FUNÇÕES DE VÁRIAS SENTENÇAS (DOMÍNIO RESTRITO)

Transcrição

1 FUNÇÕES DE VÁRIAS SENTENÇAS (DOMÍNIO RESTRITO) Coordenação da Matemática 1

2 Definição: São funções definidas por várias sentenças (leis, equações) matemáticas, para intervalos do seu domínio. Exemplo: FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS Coordenação da Matemática 2

3 FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS (DOMÍNIO RESTRITO) Esboce o gráfico de Primeiro desenhamos pontilhadas, as retas y = x + 1 e y = x + 3. Coordenação da Matemática 3

4 FUNÇÕES DEFINIDAS POR VÁRIAS SENTENÇAS (DOMÍNIO RESTRITO) Esboce o gráfico de Em seguida, marcar, com traço firme, a parte que interessa de cada uma figura Coordenação da Matemática 4

5 APLICAÇÃO 1.A Função de Heaviside H é definida por : Essa função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada. Esboce o gráfico da função de Heaviside. Coordenação da Matemática 5

6 APLICAÇÃO 2.Na fabricação de até 500 unidades por mês de um certo produto, o gasto de um empresa é composto por um valor fixo de 750 dólares mais um custo, por unidade, de 5,50 dólares. Quando a produção supera 500 unidades, o valor fixo não muda, mas o custo por unidades cai para 4,00 dólares. Qual é a função que representa a relação entre o gasto mensal G da empresa e o número u de unidades produzidas no mês? Coordenação da Matemática 6

7 FUNÇÃO MODULAR Leia e descubra que eu não vim do além Coordenação da Matemática 7

8 DOS NÚMEROS RELATIVOS À IDÉIA DE MÓDULO A idéia de módulo está associada ao desenvolvimento do conceito de número relativo. Encontram-se referências a números negativos em documentos chineses de 300 a.c. Os chineses utilizavam duas coleções de barras de cálculo: uma de cor vermelha para os números positivos e outra de cor preta para os negativos. Coordenação da Matemática 8

9 DOS NÚMEROS RELATIVOS À IDÉIA DE MÓDULO Entre os gregos, os primeiros indícios de números negativos são encontrados na obra de Diofanto de Alexandria (300 d.c.). Nos séculos XVI, com Cardano e XVII, com Girard e Descartes, os números negativos tiveram um tratamento mais sistematizado, sendo, então, aceitos como entes matemáticos. Coordenação da Matemática 9

10 DOS NÚMEROS RELATIVOS À IDÉIA DE MÓDULO Com o desenvolvimento do conceito de número negativo, foi possível associar-se valores positivos e negativos a pontos simétricos em relação a uma origem numa reta orientada. Essa reta foi, posteriormente, denominada eixo. N O P Coordenação da Matemática 10

11 DOS NÚMEROS RELATIVOS À IDÉIA DE MÓDULO O módulo ou valor absoluto de um número corresponde, portanto, à distância do ponto ao qual esse número está associado, até a origem do eixo. Deve-se ao matemático alemão Karl Weierstrass, em 1841, a notação por duas barras paralelas, atualmente em uso. Coordenação da Matemática 11

12 FUNÇÃO MODULAR Coordenação da Matemática 12

13 FUNÇÕES MODULARES Função modular é a função de em, definida por: y x Coordenação da Matemática 13

14 Esboce o gráfico de FUNÇÕES MODULARES Coordenação da Matemática 14

15 FUNÇÕES MODULARES Esboce o gráfico de Coordenação da Matemática 15

16 EQUAÇÕES MODULARES Exemplos: Coordenação da Matemática 16

17 INEQUAÇÕES MODULARES A resolução de inequações modulares está baseada nas seguintes propriedades, válidas para todo número a real e positivo: graficamente, temos: -a a Coordenação da Matemática 17

