Lista 1 de Matemática - Função Quadrática 1 a Série do Ensino Médio - 2 o Bimestre de 2011

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1 CORPO DE BOMBEIRO MILITAR DO DISTRITO FEDERAL DIRETORIA DE ENSINO E INSTRUÇÃO CENTRO DE ORIENTAÇÃO E SUPERVISÃO DO ENSINO ASSISTENCIAL COLÉGIO MILITAR DOM PEDRO II Lista 1 de Matemática - Função Quadrática 1 a Série do Ensino Médio - 2 o Bimestre de 2011 Professores Diogo, Edgard e Iracema 1. A figura mostra um retângulo com vértices (0, 0), (0, y 1 ), (x 1, 0) e (x 1, y 1 ), onde x 1 e y 1 são reais positivos tais que o ponto (x 1, y 1 ) pertence a reta definida pelo gráfico, Determine os valores de x 1 e y 1 para que a área desse retângulo seja a maior possível. 2. (UNB/2 Vest. de 2010) A figura abaixo ilustra a situação em que um projétil, disparado do ponto A, descreve a trajetória representada pela curva y = f(x) = 5 32 x2 + x + 1, em que x é a distância, em 1000 km em relação ao eixo das ordenadas, e y, a altura, em km, em relação ( ao) eixo das abscissas em( um sistema ) de coordenadas cartesianas xoy. Na figura, O = (0, 0), A = 0,, B = (6, 0), C = , 47, ( 25 D = 10, 47 ) e OB, BC e CD são segmentos 25 Com base nessas informações, julgue os próximos itens. ( ) Seria possível atingir com o projétil em questão um avião que estivesse voando à altura de metros com relação ao segmento OB. ( ) A distância percorrida da origem O até o ponto C, sobre os segmentos OB e BC, é igual ao comprimento da curva percorrida pelo projétil do ponto A até o ponto C. ( ) Considere que um segundo projétil seja lançado de um ponto localizado acima do ponto A, com trajetória parabólica y = g(x), de modo a atingir o ponto D. Considere, ainda, que, para cada x, a distância do ponto P = (x, g(x)) ao ponto Q = (x, f(x)) seja constante. Nesse caso, essa constante será maior que

2 3. (PAS-UNB/1 a Etapa, Sub-Programa 2008) Um pequeno produtor de maçãs dispõe de um terreno para ìmplementar um pomar e estima que, plantando inicialmente 60 pés de maçã, a produção será de 400 maçãs por pé. Além disso, para cada árvore plantada a mais no mesmo terreno, haverá um decréscimo de 4 maçãs por pé. Nesse contexto, a produção total P é uma função quadrática do número adicional x 0 de árvores plantadas, ou seja, P = P (x) = ax 2 + bx + c. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. ( ) O gráfico da função P é parte de uma parábola de concavidade voltada para baixo. ( ) O valor máximo da produção é inferior a maçãs, existindo dois valores distintos de x para os quais a produção é nula. ( ) A produção será a mesma se o agricultor tiver em seu pomar 70 ou 90 pés de maçã. ( ) Suponha que a produção de maçãs obtida no terreno, em determinado mês, seja vendida para uma cooperativa e, a partir daí, o produto passe por um atacadista e por um feirante até o consumidor final, e que, em cada etapa, o preço da maçã sofra um acréscimo de 50% em relação à etapa anterior. Nesse caso, o consumidor final pagará por uma maçã um valor superior a 3 vezes o preço da maçã vendida à cooperativa. 4. (PAS-UNB/1 a Etapa, Sub-Programa 2005) Arquimedes, pelo método da exaustão (cálculo de áreas de figuras complexas aproximando-as por polígonos inscritos) mostrou que a área da região cujo contorno é formado pela parábola e pelo segmento AC é igual a 4 3 triângulo ABC. da área do Com base nessa informação e considerando que, na figura acima, o triângulo ABC está inscrito na parábola, faça o que se pede no item a seguir, que é do tipo B. Desconsidere, para a marcação na folha de respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados. Calcule a área da região limitada pela parábola y = x 2 + 4x 3 e o eixo Ox no plano cartesiano de coordenadas xoy. Multiplique o valor encontrado por (PAS-UNB/2 a Etapa, Sub-Programa 2006) Tsunamis são eventos raros. Normalmente, as ondas que existem nos oceanos são provocadas por ventos. A figura abaixo ilustra a formação de ondas nos oceanos. Na medida em que se desenvolvem, elas oferecem mais área para que o vento as pressione. Em um modelo simplificado, a amplitude das ondas cresce quadraticamente com o tempo de propagação até um valor máximo, que ocorre quando a sua velocidade de propagação é igual à do vento. Considere que, nessa situação, a amplitude de uma onda em relação ao tempo seja dada por A(t) = at 2 + bt + c, para t 0, em que a amplitude é medida em metros e o tempo, em horas. Considere, ainda, que uma onda tenha sido criada em t = 0, instante em que A(0) = 0. Duas horas mais tarde, a amplitude dessa onda era de 1 m, ou seja, A(2) = 1, e 8 h depois do instante inicial, essa amplitude chegava a 16 m, isto é, A(8) = 16. Com base nessas informações, calcule, em metros, a amplitude A(t) da onda, para t = 10 h. Despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos solicitados. 6. Se f(1) = 0 é o valor mínimo que a função f(x) = ax 2 + bx + 1 assume. Então determine os valores de a e b. 2

