Prof. Dr. Aldo Vieira

Transcrição

1 . Um estudo das condições ambientais na região central de uma grande cidade indicou que a taxa média diária (C) de monóxido de carbono presente no ar é de C(p) = 0,5p + partes por milhão, para uma quantidade de (p) milhares de habitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população nessa região será de p(t) = t t + 0 milhares de habitantes. Nesse contexto, para que a taxa média diária de monóxido de carbono ultrapasse o valor de 6 partes por milhão, é necessário que tenham sido transcorridos no mínimo: a) anos b) anos e 6 meses c) 3 anos d) 3 anos e 6 meses e) 4 anos. Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo. Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente, a),0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d),5 m e 7,0 m. 3. Um jogador de futebol, ao bater uma falta com barreira, chuta a bola de forma a encobri-la. A trajetória percorrida pela bola descreve uma parábola para chegar ao gol. Sabendo-se que a bola estava parada no local da falta no momento do chute, isto é, com tempo e altura iguais a zero. Sabendo-se ainda, que no primeiro segundo após o chute, a bola atingiu uma altura de 6 metros e, cinco segundos após o chute, ela atingiu altura de 0 metros. Pode-se afirmar que após o chute a bola atingiu a altura máxima no tempo igual a: a) 3 segundos b) 3,5 segundos c) 4 segundos d) 4,5 segundos e) 5 segundos 4. Se o valor mínimo de necessariamente 5x 6x + m é estritamente maior que 3, então é correto afirmar que Página de 8

2 a) m>4 b) m>5 c) m<4 d) m<5 e) 4<m<5 5. Uma função do º grau f é tal que, tem-se f(x) = f( x). Assim, o gráfico de f é uma parábola cujo vértice é um ponto de abscissa a). 4 b). c). d). e) No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, uma loja de departamentos fez uma promoção de determinados produtos, vendendo todos a um mesmo preço unitário. Além disso, a cada n unidades adquiridas, n 60, o cliente teria n% de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto máximo de 60%. Um cliente comprou x unidades de produtos nessa promoção e, ao calcular o valor V a ser pago, constatou que, dentro da faixa das 60 unidades, poderia comprar mais produtos pagando o mesmo valor V. De acordo com essas informações, pode-se concluir que x pertence ao intervalo 0,9 a) [ ] b) [ 0,9 ] c) [ 30,39 ] d) [ 40,49 ] e) [ 50,59 ] 7. Na figura, temos o gráfico da função real definida por y = x + mx + (8 m). O valor de k + p é a) b) c) d) e) 3 Página de 8

3 8. Na figura abaixo, estão representados um sistema de eixos coordenados com origem O, o gráfico de uma função real do tipo f(x) = ax + bx + c e o quadrado OMNP, com 6 unidades de área. Sabe-se que o gráfico de f(x) passa pelos pontos P e N, vértices do quadrado, e pelo ponto de encontro das diagonais desse quadrado. Assim, o valor de a + b + c é a) b) 3 c) 5 d) e) 5 9.Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou,0 m acima da cabeça de um jogador, com,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura abaixo. Nessa situação, a bola descreveu uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo companheiro de equipe. Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de: a),8 m b) m c), m d) 0,4 m e) 9,6 m Página 3 de 8

4 0. Em seus trabalhos de campo, os botânicos necessitam demarcar áreas de mata onde farão observações. Essas áreas são denominadas parcelas e, geralmente, usa-se corda para demarcá-las. Nesse contexto, se uma parcela retangular for demarcada com 60m de corda, sua área será, no máximo, de: a) 00m b) 75m c) 00m d) 5m e) 300m. A função quadrática f (x) = 6x x definida no domínio dado pelo intervalo [0, 7] tem imagem máxima igual a: a) 64 b) 63,5 c) 63 d) 6,5 e) 6. Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. x x A equação de uma dessas parábolas é y = Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: a) 38 b) 40 c) 45 d) Um número real x, 0 x 0 é tal que (x 0)% da diferença entre 4 e x, nessa ordem, é igual ao número real y. Nessas condições, o valor máximo que y pode assumir é a). 0 b). c). 4 d). 5 e). 7 Página 4 de 8

