UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA MAT PRÉ-CÁLCULO Funções potência

Transcrição

1 ) n m a n.m a UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA MAT0 - PRÉ-CÁLCULO Funções potência ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo - p.. DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 9 - p. 9 Definição: Uma função potência é da forma f n, onde n é um número racional. f, g, h / e l são eemplos de funções potência. ******************************************************************************************************************* Revisão rápida: POTENCIAÇÃO e RADICIAÇÃO Def. : Uma potência de base a, a R, e epoente n, n N, é o número a n, obtido pelo produto de n fatores iguais a a. Ou seja, a n a a a a..... a Por eemplo, a) 7 b) c) n fatores Regras de potenciação: ) a n a m a n m ) a n a m an a n m a m ) a n m a n m ) a 0, com a 0 ) a n a n ) a n/m m a n 7) ab n a n b n ) a b n a n b n Def. : Sejam a R, b R e n Z tal que n. Definimos n a b b n a Lemos n a como "raiz n-ésima de a", a é o radicando e n é o índice da raiz. Por eemplo, a) (pois ) b) (pois ) c) (pois ) Regras de radiciação: ) n a n b n ab ) n a n b n a b

2 ) n a n a, se n é ímpar a, se n é par ******************************************************************************************************************* Vamos caracterizar algumas funções potência, de acordo com seus epoentes. Epoente natural par. Vamos considerar as funções f, g e h cujos gráficos são apresentados a seguir Para entender melhor o comportamento dos gráficos, observe os valores de correspondentes aos valores de dados na tabela, para cada uma das funções. 0 7 f g h Observe que os gráficos têm um formato mais ou menos parecido. O domínio de cada função é R. As imagens são sempre positivas ou, para 0, a imagem é zero. Isto significa que Im f Im g Im h 0;. Todas "decrescem" para 0 e "crescem" para 0. Para valores de que são menores que ou maiores que, quanto maior o epoente, maior a imagem. Para valores de entre e, quanto maior o epoente, menor a imagem. Essas funções são pares, pois f f, g g e h h para todo do domínio. Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação ao eio (característica de funções pares). Veja os gráficos das três funções no mesmo sistema de eios: Epoente natural ímpar. Vamos considerar as funções f e g cujos gráficos são apresentados a seguir.

3 Para entender melhor o comportamento dos gráficos, veja os valores de correspondentes aos valores de dados na tabela, para cada uma das funções. 0 f 7 g Observe que elas têm um formato mais ou menos parecido. O domínio é R. As imagens são sempre positivas para 0, negativas para 0 ou, para 0, a imagem é zero. Isto significa que Im f Im g R. As duas funções são "crescentes" em todo o seu domínio. Para valores de que são menores que ou que estão entre 0 e, quanto maior o epoente, menor o valor da imagem; para valores de que são maiores que ou que estão entre e 0, quanto maior o epoente, maior o valor da imagem. Essas funções são ímpares, pois f f e g g para todo do domínio. Observe que o gráfico, em cada caso, é simétrico em relação à origem (característica de funções ímpares). Veja os gráficos das duas funções no mesmo sistema de eios: Epoente fracionário (do tipo n com n número natural não nulo). Considere as funções f / e g / cujos gráficos são apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que toda potência de epoente fracionário pode ser escrita como uma raiz. No caso das funções consideradas, temos f / e g /.

4 Epoente inteiro negativo. Considere as funções f e g cujos gráficos são apresentados a seguir. Proceda de forma semelhante ao que fizemos nos casos anteriores e escreva algumas características de cada função. É bom lembrar que o epoente negativo significa "inverso". No caso das funções consideradas, temos f e g Obs.: Observe que, nestes gráficos, surgem duas retas com a mesma característica: o gráfico da função se aproima muito dessas retas mas não chega a encostar nelas. Uma delas é a reta de equação 0 (equação do eio ). No primeiro gráfico, quanto mais próimo o valor de está de zero, tanto maior será o valor da função, além do que, para 0 a função não está definida. No segundo gráfico, ocorre algo semelhante, apesar dos sinais diferentes para valores de menores ou maiores que zero. A reta 0, com essas características, é uma assíntota vertical do gráfico das funções. Outra é a reta de equação 0 (equação do eio ). No primeiro gráfico e no segundo gráfico, quanto maior (ou quanto menor) for o valor de, mais próimo de zero estará o valor de. A reta 0, com essas características, é uma assíntota horizontal do gráfico das funções. Importante:. Assim como acontece com as demais funções estudadas até agora, o gráfico de uma função potência pode ser obtido do gráfico de outra função potência mais simples, através de deslocamentos no plano.. Consideremos, por eemplo, a função definida por F, obtida de f tirando unidades de. Podemos obter seu gráfico, deslocando o gráfico de f três unidades para a direita. Veja os dois gráficos no mesmo sistema de eios.