3 7. Se x e y são números reais tais que 2x + y = 1, qual é o valor mínimo de z = x 2 + y 2? 8. As raízes da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c, são x 1 = 2 e x 2 = 1 e seu vértice está em Qual é a respectiva função? ( 3 2, 1 ) De um triângulo isósceles de lados 20 cm, 20 cm e 32 cm, recorta-se um retângulo de dimensões x e y, como mostra a figura: a) Encontre y em função de x. 20 cm y 20 cm x 32 cm b) Para que valores de x e y a área do retângulo obtido é máximo? 10. (UNICAMP/2000) A soma de dois números positivos é igual ao triplo da diferença entre esses mesmos dois números. Essa diferença, por sua vez, é igual ao dobro do quociente do maior pelo menor. a) Encontre esses dois números. b) Escreva uma equação do tipo x 2 + bx + c = 0 cujas raízes são aqueles dois números. 11. (UFSCAR/2009)A parábola determinada pela função f : R R tal que f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, tem vértice de coordenadas (4, 2). Se o ponto de coordenadas (2, 0) pertence ao gráfico dessa função, então o produto a b c é igual a a) -12 b) -6 c) 0 d) 6 e) (FUVEST/2010) A função f : R R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) f(x) = 6x 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a a) 11 6 b) 7 6 c) 5 6 d) 0 e)

4 13. (ESPCEX/2010) Um agricultor, que dispõe de 60 metros de tela, deseja cercar uma área retangular, aproveitando- se de dois trechos de muro, sendo um deles com 12 metros de comprimento e o outro com comprimento suficiente, conforme a figura abaixo. 12m x Sabendo que ele pretende usar exatamente os 60 metros de tela, pode-se afirmar que a expressão que representa a área cercada y, em função da dimensão x indicada na figura, e o valor da área máxima que se pode obter nessas condições são, respectivamente, iguais a a) y = 2x x e 648 m 2. b) y = 2x 2 24x e 548 m 2. c) y = x x e 900 m 2. d) y = 2x x e 454 m 2. e) y = x x e 288 m (ESPCEX/2009) Em uma determinada função quadrática, -2 e 3 são suas raízes. Dado que o ponto ( 3, 12) pertence ao gráfico dessa função, pode-se concluir que a) o seu valor máximo é -12,50. b) o seu valor mínimo é 0,50. c) o seu valor máximo é 6,25. d) o seu valor mínimo é -12,50. e) o seu valor máximo é 0, (UNB/1 Vest. de 2011) Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x 2 + x + 41, obtém-se uma lista de 40 números primos. No plano de coordenadas cartesianas xoy, considerando y = g(x) = x 2 + x + 41, conclui-se que os pares (N, g(n)), para 0 N 39, pertencem a uma parábola que a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto. b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39]. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos. d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler. 16. (FUVEST/2011) Sejam f(x) = 2x 9 e g(x) = x 2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x) é igual a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 4

5 Gabarito 1. x 1 = 3, y 1 = 3/2 2. E E E 3. CECC a = 1 e b = /5 8. y = x 2 3x a) y = 32 8x/3 b) x = 6 cm e y = 16 cm 10. a) x = 8 e y = 4, b) x 2 12x + 32 = e 12. c 13. a 14. d 15. b 16. d 5