Função do 2º grau Questões Extras

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1 Função do º grau Questões Extras 1. (Uemg 016) O lucro de uma empresa é dado pela expressão matemática L R C, onde L é o lucro, C o custo da produção e R a receita do produto. Uma fábrica de tratores produziu n unidades e verificou que o custo de produção era dado pela função C(n) n 1000n e a receita representada por R(n) 5000n n. Com base nas informações acima, a quantidade n de peças a serem produzidas para que o lucro seja máximo corresponde a um número do intervalo a) 580 n 70 b) 860 n 940 c) 980 n 100 d) 150 n (Imed 016) Em um determinado mês, o lucro de uma indústria de cosméticos é expresso por L(x) x 10x 11, em que x representa a quantidade de cosméticos vendidos e L(x), o valor do lucro em reais. Nessas condições, o lucro máximo, em reais, atingido por essa indústria corresponde a: a) 4. b) 6. c) 48. d) 56. e) 64.. (Pucsp 016) Para abastecer seu estoque, um comerciante comprou um lote de camisetas ao custo de 16 reais a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu (40 x) unidades dessas camisetas ao preço unitário de x reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de aumento repassado aos clientes, calculado sobre o preço unitário que o comerciante pagou na compra do lote, foi de: a) 80% b) 75% c) 60% d) 45% 4. (Fepar 016) O número de atendimentos N(d) num pronto-socorro, num dia d da semana, é dado pela função N(d) d 16d 14, conforme o gráfico a seguir. Analise os dados e avalie as afirmativas. ( ) No segundo dia da semana não houve nenhum atendimento. ( ) O maior número de atendimentos ocorreu no quarto dia da semana. ( ) O maior número de atendimentos num dia foi 1. ( ) Em dois dias da semana não ocorreram quaisquer atendimentos. ( ) A frequência de atendimento foi maior nos fins de semana. 5. (Epcar (Afa) 016) Uma fábrica produz casacos de determinado modelo. O preço de venda de um desses casacos é de R$ 00,00, quando são vendidos 00 casacos. O gerente da fábrica, a partir de uma pesquisa, verificou que, para cada desconto de R$,00 no preço de cada casaco, o número de casacos vendidos aumenta de 5. A maior arrecadação possível com a venda dos casacos acontecerá se a fábrica vender cada casaco por um valor, em reais, pertencente ao intervalo a) [105, 15[ b) [15, 145[ c) [145, 165[ d) [165, 185[ 6. (Uece 015) Um objeto é lançado verticalmente, para cima, de forma que a altura alcançada h, medida em metros, e o tempo decorrido após o lançamento t, medido em segundos, estão relacionados pela equação h 10t 5t 0. Considerando h 0 e t 0 no instante do lançamento, então o tempo decorrido desde o lançamento até alcançar a altura máxima, e a altura máxima atingida são respectivamente a) 10 seg e 700 m. b) 1 seg e 70 m. c) 1 seg e 800 m. d) 10 seg e 80 m. 7. (Espcex (Aman) 015) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 00,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 x) unidades, em que 0 x 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. a) 150 b) 50 c) 50 d) 450 e) 550 (Considere 0 d 7) 8. (Insper 015) O número n de pessoas presentes em uma festa varia ao longo do

