Tarefa 27 Professor Anthony

Transcrição

1 9º ano Matemática Tarefa 7 Professor Anthony Módulo de um número real; Equações modulares; Funções modulares MÓDULO DE UM NÚMERO Dado um número real x, definimos módulo de x, ou valor absoluto de x como: O significado destas sentenças é: x, se x x. x, se x i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número. ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número. Exemplo: Seja y = x. Para x =, temos x = e, portanto y =. Para x >, temos x > e, portanto y = x. Para x <, temos x < e, portanto y = (x ) = x + = x. Outra definição importante para o módulo de um número real x é: Consequências importantes: x x FUNÇÃO MODULAR Função Modular: é aquela que associa a cada elemento x real um elemento x IR. Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação da função f(x) = x, como sendo: f (x) x, se x x, se x Sendo que o gráfico de f(x) = x é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será refletida sempre para um f(x) positivo. Gráfico da Função Modular: Para construir o gráfico da função modular procedemos assim: 1 º passo: construímos o gráfico da função onde f(x) >

2 Matemática Avaliação Produtiva º passo: onde a função é negativa, construímos o gráfico de f(x) ( rebate para o outro lado na vertical). º passo: unem-se os gráficos. EXEMPLO: 1) Esboce o gráfico da função f(x) = x + 1. Solução. O gráfico pedido é a translação vertical no sentido negativo do eixo em unidades. Após a translação temos: i) O ponto (-1, ) do 1º gráfico se desloca e o mínimo passa a ser (-1, ) = (-1, -). ii) O º gráfico intercepta o eixo X nos pontos: x 1 x (,). (x 1) x 4 x 4 ( 4,) EQUAÇÃO MODULAR Equação Modular: A equação modular está baseada nas seguintes propriedades: i) Se a > e x = a, então x = a ou x = - a. ii) Se a = e x =, então x =. Exemplos: 1) Resolva a equação: (x 6) 1. Solução: Pela definição vem: ) Resolver: x 1 = x +. x 6 1 x 18 x 9 x 6 1. S = {-, 9}. x 6 1 x 6 x Solução: Repare que os dois membros são positivos. Significa dizer que os conteúdos dos módulos são iguais ou são opostos: x 1 x x 1 x x 4 x 1 x. S = {4, /}. x 1 x x x ) Resolver: x + =. Solução: O 1º membro é um valor positivo. Logo, não há como ser ( ). S = Ø. 4) Resolver: x 1 = x 1. Solução: Repare que o 1º membro é positivo. Logo, há uma condição a ser imposta ao º membro: x 1. Isto indica que a solução encontrada deverá satisfazer a x 1. x 1 x 1 x 1 incompatível x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 incompatível. S = Ø.

3 Exercícios Complementares 6) Resolver: x + x 4 = 8. Solução: Como há dois casos para observar em cada módulo, uma sugestão de solução é a construção da grade semelhante à da solução da inequação. Cada interior do módulo pode ser tratado como uma função onde os zeros são identificados. 1 x + + x 4 + x + x 4 ( x + ) + ( x + 4) (x ) + ( x + 4) (x ) + (x 4) Os três intervalos foram analisados e os conteúdos retirados dos módulos. Resolvendo cada caso, temos: 1º ) x x 4 8 1º ) x x 1 º ) x x 4 8 º ) 6 impossível. Logo, S = {-1, 7}. º ) x x 4 8 º ) x 14 x 7 LISTA DE EXERCÍCIOS Resolva as seguintes equações modulares, em R. 1. x - = 4. x+ =. 4 x = x 4 4. x +1 = x x - 6 = - x Construa o gráfico das funções a seguir: 6. f(x) = x f(x) = - x f(x) = x + 4x f(x) = - x + 11x f(x) = x - x + Determinar o domínio e a imagem das funções abaixo: f ( x) x 1. f(x) = x 4x f ( x) x x 1 x 1 Resolva as equações modulares abaixo, em R. 14. x - x +1 = x - x - 1 = 16. x - x - 6 = 17. x - 4 x +

4 Matemática Avaliação Produtiva 18. O domínio da função real f(x) 1 x é o intervalo a) {x x 1 ou x 1} b) {x x 1 ou x 1} c) {x 1 x 1} d) {x 1 x 1} 19. A equação x - + x - 5 = tem: a) uma única solução b) exatamente duas soluções c) exatamente três soluções d) um número infinito de soluções e) nenhuma solução. O conjunto de soluções da equação x x - = é: a) {,1} b) {,} c) {1,} d) {} e) { } 1. A respeito da função f(x) = x, é verdadeira a sentença: a) f(x) = x, se x < b) f(x) = - x, se x > c) f(x) = 1, se x IR d) o gráfico de f tem imagem negativa e) o gráfico de f não possui imagem negativa. Seja f(x) uma função real. O gráfico gerado pelo módulo dessa função, f(x), a) nunca passará pela origem. b) nunca passará pelo º ou 4º quadrante. c) intercepta o eixo x somente se f(x) for do primeiro grau. d) intercepta o eixo y somente se f(x) for do segundo grau.. Seja f(x) x uma função. A soma dos valores de x para os quais a função assume o valor é a) b) 4 c) 6 d) 7 4. Os gráficos de f(x) x 4 e g(x) (x ) se interceptam em a) apenas um ponto. b) dois pontos. c) três pontos. d) quatro pontos. e) nenhum ponto. 5. O gráfico que melhor representa a função real definida por 4 x4,se x 7 x x,se x é a) b) c) d) e) 4

5 Exercícios Complementares 6. Determine a imagem da função f, definida por f(x) x x, para todo x, conjunto dos números reais. a) Im(f) b) Im(f) {y y }. c) Im(f) {y y 4}. d) Im(f) {y y 4}. e) Im(f) {y y }. 7. Na figura a seguir, é apresentado o gráfico de uma função f, de R em R A função f é dada por a) x,sex f(x) x,sex b) x,se1 x f(x) x,sex 1 e x c) x1,sex f(x) x,sex d) x,se1 x f(x) x 1,sex 1 e x 5