5 4. A função f: R R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + ) f(x) = 6x -, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a a) 6 b) 7 6 c) 5 6 d) 0 5 e) 6 5. Um sitiante quer construir, ao lado de um muro retilíneo, dois viveiros retangulares para criação de galinhas e patos, sendo que a área destinada aos patos (P) tem que ter 40 m a mais que a destinada às galinhas (G). Para isso ele dispõe de 60 metros lineares de uma tela apropriada, que deverá ser usada para as cercas AB, CD, EF e BF, conforme a figura abaixo: Para conseguir a maior área possível para os viveiros, a medida DF deverá ser de: a) 5 metros b) 6 metros c) 7 metros d) 8 metros e) 9 metros 6. Seja f a função quadrática, de R em R, definida por f(x) = (k + 3).(x + ) + 4x, na qual k é uma constante real. Logo, f(x) > 0, para todo x real, se, e somente se, a) k > - 3. b) k > -. c) - 3 < k <. d) k < ou k > 5. e) k < - 5 ou k > -. 7.João escreveu o número 0 como soma de duas parcelas inteiras positivas, cujo produto é o maior possível. O valor desse produto é: a) 9. b) 6. c). d) 5. e) Página 5 de 8

6 Na figura, estão representados os gráficos das funções f(x) = x x 3 e g(x) = 3x +. A soma da abscissa do ponto P com o valor mínimo de f(x) é a),5 b) 5 c) d) 6 e) 0,5 9. No plano cartesiano, uma reta de coeficiente angular intercepta a parábola de equação y = x x + 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da mesma. O comprimento do segmento AV é igual a: a) b) c) 5 d) 3 e) 0. A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x - 3x + 5 < 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto a) {, 3, 4}. b) {5, 6, 7}. c) {8, 9, 0}. d) {,, 3}. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um corpo A desloca-se em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado de modo que a sua posição, em relação a uma origem previamente determinada, é dada pela função 7t t horária SA = +. Um corpo B desloca-se em Movimento Retilíneo e Uniforme, na 4 4 mesma direção do movimento de A, de forma que a sua posição, em relação à mesma origem, t é dada pela função horária S B = +. A e B iniciaram seus movimentos no mesmo instante. Em ambas as funções, t está em segundos e S, em metros. Depois de certo tempo, os corpos chocam-se frontalmente.. O maior afastamento, em metros, entre os corpos A e B é a) 5/4 b) 5/8 c) 5/6 d) 8/8 Página 6 de 8

7 e) 8/6. Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t. No gráfico I, a função horária é definida pela equação S = a t + b t. S = a t + b t e, no gráfico II, por Admita que V e V são, respectivamente, os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II. a Assim, a razão é igual a: a a) b) c) 4 d) 8 3. Considere as funções f(x) = 4x x, g(x) = x 4x + 8 e as retas q : y = x, r : y = 0, s : y = 8, t : x = 0 e v : x = 4. Se todas essas retas e funções forem construídas num mesmo plano, teremos um retângulo maior subdividido em a) 4 partes. b) 6 partes. c) 8 partes. d) 0 partes. e) partes. 4. Considere a função f: IR IR, f(x) = a. (x - x), a IR, a > 0, e P um ponto que percorre seu gráfico. Se a distância mínima de P à reta de equação y = - é igual a, conclui-se que a 8 vale: a) 3. b). c) 5. Página 7 de 8

8 d) 5. e) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de fabricação de cada unidade é dado por 3x + 3, e o seu valor de venda é expresso pela função 80x 6. A empresa vendeu 0 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é a) 0 b) 30 c) 58 d) 6 e) 3 6. Um posto de combustível vende litros de álcool por dia a R$,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 00 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$,48, foram vendidos 0.00 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é a) V = x x. b) V = x + x. c) V = x x. d) V = x x. e) V = x + x. 7. Uma empresa de turismo fretou um avião com 00 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$0,00 para cada lugar do avião que ficasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a: a) 00 b) 5 c) 50 d) Seja f uma função real definida por f(x) = ax - x - onde a > 0. Se f() < 0, é correto afirmar que a função f : a) possui uma raiz positiva e uma negativa. b) possui duas raízes positivas. c) possui duas raízes negativas. d) não possui raiz real. e) possui uma única raiz real. 9. Para alcançar um suculento mosquito, um sapo deu dois saltos, partindo do ponto (0, 0) de um sistema de coordenadas, cuja unidade representa cm. A trajetória do sapo pode ser descrita como se segue: x - obedeceu o gráfico da parábola dada por p (x) = 6x para pousar sobre uma cadeira de 0 altura 50 cm (já na parte descendente do gráfico, após o ponto de máximo); - no mesmo ponto onde aterrissou na cadeira tomou impulso e seguiu sobre o gráfico da parábola p (x) = x + bx 3600; - no ponto de altura máxima de p (x), laçou o mosquito com o seu tradicional golpe de língua. Página 8 de 8

