Funções Racionais, Exponenciais e Logarítmicas

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1 Funções Racionais, Exponenciais e Logarítmicas Aula

2 Plano da Aula Definição de Função Racional Função Exponencial e Logarítmica Função Inversa Exercícios Referências James Stewart Cálculo Volume I (Cengage Learning)

3 Função Racional I Uma função racional é a razão de dois polinômios: f (x) = P(x) Q(x) onde P e Q são polinômios. Exemplo simples f = (1/x). Nesse exemplo P(x) = 1 e Q(x) = x. x = 0 não faz parte de domínio de f. Demais valores de x, sim. Valores de x tais que Q(x) = 0 são excluídos do domínio de f.

4 Função Racional II Próximo Exemplo: Q(x) =? Domínio de f =? f (x) = 2 x 4 x x 2 4

5 Função Racional III f (x) = 2 x 4 x x 2 4

6 Função Racional IV x 1,99 1,999 1,9999 2,01 2,001 2,0001 f (x) Comportamento não suave perto do x = 2 Perto do x = 2 é semelhante

7 Funções Algébricas I Uma função f é chamada uma função algébrica se ser puder construída por meio de operações algébricas como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes a partir de polinômios. Comece com vários polinômios e implemente as operações acima.

8 Funções Algébricas II Por exemplo a função f (x) = x é uma função algébrica. x é um polinômio e f (x) é obtido pelo uso se raíz quadrado. Outro exemplo g(x) = x 4 16x 2 x + x + (x 2) 3 x + 1

9 Função Exponencial I A função da forma f (x) = b x onde b é uma constante positiva. x é o variável x é o exponente, diferente do que x b Fácil definir caso x inteiro negativo ou inteiro positivo. Se x for um número racional x = p/q, e p, q inteiros b x = b p/q = q b p = ( q b) p Para valores de x como 2 não existe inteiros p e q tais que 2 = (p/q). ( 2 é um valor irracional) Ou seja b 2 não pode ser escrito como b p/q. Ainda da para definir b x para tais valores

10 Função Exponencial II Para qualquer valor do x e b > 1 f (x) = b x > 0. Caso b > 1, b x cresce quando x cresce. Ou seja para qualquer x e b > 1 b x 1 > b x 2 se x 1 > x 2 e b x 1 < b x 2 se x 1 < x 2 Para b > 1 maior valor de b significa b cresce mais rápido. Para x > 0 e b > 1 f (x) = b x > 1 Para x < 0 and b > 1 f (x) = b x < 1 Caso x = 0 f (x) =?

11 Função Exponencial III y = f (x) = 2 x y = f (x) = ( ) 1 x 2

12 Função Exponencial IV f (x) = 2 x ; f (x) = 3 x ; f (x) = 4 x ; f (x) = ( 1 f (x) = ( 1 3) x ; f (x) = ( 1 4 ) x 2 ) x

13 Função Exponencial V f (x) = 4 x ; f (x) = ( ) 1 x 4 ; f (x) = 3 x ; f (x) = ( 1 x 3) ; f (x) = 2 x ; f (x) = ( ) 1 x 2

14 Função Exponencial VI Funções exponenciais surgem na descrição do crescimento populacional, decaimento radioativo, entre outros. Exemplo de crescimento: suponhamos que o número de bácterias em uma dada amostra dobra a cada hora. O número no início é igual Denotamos o tempo no início como t = 0 e o tempo t horas como t. p(t) é igual a população após t horas. p(0) =? e p(1) =?

15 Função Exponencial VII t p(t) (1000) = (2 1000) = ( ) = ( ) = Em geral p(t) = t. Os valores na coluna 3 crescem porque b(= 2) > 1. Exemplo de uma função crescente.

16 Função Exponencial VIIII Os valores para uma função linear t p(t) t Qual modelo do crescimento é mais rápido?

17 Função Exponencial VIII t p(t) Diferença (1000) = (2 1000) = ( ) = ( ) = Os valores na coluna 3 crescem porque b > 1..

18 Função Exponencial IX t ( t) Diferença Os valores na coluna 3 são constantes. Diferente do caso de função exponencial. Uma distinção importante entre crescimento exponencial e crescimento linear..

19 Função Exponencial X y Crescimento Linear e Exponencial t

20 Função Exponencial XI Propriedades dos Exponentes b x+y = b x b y b x y = bx b y (b x ) y = b xy (ab) x = a x b x

21 Função Logarítmica I Dado que p(t) = t da para obter o valor de p(t) para qualquer valor do t. O domínio é (, ). Dado um valor p(t) = como obter o valor tais que p(t) = ? Em geral para f (x) = b x existe uma função inversa chamada função logarítmica com base b denotada log b.

22 Função Logarítmica II Se y = b x = log b y = x y > 0 sempre. Então log b tem domínio (0, ) Para qualquer valor log b (b x ) = x e b log b x = x A função Logarítmica é um exemplo de uma função inversa Para qualquer base b, log b 1 = 0. Por que? Qual é o valor de logaritmo de 100 na base 10? Esse valor é maior do que logaritmo de 100 na base 2?

23 Função Logarítmica III y? x > Funções Logarítmicas com base 2, 5 e 10. x(?) =?

24 Função Logarítmica IV Propriedades do Logaritmos log b (xy) = log b x + log b y ( ) log x b y = log b x log b y Para quaisquer números positivos x e y log b (x r ) = r log b x onde r é um número real

25 Exercícios I Encontre os valores de log log log log 8 2 1/3 log log 10 2, 5 2 log 8 60 log 8 3 log 8 5 2/3