Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bruno Conde Passos Engenharia Civil Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil

2 Função Exponencial

3 Dúvida: Como são denominadas as funções a seguir? E, qual a diferença entre elas? F(x) = 2 x G(x) = x 2 Função exponencial Função potência

4 Função exponencial A função F(x) = 7 x é chamada de função exponencial, pois a variável x é o expoente Em geral, uma função exponencial é uma função da forma: F(x) = a x

5 Função exponencial Se x = n, um inteiro positivo, então: a n = a. a. a. a. a. a. a. a. a. a. a a. a n fatores F(x) = 2 x para x = 3, temos: F(3) = 2 3 = = 8

6 Função exponencial

7 Função exponencial Se x = -n, um inteiro negativo, então: a n = 1 a n F(x) = 2 x para x = 3, temos: F(3) = 2 3 = = 1 8

8 Função exponencial

9 Função exponencial Se x = 0, então: a 0 = 1 F(x) = ( 3) x para x = 0, temos: F(0) = ( 3) 0 = 1

10 Função exponencial Se x = p/q, um numero racional, e q 0, então: p a q = q (a) p F(x) = (25) x para x = 1 2, temos: F( 1 ) = 2 (25)1 2 2 = 25 1 = 5

11 Gráficos de Função exponencial Os gráficos dos membros da família de funções y = a x ( 1 2 )x ( 1 3 )x ( 1 10 )x 10 x 3 x 2 x

12 Função exponencial Algumas propriedades dos expoentes: Se a e b forem números positivos e x e y, números reais quaisquer, então: a x+y = a x. a y (a x ) y = a xy a x y = ax a y (ab) x = a x. b x

13 EXEMPLO 01 Esboce o gráfico da função y = 3 2 x e determine seu domínio e imagem. Domínio: Todos os números reais Imagem: (-, 3 )

14 EXEMPLO 02 Dadas as funções f(x) = 2 x² 4 e g(x) = 4 x² 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então quanto vale 2 x? f(x) = g(x) 2 x² 4 = 4 x² 2x 2 x² 4 = (2 2 ) x² 2x 2 x² 4 = 22(x² 2x) 2 x² 4 = 22x² 4x x² 4 = 2x² 4x x² 4x + 4 = 0

15 EXEMPLO 02 = b² 4.a.c = ( 4)² = = 0 x = b ± 2.a x = ( 4) ± x = 4 ± 0 2 x = 2 2 x = 2 2 = 4

16 Funções exponenciais: aplicações A função exponencial ocorre frequentemente em modelos matemáticos da natureza e da sociedade. Crescimento populacional; Reprodução bacteriana; Decaimento radioativo;

17 Exemplo 03: Suponha que uma amostra de população bacteriana dobre a cada hora, em um certos intervalos de tempo. Se o número de bactérias no instante t for P(t), onde t é medido em horas, e a população inicial for P(0) = 1000, qual a função que caracteriza essa população?

18 Exemplo 03: P(0) = 1000 P(1) = 2P(0) = 2 x 1000 P(2) = 2P(1) = 2² X 1000 P(3) = 2P(2) = 2³ X 1000 Assim: P(t) = 2 t x 1000 = 2 t (1000)

19 O número e Na função exponencial uma base a pesa muito na forma como a função y = a x cruza o eixo y.

20 O número e Essa notação foi escolhida pelo matemático Suíço Leonhard Euller em e = 2, Podemos aplicá-lo de forma correta, utilizando apenas 5 casas decimais e = 2,71828

21 Exemplo 04 Esboce o gráfico da função y = 2(1 e x ).

22 Desafio!

23 Desafio! (Mack-SP) Calcule o valor da expressão 2 n+4 +2 n+2 +2 n 1 2 n 2 +2 n 1 = Resposta: 82 3

24 Funções Inversas

25 Função Injetora Definição 1; Uma função f é chamada função injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é; f(x 1 ) f(x 2 ) sempre que x 1 x 2

26 Teste da Reta Horizontal

27 Função Injetora Definição 2; Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B. Então sua função inversa f 1 tem domínio B e imagem A, sendo definida por f 1 y = x f x = y

28 Equações de Cancelamento: f 1 (f(x)) = x para todo x em A f(f 1 (x)) = x para todo x em B

29 Como Achar a Inversa de Uma Função Injetora Passo 1: Escreva y = f(x) Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o em termos de y. Passo 3: Para expressar f 1 como uma função de x, troque x por y. A equação resultante é y = f 1 (x)

30 Exemplo 01 Encontre a função inversa de f(x) = x 3 + 2

31 Gráfico da Inversa: g(x) = x 3 h(x) = x 1/3 y = x

32 Exemplo 02 Esboce os gráficos de f(x) = 1 x e de sua função inversa, usando o mesmo sistema de coordenadas.

33 Funções Logarítmicas

34 Funções Logarítmicas Se a > 0 e a 1, a função exponencial f(x) = a x é crescente ou decrescente, e, portanto, injetora pelo Teste da Reta Horizontal. Assim, existe uma função inversa f 1, chamada função logarítmica com base a denotada por log a. Logo; log a x = y a y = x

35 Propriedade dos Logaritmos log a 1 = 0, pois a 0 = 1; log a a = 1, pois a 1 = a; log a x = log a y x = y.

36 Propriedade dos Logaritmos Se x e y forem números positivos, então: log a (xy) = log a x + log a y log a (x/y) = log a x - log a y log a (x r ) = r log a x

37 Exemplo 03 Use as propriedades dos logaritmos para calcular log log 2 5.

38 Equações de Cancelamento log a (a x ) = x a log a x = x

39 Exemplo 04 Calcule: 2 (log 5 10).(log 2 5) = Como temos um produto de expoentes podemos escrever a expressão como uma potência de potência. Aplicamos a propriedade 4 duas vezes e respondemos a questão (2 log 2 5 ) log 5 10 = 5 log 5 10 = 10

40 Exemplo 05 Calcule: 2 log = 2 log = log 2 3 = (2 log 2 3 ) 1 3= = 3

41 Logaritmos Naturais O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural. log e x = ln x Equações do cancelamento: ln(e x ) = x e ln x = x

42 Exemplo 06 Encontre x se ln x = 5

43 Exemplo 07 Resolva a equação e 5 3x = 10

44 Fórmula de Mudança de Base Para todo número a positivo e diferente de 1, temos. log a x = ln x ln a

45 Exemplo 08 Calcule log 8 5, até a sexta casa decimal.

46 Funções Trigonométricas Inversas

47 Funções Trigonométricas Inversas Função Seno

48 Seno com Domínio Restringido

49 Logo; sen y = x sen 1 x = y Com; - π 2 y π 2

50 Exemplo 01 (a) Calcule sen 1 ( 1 2 ) (b) Calcule tg (arcsen 3 2 )

51 Cosseno com Domínio Restringido

52 Logo; cos y = x cos 1 x = y Com; 0 y π

53 Exemplo 02 Encontre o valor exato da expressão cos 1 (-1).

54 Tangente com Domínio Restringido

55 Exemplo 03 Simplifique a expressão cos(tg 1 x).

56 Obrigado pela atenção!