9 Quando apanhou o mosquito, o sapo voava a uma altura que está entre a),50 e,00 metros. b),00 e 3,00 metros. c) 4,00 e 6,00 metros. d) 6,00 e 0,00 metros. e) 0,00 e 8,00 metros. Página 9 de 8

10 Gabarito: Resposta da questão : De acordo com as informações do problema, podemos escrever: 6=0,5 p + p = 0 mil habitantes. Fazendo p(t) = 0 na segunda função, temos: 0 = t t + 0 t t 0 = 0 t =,5 ou t = - (não convém). Logo, t é, no mínimo, anos e 6 meses. Resposta da questão : [A] Utilizando semelhança de triângulos temos: Calculando a função da área, temos: A x = x y ( ) 9x + 36 A ( x) = x. 4 ( ) A x 9x + 36x = 4 4 x y 9x + 36 = y = Determinando o x do vértice, temos: 36 x 4 v = = 9. 4 Portanto, x = e y = = 4,5 4 Logo, as dimensões do jardim são m e 4,5m. Resposta da questão 3: Página 0 de 8

11 De acordo com o gráfico temos: h(t) = a.t +b.t Sabendo que h() = 6m e h(5) = 0m temos o sistema: a. + b. = 6 a + b = 6 a = e b = 7 a.5 + b.5 = 6 5a + 5b = 6 Portanto, h(t) = -t + 7t logo a altura máxima será atingida para b ( 7) t = = = 3,5s..a. Resposta da questão 4: [A] 4. a > 3 (( 6) 4.5. m) 4.5 > 3 0m 36 0 > 3 0m > 96 m > 4,8 Portanto, a resposta A é a mais adequada. Resposta da questão 5: Seja a função quadrática f :, definida por V = (k, m) é o vértice de seu gráfico. Desse modo, f( x) = a ( x k) + m. Portanto, como f(x) = f( x), segue que a (x k) + m = a ( x k) + m (x k) = ( x k) Resposta da questão 6: [D] x k = x k x k = ± ( x k) k = + k k =. f(x) = a (x k) + m, em que a 0 e Página de 8

12 Seja p o preço unitário dos produtos, sem desconto. De acordo com o enunciado, o valor V a ser pago pela aquisição de n produtos, com 0 n 60, n, é dado pela função p V(n) = (00 n)% n p = (n 00 n) 00 p = [(n 50) 500] 00 p = 5 p (n 50). 00 Como a função V é quadrática e o eixo de simetria de seu gráfico é a reta n = 50, segue que o intervalo pedido é [40, 49]. Resposta da questão 7: Como a função apresenta raiz dupla, temos: Δ = 0 m 4.(8 m) = 0 m + 4m 3 = 0 m = 4 ou m = -8 Logo y = x + 4m + 4 (raiz m = -) ou y = x 8m + 6 (raiz m = 4) (não convém, segundo o gráfico a raiz é negativa) m = - e p = 4, portanto m + p = Resposta da questão 8: [C] Como a área do quadrado OMNP mede 6 unidades, segue que (OMNP) = 6 OP = 6 OP = 4 u.c. Logo, M = (4, 0), N = (4, 4) e P = (0, 4) c = 4. O ponto de encontro das diagonais do quadrado é dado por xm xo yp yo , =, = (, ). Desse modo, f() = = a + b + 4 a + b =. Página de 8

13 Além disso, como a parábola passa pelo ponto N, vem f(4) = 4 4 = a 4 + b b = 4a. Portanto, a + b = a 4a = a =, b = 4a b = 4a b = e a soma pedida é 5 a + b + c = + 4 =. Resposta da questão 9: [A] Considerando o sistema cartesiano na figura acima, temos a função do segundo grau fatorada: h(x) = a(x 3).(x + 3) e o ponto ( -8,) 3 = a.(-8 3).(-8 + 3) a = 80 Portanto h(x) =.(x - 3).(x + 3) 80 A altura máxima será quando x for zero. Portanto h(0) =.(0-3).(0 + 3) =,8m 80 Resposta da questão 0: [D] Página 3 de 8