2 tempo t de duração da festa, em horas, conforme mostra o gráfico a seguir. esvaziado e estimaram que, quando da constatação da rachadura, a capacidade C de água no lago, em milhões de metros cúbicos, poderia ser calculada por C(t) t 1t 110, onde t é o tempo em horas. Com base no texto, analise as afirmações: Das opções abaixo, aquela que melhor descreve a função n(t) é a) n(t) 10t 4t 50. b) n(t) 10t 40t 50. c) n(t) 10t 4t. d) n(t) t 40t. e) n(t) 10t 40t. 9. (Uern 015) Se o ponto (k,9) representa o vértice da parábola determinada pela função quadrática y 6x bx 15, então o valor da incógnita b é a) 6. b) 7. c) 1. d) (Acafe 015) A figura abaixo representa um portal de entrada de uma cidade cuja forma e um arco de parábola. A largura da base (AB) do portal e 8 metros e sua altura é de 10 metros. A largura MN, em metros, de um vitral colocado a 6,4 metros acima da base é: a) 5,. b),6. c) 6,0. d) 4,8. l. A quantidade de água restante no lago, 4 horas depois de iniciado o vazamento, é de 0 milhões de metros cúbicos. II. A capacidade desse lago, sabendo que estava completamente cheio no momento em que começou o vazamento, é de 110 milhões de metros cúbicos. III. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da rachadura quando o lago estiver vazio, isto é, 5 horas depois do início do vazamento. IV. Depois de horas de vazamento, o lago está com 50% de sua capacidade inicial. Todas as afirmações corretas estão em: a) I - II - III b) I - III - IV c) III - IV d) I - II - III - IV 1. (Upe 014) A empresa SKY transporta 400 passageiros por mês da cidade de Acrolândia a Bienvenuto. A passagem custa 0 reais, e a empresa deseja aumentar o seu preço. No entanto, o departamento de pesquisa estima que, a cada 1 real de aumento no preço da passagem, 0 passageiros deixarão de viajar pela empresa. Nesse caso, qual é o preço da passagem, em reais, que vai maximizar o faturamento da SKY? a) 75 b) 70 c) 60 d) 55 e) (Uea 014) A figura mostra um quadrado de lado igual a 10 m. A região assinalada é constituída de dois quadrados que não se intersecionam e cujos lados medem x metros. A área da região não assinalada pode ser obtida pela lei A 100 x. 11. (G1 - ifsul 015) Um móvel de R$ 60, 00 deveria ser comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros precisaram aumentar a sua participação em R$ 15, 00 cada um. Qual era a quantidade inicial de rapazes? a) 8 b) 1 c) 15 d) 0 1. (Acafe 014) O vazamento ocorrido em função de uma rachadura na estrutura da barragem de Campos Novos precisa ser estancado. Para consertá-la, os técnicos verificaram que o lago da barragem precisa ser Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro permitido, a área da região não assinalada será igual, em metros quadrados, a a) 84. b) 6. c) 48. d) 68. e) 64.

3 15. (Espcex (Aman) 014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) x 1x e o custo mensal da produção é dado por C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes. 16. (G1 - ifce 014) Seja f: R R uma função quadrática dada por f(x) ax bx c, onde a, b, c R são constantes e cujo gráfico (parábola) está esboçado na figura. É correto afirmar-se que a) a 0. b) b 0. c) c 0. d) b 4ac. e) f(a bc) 0. Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os detritos orgânicos serem despejados no t 0t 198 lago, é expressa por f(t) 100 por t 1 cento (%) de seu nível normal. Se t 1 e t, com t 1 t, representam o número de dias para que a quantidade de oxigênio seja 50% de seu nível normal, então t t 1 é igual a a) 4 5. b) 5. c) 5. d) 4 5. e) (Upe 014) Num terreno, na forma de triângulo retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 metros, Sr. Pedro construiu uma casa retangular com a maior área possível, como na figura a seguir: 17. (Unifor 014) Na figura abaixo, temos a representação geométrica do gráfico de uma parábola, cuja equação é y ax bx c. Qual é a medida da área do terreno destinado à construção da casa em metros quadrados? a) 600 b) 800 c) d) 1 00 e) Para esta parábola representada no gráfico abaixo, os sinais dos produtos a b, a c e b c são, respectivamente a) negativo, negativo e positivo. b) negativo, positivo e negativo. c) negativo, negativo e negativo. d) positivo, positivo e positivo. e) positivo, negativo e negativo. 18. (Ufsm 014) Ao descartar detritos orgânicos nos lagos, o homem está contribuindo para a redução da quantidade de oxigênio destes. Porém, com o passar do tempo, a natureza vai restaurar a quantidade de oxigênio até o seu nível natural. 0. (Fgv 014) Um restaurante francês oferece um prato sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade mensal x de pratos que é vendida relaciona-se com o preço cobrado através da função p 0,4x 00. Sejam k 1 e k os números de pratos vendidos mensalmente, para os quais a receita é igual a R$1.000,00. O valor de k1 k é: a) 450 b) 500 c) 550 d) 600 e) 650

4 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] Tem-se que L 5000n n (n 1000n) (n 1000). Portanto, deverão ser produzidas peças para que o lucro seja máximo. Resposta da questão : O lucro da indústria é expresso por uma função do segundo grau. O lucro máximo é dado pela ordenada do vértice, isto é: Δ b 4ac a 1 y v, onde: b 10 4a 4a c 11 Logo: 10 4( 1)(11) Lmax Lmax 6 reais 4( 1) Resposta da questão : O lucro L(x) será a diferença entre a receita e o custo. Temos, então, a seguinte equação: L(x) (40 x) x 16 (40 x) L(x) 40x x x L(x) x 56x 640 Determinando o valor de x (preço) para que o lucro seja máximo; 56 xv 8 ( 1) Portanto, o percentual de aumento será dado por: % Resposta da questão 4: F V F V F. