O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

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1 Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Eemplo.: O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w. O correio tem uma fórmula que permite calcular C quando é dado w. A área de um círculo depende do seu raio r. A lei que conecta r e A é dada pela equação A = π r. A cada número r positivo eiste um único valor de A e dizemos que A é uma função de r. Uma função pode ser representada de várias maneiras por uma equação, por uma tabela, por um gráfico ou mesmo por meio de palavras. Definição.: Uma função f é uma lei a qual cada elemento em um conjunto A faz corresponder apenas um elemento chamado f() em um conjunto B. O conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o contradomínio. Observação: As funções estudadas neste curso têm como domínio e contradomínio conjuntos de números reais. Definição.: Chamamos conjunto imagem de f ao conjunto de todos os valores possíveis de f() quando varias por todo o domínio. Eemplo.: Sejam A=[-,], B= e f:a B dada por f()=3. Determine: a) f(-) b)f(0) c)f() d) o conjunto imagem de f Destacamos algumas das funções com as quais trabalharemos ao longo do curso: polinômios, função eponencial e função logarítmica.. Polinômios Uma função P é denominada polinômio se n n P ( ) = an an K a a ao, onde n é um inteiro não negativo e os números a o, a, a,...,a n são constantes chamadas coeficientes do polinômio. O domínio de qualquer polinômio é =(-, ). Se o coeficiente dominante a n 0, então o grau do polinômio é n Eemplo.3: P ( ) = é um polinômio de grau 6. 5

2 Polinômio de grau (Função do º grau) A equação de uma função do º grau pode ser escrita na forma: y=mb; onde m e b são constantes. Propriedades da função do º grau : ) o gráfico de uma função do º grau é sempre uma reta. ) na função f() = m b, se b = 0, f é dita função linear e se b 0 f é dita função afim. 3) o gráfico intercepta o eio dos na raiz da equação f() = 0 e, portanto, no ponto de abscissa = - b/m. 4) o gráfico intercepta o eio dos y no ponto (0, b), onde b é chamado coeficiente linear. 5) o valor m é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. 6) se m>0, então f é crescente. 7) se m< 0, então f é decrescente. 8) quando a função é linear, ou seja, y = f() = m, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. Eemplo.4: Esboce o gráfico de y=3 Eemplo.5: Na função y=mb sabe-se que f()=0 e f(3)=4. Determine a função. O eemplo.5 pode ser resolvido usando o conceito de coeficiente angular e equação da reta para obter a epressão de y. Coeficiente Angular Equações de Retas As linhas retas num plano têm equações muito simples, relativamente a um sistema de coordenadas cartesianas. Estas equações podem ser deduzidas utilizando-se o conceito de coeficiente angular.

3 Definição.3: Sejam (, y ) e (, y ) pontos distintos de uma reta r. Se então o coeficiente angular (ou inclinação) m de r é dado por Observações: m = y y O valor de m calculado pela definição anterior é independente da escolha dos dois pontos em r. Se = então r é uma reta vertical e seu coeficiente angular não está definido. Para entender o significado do coeficiente angular, vamos pensar que estamos caminhando da esquerda para a direita ao longo da reta. Em retas com coeficiente angular positivo estaremos caminhando para cima. Em retas com coeficiente angular negativo estaremos caminhando para baio. Caminhar em retas com coeficiente angular zero, corresponde a caminhar na horizontal. Se = então r é uma reta vertical e seu coeficiente angular não está definido. Coeficiente angular positivo Coeficiente angular negativo Coeficiente angular zero Coeficiente angular indefinido Eemplo.6: Ache o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (, 5) e (3, ). Eemplo.7: Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (7, ) e (3, ). Seja (, y ) um ponto dado de uma reta de coeficiente angular m. Então, para qualquer outro ponto (,y) da reta temos que y y = m Daí, multiplicando ambos os membros por ( ) obtemos a equação da reta na forma chamada ponto-coeficiente angular. y y = m( ) () Se o ponto conhecido é aquele em que a reta corta o eio y, e é denotado por (0, b), então a equação () torna-se y = m b () 3