18 INEQUAÇÕES MODULARES graficamente, temos: -a a Coordenação da Matemática 18

19 APLICAÇÃO 1.Trabalho, na forma científica, denomina uma situação mais restrita que a do cotidiano. Toda vez que se aplica uma força num corpo e essa força aplicada resulta no deslocamento no mesmo sentido da força do corpo, o produto da força aplicada pelo deslocamento é chamado trabalho. A equação é dada por: T= F.d. Quando uma pessoa levanta uma caixa, por exemplo, a pessoa realiza trabalho (fez força e deslocou a caixa). Para manter a caixa erguida, não realiza trabalho. Monte um gráfico do trabalho em função da força para um deslocamento de 2 m. Coordenação da Matemática 19

20 2. Uma indústria teve, no ano de 1999, um faturamento de R$ ,00. No ano de 2000, o faturamento dessa indústria apresentou uma diferença de R$ ,00 em relação ao ano anterior. No entanto, não sabemos se a diferença de R$ ,00 foi a mais ou a menos. Qual o faturamento dessa indústria em 2000? F = ou F = Para representar essas duas equações, podemos utilizar o módulo, considerando a diferença de R$ ,00 como valor absoluto: F = APLICAÇÃO Portanto, o faturamento de 2000 dessa firma pode ter sido de R$ ,00 ou de R$ ,00 Coordenação da Matemática 20

21 APLICAÇÃO 3. O preço médio de certo produto agrícola é função do mês do ano em que é comercializado. Se P é o preço médio em reais e n é o número correspondente ao mês do ano, P em função de n é dado por P(n)= 8 6 n. Determine para qual valor de n ocorre o valor mínimo de P. Resposta: n=12 Coordenação da Matemática 21

22 APLICAÇÃO 3.Uma pessoa tem um telefone celular e está inicialmente na cidade B. Durante a viagem, feita a velocidade constante de 80km/h, da cidade B para a cidade A, a cidade C (capital) é a única que tem antena de retransmissão do sinal do celular. Esta antena tem 60 km de capacidade de recepção do sinal. Sabendo que a cidade B dista 120 km e a cidade A dista 200 km da capital C e tomando a capital C como espaço zero, pergunta-se: a)qual é a equação horária para a situação? b)qual o intervalo de tempo que o celular dessa pessoa funcionou? Coordenação da Matemática 22

23 RESOLUÇÃO EXEMPLO 3 60 km (+) A C B Em função de que o movimento é uniforme (MU), temos: S=S 0 +v.t. Como a pessoa saiu da cidade B e o desenho mostra aumento no sentido esquerda/direita, S 0 =120; v = - 80, daí: S= t Coordenação da Matemática 23

24 RESOLUÇÃO EXEMPLO 3 Como a distância menor ou igual a 60 km d capital é o intervalo de tempo que o celular dessa pessoa funcionou, com isso temos: Resolvendo a inequação modular: Coordenação da Matemática 24

25 RESOLUÇÃO EXEMPLO 3 Resolvendo a inequação modular: Coordenação da Matemática 25

26 FUNÇÃO POLINOMIAL Coordenação da Matemática 26

27 Definição: É a função onde os coeficientes os expoentes são inteiro positivo. Se então f é de grau n. definida por:, são números reais e Gráfico: O gráfico de uma função polinomial é uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. O domínio é sempre o conjunto dos números reais. Coordenação da Matemática 27

28 Coordenação da Matemática 28

29 Coordenação da Matemática 29

30 FUNÇÃO RACIONAL Coordenação da Matemática 30

31 FUNÇÃO RACIONAL Coordenação da Matemática 31

32 FUNÇÃO RACIONAL Coordenação da Matemática 32

33 FUNÇÕES ALGÉBRICAS Coordenação da Matemática 33

34 FUNÇÕES ALGÉBRICAS Definição: É uma função que pode ser expressa em termos de somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências racionais de polinômios. Exemplo: Coordenação da Matemática 34

35 FUNÇÕES ALGÉBRICAS As funções que não são algébricas são ditas transcendentes. As funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, estudadas mais adiante, são exemplos de funções transcendentes. Coordenação da Matemática 35