Matemática A Semiextensivo V. 2

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1 Semietensivo V. Eercícios 0) R = {(0, ), (, ), (, ), (8, 9)} 0) B 0) D 0) B A = {0,,,, 8} e B = {,,, 9} R = {(, ) A. B/ = + } = 0 = 0 + = B = = + = B = = + = B = = + = 7 7 B = 8 = 8 + = 9 9 B Assim R = {(0, ), (, ), (, ), (8, 9)} A = {,, }, B = {,,,, 8} e R = {(, ) A. B/ } Como temos que todos os elementos de A podem fazer parte do D(R), então D(R) = {,, }. Para imagem, não podemos contar com todos os elementos de B, pois o elemento 8 não será menor que nenhum elemento de A, assim Im(R) = {,,, }. P = {0,, } e R = {(, ) P. P/ + < } Vamos escrever a lei como <, assim: = 0 < 0 < {0,, }... elementos (0, 0); (0, ) e (0, ). = < < {0, }... elementos (, 0); (, ). = < < {0}... elemento (, 0). + f ( ) + f( ) f() = e h() = + + f ( ). f( ) f( ) + f( ) h() = + f( ). f( ) + f() = + = =. + f( ) = ( ) ( )+ =. 9 + h() = = = = ) C a) Não é função, pois não utilizamos todos os elementos do conjunto A. b) Não é função, pois para um elemento do conjunto A não temos um e somente um elemento correspondente do conjunto B. c) É função, pois para um elemento do conjunto A, temos um e somente um elemento correspondente do conjunto B. 0) b, c 07) E a) Não é função, pois para um domínio temos mais de uma imagem relacionada. b) É uma função, pois para cada elemento do domínio temos apenas um elemento da imagem. c) É uma função, pois para dada elemento do domínio temos apenas um elemento da imagem. Analisando o gráfico abaio: número de casos meses J F M A M J J A S O N D 08) D Dentre as alternativas mencionadas, a única verdadeira é a letra E, pois no terceiro trimestre temos =

2 09) A a) Falso. f( ) 0 f( ) = 0 b) Falso. f( ) + f() = 0 f( ) = e f() =, assim f( ) + f() =. c) Falso. f(0) = 0 f(0) = d) Verdadeiro. f(). f(). f() = 0 f() = 0 Qualquer número vezes 0 é 0. e) Falso. Imagem de f é [, ] Im = [ ; ] f() =. ( + ) = 8 f() = = 8 + = 0 = 0, f() =. ( + ) = f(0) = 0 = 0) D f: R R definida por:, se é racional f() =, se é irracional ) B f( ) + f( 8) + ( ) b) f() = 0 f() = 0 f() = / ) C ) A ) A I. Verdadeira. No instante t = 0 min, temos d = 0. II. Falsa. O zoólogo chegou ao ponto de observação no instante t = min e, portanto, 0 min após ter saído do ponto de apoio (t = min). III. Verdadeira. O zoólogo esteve no ponto de observação nos intervalos de min a min (0 min) e de min a min (0 min). IV. Verdadeira. O zoólogo partiu do ponto de observação no instante t = min e percebeu que havia esquecido o binóculo no instante t = 0 min. V. Verdadeira. Chegada do zoólogo ao ponto de observação: min; chegada ao ponto de apoio: 7 min. ) 0 páginas. Considerando que é o número de páginas e o valor recebido pela tradução temos: = 0 + ; fazendo = 80 temos a seguinte equação: 80 = = = 0 Sendo C I e C II os valores cobrados, temos: CI = n CII = 0n+ 0 Do enunciado: C I = C II 00n + 0 = 0n + 0 ) C I(A) , 0,,9, 7, 7) O f(0) =. 0 + = + = 0 = =, 0 8 t(ms) O comportamento que faz a mudança de inversão do pulso elétrico é,9 m/s. f() = a + b, f( ) = e f() = 7 + = a b a+ b= 7 a = a = + b = b = f() = + f(8) = 8 + =