4 Neste caso, b chama-se interseção y da reta ou coeficiente linear e a equação () chama-se equação reduzida da reta. Esta equação epressa a forma geral de uma função do º grau. Como uma reta horizontal tem coeficiente angular zero, a reta horizontal que passa pelo ponto (, y ) tem a equação y = y. O coeficiente angular de uma reta vertical não está definido, por isso as fórmulas () e () não são apropriadas para se obter sua equação. No entanto, as primeiras coordenadas de todos os pontos de uma reta vertical são iguais. Assim, uma reta vertical que passa pelo ponto (, y ) tem equação =. Eemplo.8: Escreva a equação da reta que: a) passa pelos pontos (4, ) e (5, 8). b) passa por (, 3) e tem coeficiente angular 4. c) tem coeficiente angular e coeficiente linear 5. d) passa pelos pontos (3, 5) e (3, ) Teorema.: Duas retas não-verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais. r // s m r = m s Eemplo.9: Seja r a reta que passa pelos pontos (,9) e (,3) e seja s a reta que passa pelos pontos ( 4, 0) e (3, 4). Mostre que r e s são paralelas. Teorema.: Duas retas não-verticais são perpendiculares se e somente se o coeficiente angular de uma é igual ao simétrico do inverso do coeficiente angular da outra. r s m r = m s Eemplo.0: Seja r a reta que passa pelos pontos (,9) e (,3) e seja s a reta que passa pelos pontos (4, 5) e (, ). Mostre que r e s são perpendiculares. Observação: O coeficiente angular de uma reta é uma constante sempre que ele está definido. O número y y é a variação na coordenada y (podemos representar por y) e é a variação na coordenada (podemos representar por ). Dessa forma, o coeficiente angular de uma reta fornece a razão entre a variação de y e a variação de, ou ainda, a taa de variação de y em relação à. y y y y m = = y y 4

5 Eemplo.: No começo do ano de 00, o preço dos pães integrais em um supermercado local aumentou a uma taa constante de centavos por mês. Em º de novembro do referido ano, o preço atingiu R$,06 por unidade. Epresse o preço do pão em função do tempo e determine o preço no começo de 00. Polinômio de grau (Função do º grau) Uma função é dita do º grau quando é do tipo: f() = a b c, com a>0. Eemplos.: f() = - ( a =, b = -, c = ) ;y = - ( a = -, b = 0, c = 0 ) Gráfico da função do º grau y = a b c : é sempre uma parábola de eio vertical. Propriedades do gráfico de y = a b c : ) se a >0 a parábola tem um ponto de mínimo. ) se a <0 a parábola tem um ponto de máimo 3) o vértice da parábola é o ponto V( v, y v ) onde: v = - b/a y v = - /4a, onde = b - 4ac 4) a parábola intercepta o eio dos nos pontos de abcissas ' e '', que são as raízes da equação a b c = 0. 5) a parábola intercepta o eio dos y no ponto (0, c). 6) o eio de simetria da parábola é uma reta vertical de equação = - b/a. 7) y ma = - / 4a ( a <0 ) 8) y min = - /4a ( a > 0 ) 5

6 9) Im(f) = { y ; y - /4a } ( a > 0 ) 0) Im(f) = { y ; y - /4a} ( a< 0) ) Forma fatorada : sendo e as raízes da de f() = a b c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir : y = a( - ).( - ) Função Eponencial e Função Logarítmica Função Eponencial Definição.4: Seja b IR { } função eponencial de base b. Eemplos.3:. A função de IR em IR tal que f() = b é chamada de ) Seja f() =. Temos que f(3) = 3 = 8; f(0) = 0 = ; f( ) = - = ; f 3 = 3/ = 3 = 8 ) Seja f() = Temos que f(4) = ; f( 3) = 8; f(0) = ; f = 6 Observação: Na definição anterior, b IR { } pois: a) Seja f() = ( ). Então, por eemplo, f(/) = (-) ½ = IR b) Seja f() = 0. Então, por eemplo, f( ) = 0 = 0 IR c) Seja f() =. Então f() = para todo número real, isto é, f() é uma função constante. Figura 6

7 As quatro curvas da figura são típicas dos gráficos de funções eponenciais. Em particular, se b >, o gráfico de y = b se parece com os gráficos de y = e y = 3 ; se 0 < b <, o gráfico de y = b se parece com os gráficos de y = (/) = e y = (/3) = 3. De modo geral, o gráfico de y = b é representado por uma curva que está toda acima do eio, corta o eio y no ponto (0,) e tem concavidade voltada para cima em IR. Além disso, y = b é crescente em IR para b > e é decrescente em IR para 0 < b <. As funções eponenciais são contínuas em IR e obedecem às seguintes propriedades: Sejam a, b IR { } e e y números reais. a) b = b y = y d) (b ) y = b y b) b.b y = b y e) (a.b) = a.b b c) y b = b y f) a b a = b O número e Dentre todas as bases possíveis para uma função eponencial, há uma que aparece com muita freqüência em livros tetos de cursos de cálculo. O número e aparece quando escolhemos para a base a um valor tal que a reta tangente a y=a no ponto (0,) tem inclinação eatamente. O número e é um número irracional, ou seja, não pode ser escrito na forma de fração e seu valor é, e também é transcedental (não pode ser resultado de uma equação polinomial com coeficientes inteiros do tipo: a n b n-... z = 0). Esta notação foi escolhida pelo matemático suíço Leonard Euler em 77. A função f()=e cruza o eio y com inclinação 7

8 A função f()=e aprece na modelagem de vários fenômenos naturais por eemplo: crescimento populacional, desintegração radioativa. Na área de Economia é aplicada no cálculo de juros. Por eemplo: Imagine que um banco pague juros de 00% ao ano. Uma situação hipotética, mesmo assim, vamos fazer de conta que eiste um banco com essa maravilhosa generosidade. Após um ano, teríamos o montante de R$,00 para cada R$,00 aplicado. E se, com uma generosidade ineplicável, os juros fossem creditados semestralmente, ao final de um ano teríamos R$,5. A epressão para esse cálculo é a seguinte: ( /n) n = ( /) =,5 (a fórmula dos Juros Compostos é: M=C(i) t, onde M=montante, C=capital, i=taa de juros, t=tempo) Para o crédito ser trimestral, temos n = 4 e o resultado é,444. Vejamos alguns resultados para diversos valores de n na tabela abaio. n ( /n) n,5 3, ,444 5,4883 0, , , , , , , ,788 A loucura total seria calcular quanto seria o resultado para o crédito instantâneo, ou seja, com n tendendo ao infinito. Esse limite é chamado número e (número de Euler). Função Logarítmica Para definir a função logarítmica, vamos primeiro fazer uma revisão de logaritmo. Definição.5: Sejam a, b IR com b. Dizemos que o logaritmo de a na base b é o número tal que b = a, isto é: log b a = b = a Eemplos.4: ) log 8 = 3 pois 3 = 8 ) log 3 8 = 4 pois 3 4 = 8 3) 5 log 5 = 3 porque 5 3 = 5 Observações: 8

9 ) Os logaritmos de base 0 são chamados de logaritmos decimais e denotados sem indicar o valor da base, isto é, log a = log 0 a. ) Os logaritmos de base e são chamados de logaritmos neperianos (ou naturais) e denotados por ln isto é, ln a = log e a. Propriedades dos logaritmos: Sejam b IR { } e sejam a, c IR ) log b a = log b c a = c ) log b b = 3) log b = 0 4) log b (a.c) = log b a log b c 5) log b a c a = c. log b a 6) log b c = log b a log b c Definição.6: Seja b IR { } de função logarítmica de base b.. A função de A figura abaio mostra os gráficos de duas funções logarítmicas: IR em IR tal que f() = log b é chamada Observações: Gráfico de y = log Gráfico de y = log / ) A função logarítmica é uma função contínua em ) A função logarítmica é crescente em IR. IR para b > e é decrescente em IR para 0 < b < Propriedades que relacionam as funções eponencial e logarítmica como funções inversas: ) log b b = ) log b b = Funções: Aplicações Função Custo, Função Receita e Função Lucro Uma função custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia em função da quantidade produzida desse bem. No custo de produção eistem duas parcelas: uma parte fia, chamada custo fio, que não depende da quantidade produzida e corresponde aos gastos fios de produção tais como aluguel e manutenção do prédio; e uma parte variável que depende da 9

10 quantidade produzida e corresponde aos gastos de produção propriamente dita, isto é, envolve compra de matéria prima, pagamento de mão-de-obra, etc., é o chamado custo variável. A função custo é a soma dos custos fio e variável. Eemplo.5: O custo variável de fabricação de filtros de água é 0 0,000 com e o custo fio mensal é R$.000,00. Determine a função C() que fornece o custo total da fábrica e calcule o custo para produzir litros de água. Eemplo.6: O custo mensal de produção de brinquedos é dado por C() = a) Calcule o custo para se produzir.000 brinquedos. b) Determine o custo adicional, se o nível de produção aumentar de.000 para.00 brinquedos. c) Quantos brinquedos podem ser produzidos a um custo de R$5.000,00? A função receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade variável de um produto. A função receita R() pode ser determinada multiplicando-se o preço unitário p do produto pela quantidade, isto é, R() = p. A função lucro (total) é epressa pela diferença entre as funções receita e custo. Eemplo.7: Suponha que brinquedos do eemplo anterior são vendidos por R$0,00 a unidade. Então R() = 0. Dada a mesma função custo, C() = 3.000, o lucro gerado pelos brinquedos será: L() = R() C() = 0 ( 3.000) L() = a) Determine a receita gerada por brinquedos. b) Determine o lucro gerado por brinquedos. Eemplo.8: O custo semanal de fabricação de unidades de um produto é dado por C() = e a receita gerada pela venda de unidades é R() =. a) Determine a função lucro L(). b) Qual é o lucro obtido quando são vendidas 0 unidades por semana? c) Se o lucro é de R$.000,00 por semana, qual é a receita semanal? Eemplo.9: C() = 7 e R() = 0 são, respectivamente, as funções custo e receita para unidades de um produto fabricado e vendido por uma empresa. a) Determine a função lucro L() da empresa. b) Determine o valor de para que o lucro seja máimo. Referências: -Cardoso, Maria Emília Neves. Notas de aula de Complementos de Matemática Aplicada, UFF: 0. -Hoffmann, L;Bradley,G. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 6 a ed. LTC, Stewart, James. Cálculo Volume. 5 a Ed.. São Paulo: Thomson Learnig,