14 A = (30 x).x A = x + 30x Δ 900 Amáxima = = = 5 4.a 4.( ) Resposta da questão : [C] Esboçando o gráfico notamos que f(x) é máximo, no intervalo considerado, para x = 7. f(7) = =63 Resposta da questão : Queremos calcular OB = x B. Como a parábola de vértice C intersecta o eixo das ordenadas na origem, segue que a sua x x equação é y = +. Logo, 75 5 x x y = + = (x 30x) = x (x 30) xa = Por outro lado, se x D = 35 é a abscissa do vértice D, então: xa + xb 30 + xb xd = 35 = xb = 40. Por conseguinte, OB = 40 m. Resposta da questão 3: [D] Página 4 de 8

15 x 0.(4 x) = y 00 V V 4x x x y = 00 x + 4x 40 y = 00 y y 4 40 = 4. Δ = = 4.a = = = Resposta da questão 4: [C] f(x) = ax + bx + c f(x+) - f(x) = 6x a(x+) + b(x+) + c ax bx c = 6x ax + ax + a + bx + b + c ax bx c = 6x ax + a + b = 6x (para todo x, conceito de identidade), logo: a = 6 a = 3 a + b = b = - b = -5 Então f(x) = 3x - 5x + c x v = b ( 5) 5 = = ( x do vértice) a.3 6 Resposta da questão 5: [C] A C E x A x A + 40 x B D d=? F 60-3x A + A + 40 = (60-3x).x.A + 40 = -3x + 60x Página 5 de 8

16 x V = 60 = 0.( 3) (x do vértice) Substituindo na função, temos:.0.(30 - d) + 40 = d + 40 = d = d = -340 d = 7 Resposta da questão 6: f(x) = (k +3).(x + ) + 4x f(x) = (k+3).x + 4x + 3 < (k+3).(k+3) < 0 k + 6k + 5 > 0 k < -5 ou k > - a > 0 K + 3 > 0 k > - 3 logo: k > - Resposta da questão 7: [D] P = x.(0 - x) P = -x + 0x 0 00 y v = = = = 5 4a 4.( ) 4 Resposta da questão 8: [D] f(x) = g(x) x - x 3 = 3x + x - 5x 4 = 0 x = 7 ou x = - de acordo com o gráfico x p < 0 logo x p = - valor mínimo de f(x): y 6 v = = = -4 4a 4. logo (-4) = -6 Resposta da questão 9: [E] Vértice da parábola. xv b ( ) = = = a yv ( ) = = = 3 4a 4. Página 6 de 8

17 Logo, V = (.3) A equação da reta será y = x + b. Portanto, 3 =. + b b = e y = x + Igualando as equações da reta e da parábola, temos x x + 4 = x + x 3 x + = 0 Resolvendo, temos x = ou x=. Logo, o ponto A será (,4). Calculando a distância de A até V, temos: AV = AV = ( ) + (4 3) Resposta da questão 0: Resolvendo a inequação temos 4 < x < 8, Logo o valor de x par que pertence a solução é x = 6. Resposta B. Resposta da questão : [C] S A - S B = 5 y v = = = 4a 4.( ) 5t t +, vamos agora calcular o y do vértice desta função: 5 6 Resposta da questão : [C] Resposta da questão 3: (distância máxima entre A e B antes do choque. Página 7 de 8

18 Resposta da questão 4: [D] Resposta da questão 5: Vamos admitir que 3x + 3 seja o custo de produção de x unidades e que 80x 6 seja o valor de venda destas x unidades. Considerando que L(x) seja a função do lucro, temos: L(X) = 80x 6 (3x + 3) L(x) = -3x + 80x Determinando o x vértice, temos o valor de x para o qual o lucro é máximo: b 80 X V = = = 30 a.( 3) Obs: O enunciado está confuso. Resposta da questão 6: [D] V= (,5 x/0). ( x) V = x x Resposta da questão 7: Resposta da questão 8: [A] Resposta da questão 9: [A] Página 8 de 8