3 8) 99 f() = m + n Como admite como raiz, temos f() = 0, e ainda f( ) = Temos: m+ n= 0 m n 0 + = 7m = m = 9 m+ n= m n=. 9 + n = 0 n = 9) B 0) C Então: f() = 9. f() = 99 = m + n passa por A(, ) e B(, ) m+ n= m+ n= m = m = + n = n = + n = I. Verdadeiro. m + n =. II. Verdadeiro. m n =. III. Verdadeiro. m = /. IV. Falso. n =. V. Falso. m. n = /. Seja f: R R a função linear definida por f() = a, em que f() representa o desperdício de água, em litros, após dias. A taa de variação da função f é dada por a = = 0. Portanto, segue que f() = = 0. ) C ) E Temos que encontrar uma função = a + b que passa pelos pontos (, 0) e (0, ). + = a b 0 a + = 0 a = a = 0.a+ b= = + Seja a função N: A B, definida por N(n) = an + b, em que N(n) é o número de sacolas consumidas, em bilhões, n anos após 007. Do gráfico, temos que o valor inicial de N é b = 8. A taa de variação da função N é dada por a = =. ) C ) D ) E ) C Desse modo, segue que N(n) = n + 8. Queremos calcular o número de sacolas consumidas em 0, ou seja, N(). Portanto, N() =. + 8 = Sendo o número de favelas em 0, temos 98 = Dessa igualdade, resulta = 8. Portanto, o número de favelas em 0 será maior que 0 e menor que 00. Como o custo fio anual, para 0 minutos diários de uso, é de dólares e o custo da hora etra é de dólares, segue que o valor anual pago é dado por f() = +, em que é o número de horas etras. A função é do primeiro grau: = a + b. Calculando o valor de a: a = 70,, 70 = 0,07 0 Portanto, = 0,07 + b 7,0 = 0,07.,0 + b b = Logo = 0,07 +. Consideremos a função do primeiro grau = a + b. Temos, portanto, segundo a tabela: = a (0) + b (I) 8 = a (m) + b (II) = a () + b (III) k = a (7) + b (IV) De (I), temos b =, que substituído em (III) nos fornece a =. Substituindo b = e a = nas equações (II) e (IV), temos m = e k =,, donde chegamos a K + m = 7,.

4 7) B 8) A 9) C Como R$,00 R$ 9,00 R$,00, devemos encontrar a lei da função afim cujo gráfico passa por (,) e (0, ). Seja f() = a + b a lei da função procurada, em que f() é o valor a ser pago para um consumo de m, com 0, 0 temos que: a = 0 = = e f() = =. + b b =. Portanto, f() = 9 9 = = = 7 m. I. Verdadeira. A reta passa pela origem, portanto b = 0. II. Verdadeira. A reta é decrescente e não passa pela origem, portanto a < 0 e b 0. III. Falso. A reta é crescente e corta o eio num valor positivo, portanto o correto seria a > 0 e b > 0. IV. Verdadeiro. É uma função constante, portanto a = 0. V. Falso. Pois a figura é decrescente e a figura é crescente. Seja a função r(t) = at, em que r(t) é o raio do tronco, em cm, após t anos e a é a taa da crescimento. Supondo que em 99 (t = 0) o raio da base media 0 cm, e sabendo que em 0 (t = 0) o raio tinha cm, temos que a = =. Portanto, na primavera de 0 (t = ), o raio da base desse tronco, será de r () =. = 8 cm. ) a) f() = + 70 b), metros. ) E Se for função do º grau é do tipo = a + b a) = a + b (dados do arqueólogo) 90 = 0a + b = a + b (dados do assistente) 0 = 0a + b Resolvendo o sistema com as duas equações encontradas, tem-se: 90 = 0a + b 0 = 0a b 0 = 0a a = Substituindo para achar b: 90 = 0a + b 90 = 0. + b 90 = 0 + b b = 70 Portanto a função é = + 70 b) Substituindo o valor em daquela função, temos: = = = Portanto, a altura era, m. Do enunciado, temos que m =,7n. Esboçando o gráfico de m em função de n, vem:,7 m 0 n 0) E A equivalência é obtida por f() = a + b em que f() é a temperatura em grau Fahrenheit e a temperatura em graus Celsius. Então podemos considerar os seguintes pontos: (0,) e (00, ). Assim: b = 00a+ b= 00a + = 00a = 80 a = 9 f() = 9 + f(9) = = 8, F

5 ) D Para minutos: 9, 90, para , Plano K: K() = 90, para 0 00 K ( ) = 9, , ( 00) para > 00 0, 0, 0 para > 00 9, 90, para , Plano Z: Z() = 90, para 0 00 K ( ) = 9, , ( 00) para > 00 0, 9, 90 para > 00 A partir de 00 minutos observamos que o coeficiente angular da função K() = 0, é maior que o de Z() = 0,. Portanto, o gráfico da alternativa D. ) B Do enunciado, podemos construir o gráfico a seguir: T ( C) t,8 ) B c() = e f() = 0. Fazendo f() > c(), temos: 0 > > 0 > 0/ Logo, deverá ser vendida pelo menos uma bolsa. 7) B, Ano Logo: t, 8, 8, = t, 8 0, = t,8 = 0,0 t =,8 C L = O lucro máimo é obtido por v = a Δ = 0. ( ). ( 00) Δ = Δ = 00 v = 00.( ) = 80 8) B C = 000 0n + n v = b v = ( 0 ) a. = 9) C ) B Observando os gráficos, temos: 000 R ( ) = R ( ) 000 = 000 C ( ) = + C ( ) = Assim, o lucro é dado por: L() = R() C() L() = L() = 000 Logo, L(0) = =70 f() = v = =.( 0) Δ = 0. ( 0).0 Δ = Δ = 00 v = 00 = 90.( 0) I. Verdadeiro. Maior velocidade 90 km/h. Velocidade inicial f(0) = 0 km/h. II. Falso. A maior velocidade aconteceu quando o cronômetro indicava = s. III. Verdadeiro. f() = = 0

6 0) D f() = g() = + = 0 ' + " = b a = ( ) = ) A Substituindo os pontos na equação, tem-se: P(0, ) = a. 0 + b. 0 + c = c Q(, 7) 7 = a. ( ) + b( ) + 7 = a b + a b = (I) R(,7) 7 = a. + b. + 7 = a + b + a + b = (II) Multiplicando a primeira equação por : a b = ( ) a + b = (III) Agora somando as equações II e II: a + b = a + b = b = 8 b = 8/ b = Agora, substituindo b por na equação, por eemplo: a b = a ( ) = a + = a = a = E finalmente, substituindo: a + b c =. = ) C ) A v = (). + v = v = + ( ) = Parábola com concavidade para baio e possui duas raízes reais e distintas, então: a < 0 e b ac > 0 = a + b + c Parábola com concavidade para cima, então a > 0. v > 0 b > 0; como a > 0 então b < 0. a Corta o eio num valor negativo, então c < 0. ) D f() = + Δ = ( ).. ( ) Δ = 9 + Δ = v =. ) B Imagem = R/ P ) D f() = a + b + c (0,) c = (, ) a + b + = (, ) 9a + b + = a+ b= 8 a b = a = 9a+ b= 9 a+ b=. + b = b = f() = + v = ( ) =. Da forma fatorada: = a( ). ( ) Substituindo o vértice, temos: = a( ). ( ) a = = ( ). ( ) Assim, f(0) = (0 ). (0 ) = P (0; )

7 7) C f() =, com [0; 7], tem como gráfico: 9) a) A(, 0), B(, 0) e V = (, ) b) C(, ) c) A = u.a. a) A parábola P intercepta o eio coordenado O nos pontos A = (, 0) e B = (, 0), onde e são raízes da equação = = 0 = 8 ± + 9 = 8 ± = e = A = (, 0) e B = (, 0). 8) C Observando o gráfico, temos que f má. = f(7) =. 7 7 = Podemos analisar as alternativas fazendo o gráfico da função. Raízes: e. Concavidade da parábola para baio. Vértice: t v = b = a. = = h v = b ac.. = = a. 9 O vértice da parábola é o ponto 9,. 9 Im V = 9 = 9 9 = 0) B O vértice da parábola é o ponto V = b = 8,, = (, ) a a 8 V = (, ) b) Para determinar os pontos de intersecção da parábola P de equação = com a reta r de equação = +, resolve-se o sistema: = = + = = = = 0 = ± = ou= = = = = Logo, o ponto de inteseção C com abscissa positiva é (, ). De acordo com as informações do problema, podemos escrever: = 0, p + p = 0 mil habitantes. Fazendo p(t) = 0 na segunda função, temos: 0 = t t + 0 t t 0 = 0 t =, ou t = (não convém). Logo, t é, no mínimo, anos e meses. 7

