Números Complexos - Forma Algébrica

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1 Matemática - 3ª série Roteiro 07 Caderno do Aluno Números Complexos - Forma Algébrica I - Introdução ao Estudo dos Números Complexos Desafio: 1) Um cubo tem volume equivalente à soma dos volumes de dois paralelepípedos, P 1 e P 2, que têm as seguintes características: P 1: tem área da base 15 cm 2 e altura igual à aresta do cubo P 2: a base é um quadrado de lado 2 cm e sua altura é de 1 cm. Determine a aresta do cubo. Raiz Quadrada de um Número Real 1

2 Conjuntos Numéricos: Naturais Inteiros Racionais Irracionais Reais 2

3 Resolução de algumas equações polinomiais 2) Resolva as seguintes equações polinomiais: a) 2x + 4 = 0 g) x 4 13x = 0 b) 2x 3 = 0 h) x = 0 c) x 2 5 = 0 d) 2x 2 x 1 = 0 i) 4x 2 12x + 25 = 0 e) x 3 + x 2 6x = 0 j) x 3 5x 2 + 6x 30 = 0 f) x 3 5x 2 4x + 20 = 0 k) x 3 6x 9 = 0 l) x 3 15x 4 = 0 3

4 Números imaginários Exemplos: 3) Escreva na forma b 1 a) 121 c) 25 b) d) 12 4) Escreva na forma a b 1 a) 2 9 c) b) b5)

5 II Unidade imaginária Potências de i: Exemplos: 5) Calcule o valor de a) i 1016 = d) i 23 = b) I 97 = e) ( i) 37 = c) I 102 = Regra Prática: Exemplos: 6) Calcule o valor de: a) i 33 = c) i 87 = e) ( i) 13 = b) i 564 = d) i 10 = f) ( i) 62 = Exercícios do Livro*: pág 229 4, 5, 6, 7 5

6 III O conjunto dos Números Complexos (C) É a união do conjunto dos números reais com o conjunto dos números imaginários. Exercícios do Livro*: pág , 23, 24 (equações) IV Definição de um complexo: Um complexo z é um número da forma i é a unidade imaginária:, com a e b reais. a + bi é a representação algébrica de z, sendo: a a parte real de z b a parte imaginária de z Exemplo: 7) Determine Re(z) e Im(z): a) z = 4 3i d) z = 2i 4 3i b) z e) z = 0 2 c) z = 3 V Classificação de um complexo: Para z = a + bi, com a, b, tem-se: z é um número real z é um número imaginário z é um número imaginário puro 6

7 Problema: 8) Determine o valor de a, a, para que z = (4a 2 1) + (2a 1).i seja um número imaginário puro. VI Igualdade de complexos: Se z = a + bi e w = c + di, com a, b, c e d reais, z = w Exemplo: 9) Determine os valores de a e b, reais, para que 3a 1 + 4bi = 5 2i. Exercícios do Livro*: pág 233: 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17 7

8 VII Representação geométrica de um complexo Afixo Um complexo, representado algebricamente por z = a + bi, com a e b reais, é, afinal, um par ordenado de números reais (a, b), representado geometricamente por um ponto no plano, denominado afixo de z. OBS: o complexo z, de afixo P, pode ser associado ao vetor com origem em O(0, 0) e extremidade em P: vetor OP. Exemplo: 10) Dê o afixo dos seguintes complexos e represente-os no plano cartesiano: a) z 1 = 2 + 3i e) z 5 = 5 b) z 2 = 3 + 4i f) z 6 = 7 c) z 3 = 1 2i g) z 7 = 2i d) z 4 = 4 3i h) z 8 = 3i Exercícios do Livro*: pág pág Problemas: 11) A circunferência da figura tem centro na origem do sistema cartesiano. Se seu raio mede 5, determine os complexos cujos afixos são os pontos onde a circunferência cruza os eixos. 8

9 12) Determine a área do polígono cujos vértices são os afixos das soluções complexas da equação x 3 6x x = 0. VIII Complexos Conjugados: Se z = a + bi então é seu conjugado. Exemplo: 13) Determine o conjugado de: a) z = 2 + i b) z = 3i c) z = 3 Interpretação Geométrica de um Conjugado Exemplo: 14) Represente no plano, em cada caso, os complexos z e z : a) z 1 = 2 + i b) z 2 = 3 4i 9

10 XIX Adição, subtração e multiplicação de imaginários Exemplo: 15) Se z = 2 + 3i, w = 1 + 2i e v = 4 6i, efetue: v a) 2 z 3w c) v 2 = 2 b) z. w = d) z 3 = OBS 1: z w.w z z n OBS 2: (1 + i) 2 (1 i) 2 10

11 OBS 3: Outras Interpretações Geométricas 16) Represente no plano z 1, z 2 e z 1 + z 2, sendo dados: z 1 = 2 + 3i e z 2 = 1 + 2i 17) Represente no plano z e z.i sendo z = 2 + i. Para Casa: pág bde, 19c, 20, 21, 26, 27abcd, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 pág , 37 Extra: a) (1 i) 6 = b) (1 + i) 11 11

12 XX Equações: Exemplo: 18) Determine z: a) z + 5i 3 = 3z + 2i + 5 b) z + 5i 3 = 2 z + 2i + 5 c) i.z 2z 3 3i Exercícios do Livro*: pág , 40, 41, 42 12

13 XXI Quociente de Dois Imaginários: Exemplos: 19) Se z = 3 + 2i e w = 2 i, determine z v. w 20) Determine o inverso de z = 2 3i. 21) Dado o complexo z = 2x i, com x, determine o valor de x para que a parte real de x i z seja

14 22) Calcule m real de modo que a imagem do número z = quadrantes pares. m 4i 3 i esteja na bissetriz dos Exercícos do Livro*: pág , 45, 46, 47, 48, 49, 50 Exercícios Gerais: pág 262 1, 2, 5, 12, 25 pág 264 1, 2, 5, 18 Este Roteiro serve como apoio para as anotações de aula feitas pelo aluno Concepção, elaboração e pesquisa: profª *Os exercícios referidos nas seções Exercícios do Livro estão em: Conecte: Matemática ciência e aplicações 3º ano (Ensino Médio) Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e outros Editora Saraiva,