 0, 0). Já para cada k > 0, temos que a superfície de nível de h 3 correspondente ao nível k é da forma = k > 0, o que corresponde a elipsóides concentricos (figura ao lado). De fato, por eemplo para k = 0, temos = 0 = 0, = 0 e = 0, que é a origem (0, 0, 0); para k =, temos o elipsóide = ; para k = 2, temos o elipsóide = 2; para k = 3, temos o elipsóide = 3. d) Neste caso, observe que e que a imagem de h 4 é Dom(h 4 ) = (,, ) R <, 0, 0, 0} Im(h 4 ) = k R k > }. De fato, como + + <, 0, 0, 0, temos que 0 < + + < < < 0 0 < <, de modo que > e, portanto, >. Desta forma, temos que para todo k >, as superfícies de nível de h 4 correspondentes ao nível k são dadas por } S k (h 4 ) = (,, ) Dom(h 4 ) = k } = (,, ) Dom(h 4 ) = k = (,, ) Dom(h 4 ) = } k 2 = (,, ) Dom(h 4 ) + + = } k 2 Portanto, temos que as superfícies de nível de h 4 correspondentes ao nível k (k > ) são da forma + + = k2, o que corresponde a planos paralelos ao plano

4 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise =, contidos no tetraedro + + <, 0, 0, 0 (ecetuando a face + + = ) (figura abaio). De fato, por eemplo, para k =, temos + + = 0 = 0, = 0 e = 0, pois 0, 0, 0; para k = 2, temos o plano + + = 4 ; para k = 3, temos o plano + + = 9 ; para k = 4, temos o plano + + = 6. e) Neste caso, observe que Dom(h 5 ) = R 3 e que Im(h 5 ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, as superfícies de nível de h 5 correspondentes ao nível k são da forma S k (h 5 ) = (,, ) R = k}. Portanto, vamos ter três casos diferentes: para k = 0, temos que as superfície de nível de h 5 é o cone = 0; para cada k > 0, temos que a superfície de nível de h 5 correspondente ao nível k é da forma = k. Temos assim, que as superfícies de nível de h 5 são hiperbolóides de duas folhas; para cada k < 0, temos que a superfície de nível de h 5 correspondente ao nível k é da forma = k. Temos assim, que as superfícies de nível de h 5 são hiperbolóides de uma folha.

5 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Gráficos de Funções Reais de Três Variáveis Seja f : Dom(f) R 3 R. Conforme já sabemos, temos que o gráfico da função f é o subconjunto de R 4 dado por G(f) = (,,, f(,, )) R 4 (,,) Dom(f)}. No caso em questão, que são o das funções reais de três variáveis reais, atente para o fato de que os gráficos destas funções estão em R 4, de modo que não é possível esboçálos. Eemplo 3.0.: Determine o gráfico da função f(,, ) = Solução: G(f) = (,,, ) R 4 (,, ) R 3 }. 3. Eercícios Eercício 3..: Determine e esboce as curvas de nível da função f(,) = e 2. Resposta: Temos que Dom(f)R 2 e Im(f) = (0, ). As curvas de nível k, para k.0, são dadas por C k (f) = (,) R 2 e 2 = k} = (,) R 2 2 = ln k}. Observe que se k =, temos que 2 = 0 = 0 ou = 0. Portanto, as curvas de nível de f são os eios coordenados. Se 0 < k < ou se k >, as curvas de nível de f são dadas pela equação = lnk. Note que se 0 < k <, ln k < 0, de modo que as 2

6 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise curvas estão abaio do eio e se k >, ln k > 0, de modo que as curvas estão acima do eio. Abaio temos um esboço das curvas de nível. As curvas de nível k = (eios coordenados) estão esboçadas em aul, as curvas de nível k > estão esboçadas em verde e as curvas de nível 0 < k < estão esboçadas em rosa.