5 - - No caso, a assíntota horizontal continua sendo a reta 0, porém, a assíntota vertical é a reta.. Consideremos a função G, obtida de g somando unidade a e tirando unidades de. Portanto, podemos obter o gráfico da G, deslocando o gráfico da g unidade para a esquerda e, em seguida, descendo unidades. Veja os gráficos da g (com linha descontínua) e o gráfico da G (com linha contínua) no mesmo sistema de eios g unid para a esquerda funç obtida unid para baio Gráfico da G. No caso, a assíntota horizontal passa a ser a reta, e a assíntota vertical é a reta.. Funções obtidas de funções potências através da multiplicação ou da divisão por uma constante.. Consideremos as funções f e g. Obtemos o gráfico da g simplesmente multiplicando as imagens da f por. Veja no sistema abaio os gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul Consideremos as funções f e g. Obtemos o gráfico da g simplesmente dividindo as imagens da f por. É bom observar que g. Veja no sistema abaio os gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul.

6 Consideremos as funções f e g. Obtemos o gráfico da g simplesmente multiplicando as imagens da f por. Veja no sistema abaio os gráficos da f e da g. Saliente o gráfico da g com caneta azul Eercícios de aula : () O gráfico da função f é dado a seguir. Sobre o mesmo sistema, construa o esboço do gráfico da função g () O gráfico da função f é dado a seguir. Sobre o mesmo sistema, construa o esboço do gráfico da função g 7. No segundo sistema, onde é apresentado novamente o gráfico da f, construa o gráfico da função h.

7 () Entre as funções cujos gráficos são apresentados a seguir, marque com um (X) o que pode ser o gráfico da função f / e, com um ponto ( ) aquele que pode ser o gráfico de f / ( ) ( ) 0.0 ( ) ( ) () Construa o gráfico da função f. Em seguida, descreva como o gráfico de g pode ser obtido do gráfico da f. Construa, o gráfico da g e determine as equações das assíntotas da g. () Considere a função f / cujo gráfico é apresentado a seguir. Sobre o mesmo sistema, construa o gráfico de g / e de h /. Observe que f / e que g f e h f. 7

8 Eercícios etraclasse ) Considere a função f representada no gráfico abaio, que é uma função ímpar (f f ), com D f R. Construa, no mesmo sistema de eios, os gráficos das funções dadas a seguir e cite as transformações efetuadas, comparando cada um com o gráfico da f. (a) f (b) f (c) f (d) f ) Considere novamente a função f representada no gráfico abaio. Construa, no mesmo sistema de eios, o gráfico da função g e cite as transformações efetuadas, comparando com o gráfico da f ) Considere a função f / representada no gráfico abaio. Construa, no mesmo sistema de eios, o gráfico da função g e cite as transformações efetuadas, comparando com o gráfico da f.

9 ) Construa no mesmo sistema de eios os gráficos das funções dadas em cada caso. Também, identifique as assíntotas horizontais e verticais, apresentando suas equações. a) f e g b) f e h ) Eplique como o gráfico de g. pode ser obtido do gráfico de f. Construa no mesmo sistema de eios os gráficos da f e da g. ) Construa o gráfico de g. Algumas respostas: ) O gráfico da f é obtido deslocando o gráfico da f unidades para a direita. O gráfico da f é obtido deslocando o gráfico da f unidades para a esquerda. O gráfico da f é obtido deslocando o gráfico da f unidades para cima. O gráfico da f é obtido deslocando o gráfico da f unidades para baio ) O gráfico da g é obtido deslocando o gráfico da f unidades para a direita e, a partir dali, unidades para cima ) Multiplicamos a imagem da f por, isto é, dividimos as imagens por e, em seguida, trocamos o sinal. 9

10 ) a) Assíntota horizontal da f : 0; assíntota b) Assíntota horizontal da f : 0; assíntota vertical da f: 0; assíntota horizontal vertical da f: 0; assíntota horizontal da g: 0; assíntota vertical da g: da h: ; assíntota vertical da h: ) A g pode ser obtida multiplicando as imagens da f por e, em seguida, deslocando o gráfico unidades para baio )