Matemática I Capítulo 11 Função Modular

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1 Nome: Nº Curso: Mecânica Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /016 Matemática I Capítulo 11 Função Modular Módulo O módulo, ou valor absoluto, de um número real x representado por x é definido da seguinte maneira: x, se x 0 x = { x, se x < 0 O módulo de um número maior ou igual a zero é ele mesmo. O módulo de um número menor que zero é o seu oposto. Pela definição, podemos concluir que o módulo de um número real sempre é positivo ou nulo. Pensando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Exemplo 1 5 = 5, pois é a distância do ponto que representa -5 à origem = 5, pois é a distância do ponto que representa 5 à origem Equações modulares Temos uma equação modular quando a incógnita se apresenta em módulo. Observe a seguinte equação modular: As soluções dessa equação são x = 10 ou x = -10, pois: x =10 Generalizando: IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 1

2 Vejamos alguns exemplos de equações modulares: Exemplo 1 Resolver em R a equação modular x 1 = 1 : Exemplo Resolver em R a equação modular x = 3 x : Exemplo 3 Resolver em R a equação modular 3x + = x + 1: Como o módulo de um número real será sempre positivo ou nulo: Exemplo 4 Resolver em R a equação modular x + x 15 = 0: Vamos fazer, pois assim teremos uma equação do º grau: Como : IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade

3 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO EQUAÇÕES MODULARES 01. (Espcex (Aman) 015) O número de soluções da equação 1 x x 3 x 3, no conjunto, é a) 1. b). c) 3. d) 4. e) (Udesc 014) A soma das raízes distintas da equação a) 10 b) 7 c) 0 d) 3 e) 4 x 5x 6 x 3 é: 03. (Esc. Naval 013) A soma das raízes reais distintas da equação x é igual a a) 0 b) c) 4 d) 6 e) (G1 - cftmg 013) A soma das raízes da equação modular a) 7. b) 4. c) 3. d) 5. x 1 5 x é 05. (Uepb 01) A soma das raízes que a equação modular x 7 6 é a) 15 b) 30 c) 4 d) e) (Ita 011) O produto das raízes reais da equação x 3x + = x 3 é igual a a) 5. b) 1. c) 1. d). e) (Ita 007) Sobre a equação na variável real x, x = 0, podemos afirmar que a) ela não admite solução real. b) a soma de todas as suas soluções é 6. c) ela admite apenas soluções positivas. d) a soma de todas as soluções é 4. e) ela admite apenas duas soluções reais. IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 3

4 08. (Ufjf 006) Sobre os elementos do conjunto-solução da equação x - 4 x - 5 = 0, podemos dizer que: a) são um número natural e um número inteiro. b) são números naturais. c) o único elemento é um número natural. d) um deles é um número racional, o outro é um número irracional. e) não existem, isto é, o conjunto-solução é vazio. GABARITO 01 D 0 E 03 D 04 B 05 E 06 A 07 D 08 A Função modular Chamamos de função modular a função f(x) = x definida por: Note que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Pela definição de módulo, percebemos que a imagem da função modular é o conjunto dos números reais nãonegativos. Geometricamente, isso significa que os pontos do gráfico de f(x) = x no plano cartesiano estão na origem 0 ou acima do eixo x. O gráfico de f(x) = x pode ser construído de duas maneiras: 1ª maneira: A partir das sentenças que definem f(x). Unindo os gráficos das duas sentenças num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de f(x) = x : IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 4

5 ª maneira: Com base no gráfico de y = x. )Marcamos os pontos em que y é negativo 1 )Construimos o gráfico de y = x, destacando os pontos simetricamente em relação ao eixo x. Assim obtemos o em que a imagem é negativa. gráfico de f(x) = x. Vejamos como construir os gráficos de outras funções que possuem módulos na sua lei de formação: Exemplo 1 Construir o gráfico de f(x) = x : 1ª maneira: (Através de sentenças) Pela definição de módulo: : x y = x x y = -(x - ) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 5

