RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES. Módulo de um número real... 2 Equações modulares... 5

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1 Aula 6 Parte 3 Módulo de um número real... Equações modulares... 5 Prof. Guilherme Neves 1

2 Módulo de um número real Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Nesta terceira parte da aula, vamos estudar um assunto relativamente novo nas provas da ESAF. A primeira vez que caiu foi em 010 no concurso do ISS- RJ. Podemos definir o módulo de um número real com pensamentos algébricos ou geométricos. A definição geométrica é mais objetiva para os nossos fins. Geometricamente falando, o módulo de um número real é a distância deste número até a origem, ou seja, até o número 0. Assim, se queremos calcular o módulo de, devemos calcular a distância de até o zero. 0 Em símbolos, escrevemos =. Distância = Poderíamos calcular também o módulo de. Para isso, basta calcular a distância do número até o zero. - 0 Distância = Distância = Em símbolos, escrevemos =. E quanto seria o módulo de 0? Ora, basta calcular a distância de zero até o zero. Essa distância é zero. Assim, 0 = 0. Vejamos algumas propriedades importantes. Prof. Guilherme Neves

3 i) 0, para todo x real. RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Esta propriedade afirma que o módulo de qualquer número nunca pode ser negativo. O módulo sempre será positivo ou zero. E isso é bem óbvio, já que o módulo de um número é a distância dele até o zero. Eu, particularmente, nunca vi uma distância negativa. Rss... ii) = 0 =0 Esta propriedade afirma que o módulo de um número é zero se e somente se este número for zero. Ou seja, se o módulo de um número é zero, então este número é zero e se um número for zero, então o seu módulo será zero. iii) = O módulo de um número e o módulo do seu oposto são sempre iguais. Como vimos no exemplo acima, o módulo de é igual ao módulo de -. iv) Considere um número real k positivo. Se =, então = =. Imagine que eu te digo que o módulo de um número é igual a. O que você pode concluir? Que este número só pode ser ou. Ok? iv) = e / = / para quaisquer x e y (com y diferente de zero no caso da divisão). Esta propriedade afirma que o módulo do produto é igual ao produto dos módulos e o módulo do quociente é o quociente dos módulos. Ou seja, tanto faz primeiro multiplicar os números e depois calcular o módulo ou calcular primeiro os módulos e depois multiplicar. Vamos ver em um exemplo que 3 = 3. v) = 6 = 6 3 = 3 = 6 Esta propriedade é interessante porque diz que nem sempre o módulo da soma é igual à soma dos módulos. Há casos em que o módulo da soma é menor que a soma dos módulos. Veja estes exemplos: Prof. Guilherme Neves 3

4 Neste caso temos uma igualdade, porque o lado esquerdo da inequação é igual a 8 e o lado direito também é igual a Neste caso temos uma desigualdade, já que o lado esquerdo é igual a e o lado direito é igual a 8. Assim, < 8. vi) Aqui temos uma propriedade bem parecida com anterior. Perceba que quando temos o módulo da diferença, devemos trocar o sentido da desigualdade. Compare as duas propriedades: (SMF-RJ 010/ESAF) Considere a e b números reais. A única opção falsa é: a) + +. b) +. c) <. d). e) + +. Resolução A melhor maneira de resolver esta questão é testando valores. As alternativas A e E são idênticas à propriedade v. A alternativa D é idêntica à propriedade vi. O erro da alternativa C reside justamente no fato de q ue ele colocou a desigualdade no sentido contrário e não colocou a igualdade. Corrigindo a alternativa C teríamos. Guilherme, é impossível lembrar estas propriedades na hora da prova!! Não tem problema... substitua as letras a e b por números reais e verifique cada uma das alternativas. Agora, uma dica: substitua sempre utilizando um número positivo e um número negativo. Normalmente assim conseguimos achar o erro. Vou substituir o número a por 3 e o número b por -5. a) + ( ) +. Verdade, pois < 8. b) + ( ). Verdade, pois 8 = 8. c) ( ) <. Falso, pois 8 > -. d). Verdade, pois 8 >. e) + +. Verdade, pois < 8. Prof. Guilherme Neves 4

5 Gabarito: C Equações modulares Apesar de este assunto nunca ter caído em provas de concursos fiscais (pelo menos eu nunca vi), vamos sair na frente e estudar um pouco. Do jeito que as coisas estão indo Resolva as equações a seguir: a) 4 8 = 0 b) 1 = 5 c) ² 3 1 = 3 d) 4 5 = 7 Resolução a) 4 8 = 0 Quando é que o módulo de um número é zero? Quando este número é zero! Assim, basta igualar a expressão que está dentro do módulo a zero. 4 8 = 0 4 = 8 = O conjunto solução da equação é " = #$. b) 1 = 5 Quando é que o módulo de um número é igual a 5? Quando este número é igual a 5 ou igual a -5. Assim, devemos resolver duas equações: 1 = 5 1 = 5 = 6 = 4 =3 = O conjunto solução da equação é " = #3; $. Prof. Guilherme Neves 5

6 c) ² 3 1 = 3 RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB Muito parecida com a anterior, só que agora cairemos em duas equações do segundo grau. Quando é que o módulo de algum número é 3? Quando este número for igual a 3 ou igual a -3. Assim, teremos que resolver duas equações do segundo grau: i) ² 3 1 = 3 ² 3 4 = 0 Temos uma equação do segundo grau em que & = 1,( = 3 ) * = 4. ii) ² 3 1 = 3 = (² 4&* = ( 3), 4 1 ( 4) = 5 = ( ± & = 3 ± 5 =4 = 1 ² 3 + = 0 Temos uma equação do segundo grau em que & = 1,( = 3 ) * =. = (² 4&* = ( 3), 4 1 = 1 = ( ± & = 3 ± 1 = = 1 O conjunto solução da equação é " = #4; 1;;1$. d) 4 5 = 7 Quando é que o módulo de um número é igual a 7? Nunca!! O módulo de qualquer número real é sempre zero ou positivo. Nunca poderá ser um número negativo (lembra que módulo é uma distância?) Assim, o conjunto solução desta equação é o conjunto vazio. " = Ficamos por aqui. Um abraço e até a próxima aula! Prof. Guilherme Neves 6