MATEMÁTICA Módulo em IR 2. Professor Marcelo Gonzalez Badin

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1 MATEMÁTICA Módulo em IR Professor Marcelo Gonzalez Badin

2 Módulo de um número real Chama-se módulo (ou valor absoluto) de um número real a distância da imagem desse número, na reta orientada, até a origem da mesma. O módulo de um número é representado por Eemplos: = 4 = 4 0 = 0 3 = I. 0, IR II. = III. =, se ³ 0, se 0 0 O módulo de um número é ele se ele for positivo e é ele de sinal trocado se ele for negativo.

3 1. (Fuvest-11) Sejam f() = 9 e g() = A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g()) = g() é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 f(g()) = g() f( ) = ( ) 9 = = = 6 S= = = = 0 S = 5 = 1 P = 6 Cuidado: A soma dos módulos não é o módulo da soma + +

4 Lembrete: f() = 3 3 g() = + = (0, ) (, 0)

5 Lembrete: f() = = (0, 1) (4, 0) g() = (função identidade) = (0, 0) (origem) (1, 1) bissetriz dos quadrantes ímpares 4 1

6 Lembrete = Raízes: = 0 S = 6 P = 8 a = 1 b = 6 c = 8 = = 4 8 Vértice: b v = a v = f ( v ) = 3 = f (3) =

7 Lembrete: f() = 4, se 1 + 1, se 1 < < , se 3 1 f() = 1 < < 3 = (1, ) 3 4 (3, 4) 3 = (3, 4) 5 0 (5, 0) Im = { IR / 4} ou vc escreve: Im = ], 4]

8 . Faça o gráfico da função: a) f() =, se 0 f() =, se 0 45º ( ) 45º 0 b) f() = Se 0, f() = = + 1 Se 0, f() = + 1 = 1 + 1, se 0 = 1, se = (0, 1) (1, 3) Adicionar a favoritos 0 1 Im = IR + (Reais não negativos)

9 5. (UFRGS 009) Considerando a função definida por f() = + 1, assinale, entre os gráficos apresentados nas afirmativas, aquele que pode representar f. C.E.: 0 Se > 0, f() = + 1 = = Se < 0, f() = + 1 = = 0 =, se > 0 0, se < 0 0

10 c) f() = + d) f() = = Raízes: 3 = 0 = 3 = ± 3

11 e) f() = = =

12 f) f() = ( 5) f () = f() = = 5 = 5, se 5 + 5, se 5 5, se ( 5), se 5 0 = (5, 0) 6 1 (6, 1) = (5, 0) (0, 5)

13 f) f() = ( 5) f() = 5 5 Inicialmente vamos fazer o gráfico da função que está dentro do módulo = (0, 5) (5, 0) A seguir, rebatemos com simetria a parte negativa do gráfico. 5 5 O módulo de um número é ele se ele for positivo e é ele de sinal trocado se ele for negativo.

14 g) f() = Inicialmente vamos fazer o gráfico de = 9 Raízes: Vértice: b 9 = 0 v = = 0 a = ± 3 v = f ( v ) = f(0) = 9 A seguir, rebatemos com simetria a parte negativa do gráfico. O módulo de um número é ele se ele for positivo e é ele de sinal trocado se ele for negativo. 9

15 *h) f() = 3 = 3 = = 3 3 O módulo de um número é ele se ele for positivo e é ele de sinal trocado se ele for negativo. 3

16 *i) = = ( + 3) ( 4) = = + 1 = 3 + 1, se 3 7, se 3 4 1, se 4 3 = ( 3, 7) 4 9 ( 4, 9) 4 = (4, 7) (5, 9) raízes das funções que estão em módulo = + 3 ( 4) = = = = 1 5

17 (Unicamp 01) Considere a função f() = + + p, definida para real. a) A figura a seguir mostra o gráfico de f() para um valor específico de p. Determine esse valor. Observando o gráfico podemos tomar pontos para obter o valor de p. Um ponto muito conveniente é (1, ), no qual a função modular quebra de padrão. f() = + + p (1, ) p = 1 + p = 0 p = p = 0

18 (Unicamp-01) Considere a função f() = + + p, definida para real. b) Supondo, agora, que p = 3, determine os valores de que satisfazem a equação f() = 1. Para p = 3, temos f() = + 3 f() = = 1 raiz da função que está em módulo 3 5 ( 3) = = = 1 3 = 15 = 9 (não convém) = 5 9 não está neste intervalo! S = {5}

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23 (FGV) a) Esboce o gráfico da função f() = = 3.( ) + = 3 + = se 0 = se 0 = Raízes: = 0 = 1 ou = Vértice: v = 1,5 v = f( v ) = 0,5 = 3 + Raízes: 3 + = 0 = 1 ou = Vértice: v = 1,5 v = f( v ) = 0,5 1,5 1 0,5 1 1,5

24 (FGV) 1 b) Qual o domínio da função f() = C.E.: 0 C.E.: = ( 3) 4 1 = 1 Raiz: 1 = 0 = 1 3± é raiz dupla 4 ½ = 0 ½ = é NEGATIVO D = { IR / > ½ e 1}

25 (Fuvest) raízes das funções que estão em módulo a) Esboce, para real, o gráfico da função f() = ½ = ( ) (+1) 6 = ( ) = = = = 7 = 4 5 = 3 = 4 5, se ½ 3, se ½ 7, se ½ = 4 5 ½ 3 ( ½, 3) 5/4 0 ( 5/4, 0) = 7 3 (, 3) 7/ 0 (7/, 0) 5/4 ½ 3 7/

26 (Fuvest) b) Para que valores reais de temos f() > +? > + 7/6 ( ) (+1) 6 > > > + 6 > 7 6 < 7 < 7/6 (multiplica por 1) ½ ( ) > + 3 > + > 5 (multiplica por 1) < 5 < 5/ Não há neste intervalo S = { IR / < 7/6} Ou vc escreve: S = ], 7/6[ > + 7 > + 7 > (F) Nenhum é solução

27 O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a e equação V = 10 4 t t 6, t IR +. Nela, V é o volume, medido em m 3, após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. a) Faça o gráfico de V em função de t 3 V = 10 (4 t) + (t 6) V = 10 + (4 t) +(t 6) V = 10 + (4 t) (t 6) V = t + t 6 V = t + t 6 V = t t + 6 V = 4t V = 8 V = 4t + 0 V = t 4t, se t 8, se t 3 4t + 0, se t 3 t V = 4t 8 (, 8) 0 0 (0, 0) V 8 t 3 t V = 4t (3, 8) 5 0 (5, 0) t

28 O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a e equação V = 10 4 t t 6, t IR +. Nela, V é o volume, medido em m 3, após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. b) Determine o horário em que o volume permanece constante. c) A partir de que horas o tanque estará vazio. V = 4t, se t 8, se t 3 4t + 0, se t 3 b) O volume permanece constante (8 m 3 ) para t 3, isto é: Entre 10 e 11 horas. c) O tanque estará vazio (V = 0) para t = 5, isto é: A partir de 13 horas. V t

29 (Fuvest-010) Seja f() = 1, IR, e considere também a função composta g() = f(f()), IR. a) Esboce o gráfico da função f, no desenho da folha de respostas (abaio), indicando seus pontos de interseção com os eios coordenados. = = 1 0 Raízes: 1 = 0 = 1 = ± 1

30 (Fuvest-010) Seja f() = 1, IR, e considere também a função composta g() = f(f()), IR. b) Esboce o gráfico da função g, no desenho da folha de respostas (abaio), indicando seus pontos de interseção com os eios coordenados. g() = f(f()) = f( 1) = 1 1 = 1 = O módulo de um número é ele se ele for positivo e é ele de sinal trocado se ele for negativo.

31 (Fuvest-010) Seja f() = 1, IR, e considere também a função composta g() = f(f()), IR. b) Esboce o gráfico da função g, no desenho da folha de respostas (abaio), indicando seus pontos de interseção com os eios coordenados. g() = f(f()) = f( 1) = 1 1 = Raízes: 1 1 = 0 1 = 1 1 = 1 Þ = Þ = ou = 1 = 1 Þ = 0 Þ = 0

32 (Fuvest-010) Seja f() = 1, IR, e considere também a função composta g() = f(f()), IR. c) Determine os valores de para os quais g() = 5. g() = = 5 1 = 6 Þ = 7 Þ = 7 ou = 7 1 = 6 1 = 6 Þ = 5 Impossível pois 0 = 7 ou = 7

33 (FGV 011) No plano cartesiano, os pontos (, ) que satisfazem a relação + = determinam um polígono cujo perímetro é: a) b) 4 + c) 4 d) e) 8 Se 0 e 0, temos + = = + Se < 0 e 0, temos + = = + Se < 0 e < 0, temos = = Se 0 e < 0, temos = = a a a a O polígono formado é um quadrado. a = + a = Assim, o perímetro do polígono é 4 = 8