6 Unindo os gráficos das duas sentenças num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de f(x) = x : º maneira: (Com base no gráfico de y = x ) )Marcamos os pontos em que y é negativo 1 )Construimos o gráfico de y = x, destacando os simetricamente em relação ao eixo x. Assim obtemos o pontos em que a imagem é negativa. gráfico de f(x) = x. EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO FUNÇÕES MODULARES 01. (Pucrj 016) Seja x f(x). a) Para quais valores reais de x temos f(x) 1? b) Para quais valores reais de x temos f(x) 1? 0. (Efomm 016) Determine a imagem da função f, definida por f(x) x x, para todo x R, conjunto dos números reais. a) Im(f) = R. b) Im(f) = {y R/y 0}. c) Im(f) = {y R/0 y 4}. d) Im(f) = {y R/y 4}. e) Im(f) = {y R/y > 0}. 4 x 4, se x (Espcex (Aman) 016) O gráfico que melhor representa a função real definida por é x x, se x a) b) c) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 6

7 d) e) 04. (Pucrj 016) Qual dos gráficos abaixo representa a função real f(x) 3x 1? a) b) c) d) e) 05. (Ueg 016) Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R. A função f é dada por x, se x 0 a) f(x) x, se x 0 x, se 1 x b) f(x) x 3, se x 1 e x x 1, se x 0 c) f(x) x, se x 0 x, se 1 x d) f(x) x 1, se x 1 e x IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 7

8 06. (G1 - cftmg 015) O domínio da função real f(x) 1 x é o intervalo a) {x R/ x < 1 ou x > 1}. b) {x R/ x 1 ou x 1}. c) {x R/ 1 < x < 1}. d) {x R/ 1 x 1}. 07. (Upe 015) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os gráficos das funções reais f e g. Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? a) g(x) f(x 3) b) g(x 3) f(x) c) g(x) f( x 3) d) g( x) f( x 3) e) g(3 x) f(x) 08. (Pucrj 014) Considere a função real f(x) x 1 x 1. O gráfico que representa a função é: a) b) c) d) e) 09. (Pucrj 014) Considere a função real f(x) x 1. O gráfico que representa a função é: a) b) c) IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 8

9 d) e) 10. (Ufrgs 013) Se é o gráfico da função f definida por definida por z f x, é y f x, então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função z, a) b) c) d) e) 11. (Ufrgs 013) A interseção dos gráficos das funções f e g, definidas por f x x e g x 1 x, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. A área desse polígono é a) 0,15. b) 0,5. c) 0,5. d) 1. e). GABARITO 01 a) 6,, e 6. 0 C 03 C b) 6 x ou x 6 04 D 05 A 06 D 07 E 08 A 09 A 10 D 11 C IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 9

10 Inequações modulares Uma inequação é modular quando a incógnita se apresenta em módulo. Vamos inicialmente olhar para a reta real e observar quando a distância à origem é menor que 4 e quando a distância à origem é maior que 4: Desse modo observarmos que: De maneira geral, sendo a > 0, temos: Utilizamos essas propriedades na resolução de equações modulares. Exemplo 1 Resolva em R a inequação x 1 > 3: Pelas propriedades vistas anteriormente: EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO INEQUAÇÕES MODULARES 01. (Espcex (Aman) 014) Se Y = {y R/ 6y 1 5y 10},então: 1 a) Y, 6 b) Y { 1} c) Y = R d) Y 1 e), 6 IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 10

11 0. (Pucrs 014) A expressão x a 16 também pode ser representada por a) x a < 16 b) x + a > 16 c) a 16 < x < a + 16 d) 16 + a < x < a + 16 e) x a < 16 ou x a >0 03. (G1 - cftmg 01) O conjunto dos números reais que tornam a função a). b) R. c) {x R/ 1 < x < 5}. d) {x R/ x < 1 ou x > 5}. f(x) x 4x maior que 5 é 04. (Uespi 01) Se x varia no conjunto dos números reais, qual dos intervalos a seguir contém o conjunto-solução da desigualdade a) (-, 0) b) (-, ) c) (-3, -1) d) (1, 3) e) (-3, 1) x 4? x (Fuvest 01) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade x 10x 1 3x (Unesp 01) No conjunto R dos números reais, o conjunto solução S da inequação modular x x 5 6 é a) S = {x R/ 1 x 6} b) S = {x R/ x 1 ou x 3} c) S = {x R/ x 1 ou x 3 ou x 6} d)s = {x R/ x ou x 3} e) S = R GABARITO 01 C 0 D 03 D 04 B 05 1 x 4 ou 6 x 9 06 C IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo Andrade 11