8 ) B Utilizando a fórmula fatorada, temos: = a ( ). ( + ) = a. ( ). ( ) a = / Portanto, = /. ( ) =. + Logo, a altura do túnel é b = /. ) B h (m) Altura máima 0 ) B t(s) O gráfico da função definida por = + m + (8 m) tangencia o eio das abscissas no ponto (k; 0) com k < 0. Assim sendo: m (8 m) = 0 m + m = 0 m = ou m = 8 Para m = temos = + + = ( + ) e, portanto, k =, p = e k + p =. Para m = 8, temos: = 8 + = ( ) De acordo com o gráfico, temos: h(t) = a. t + b. t Sabendo-se que h() = m e h() = 0 m, temos o sistema: a. + b. = a b + = a = e b = 7 a. + b. = a+ b= Portanto, h(t) = t + 7t; logo, a altura máima será atingida para t = b. a = ( 7 ) =, s.. ) a) V = b) v = b a = ( + 000) = 0 cm.( 00 ) a) O volume V do bloco retangular, em metros cúbicos, é dado por V =. (0, ) = + 0,. b) O volume V será máimo quando o valor de corresponder ao vértice da parábola, dada pela função quadrática. 0, V = + 0,, isto é, quando = = 0, m = 0 cm. (. ) ) a) AM = e MB = + b) AM = MB = = e, portanto, k = e p =. Essa solução não serve pois k < 0. = + ( ) 9 = = 0; resolvendo, temos: AM = e MB = + = + ( ) A = 8 + V = ( 8 ) = ; logo, AM = MB =. 8

9 ) d = 00. 0t, v = 00 0t e a = 0 0. Verdadeiro. O projétil atinge o ponto culminante no instante t = 0 s. 00 V = = 0 s..( ) 0. Verdadeiro. A velocidade do projétil no ponto culminante é nula. v = = 0 0. Verdadeiro. A aceleração do projétil em qualquer ponto da sua trajetória é a = 0 m/s. 08. Verdadeiro.. Verdadeiro. A distância do ponto culminante, medida a partir do ponto de lançamento, é de 00 m.. Falso. 7) A = Área do retângulo de cima = Área do retângulo de baio = ( ). A = Área do retângulo da esquerda = Área do retângulo da direita = ( ). A = Área da região hachurada = A + A A = ( ) + ( ) A = ( + ) A = (88 ) A = Note que A é uma função de segundo grau cujo gráfico é uma parábola de boca para baio. Nesse gráfico, A será máima quando = vértice : = vértice = b/a = 7/( 8) = 7/ = 8) D 0 A() = (0 ) A() = + 0 Δ = 0.( ). 0 Δ = 900 V = 900.( ) V = 9) A A A máima 9 v Utilizando semelhança de triângulos, temos: 9 + = = 9 Calculando a função da área, temos: A() =. A() =. 9 + A() = 9 + Determinando o do vértice, temos: V = = 9. Portanto, = e = 9. =, Logo, as dimensões do jardim são m e, m. 9

10 0) E f() = =, se < 0, se 0 Assim, não terá imagens negativas. ) A ) D f() = e g() = f() = (,) (,) g() = f() = + = +, se < 0 +, se 0 Seu gráfico será duas semirretas de mesma origem. ) A f() = + + = +, se < + +, se f() = + + = +, se < +, se O A = 0. = u.a. 7) D f() =, se 0 e g() = f(), se 0 g() = 0, se, se < 0 ) E A alternativa que tem a lei de formação que gera o gráfico do eercício é a E, pois: +, se < f() = ( ). ( ) = +, se < +, se ) A, se< < f() = =, se 0 + < =, se 0, se 0 +, se 0 <, se ) F V F V, se< < 0 f() = = ( ), se + < =, se 0 + <, se 0, se 0, se 8) B f() = f() = ou f() = = = O número de elementos no conjunto solução é dado pelo número de pontos da intersecção de f() como = e =. Portanto, soluções. 0

11 9) C < < f() = + =, se +, se < c), se < + < < =, se, se < 0, se 0 <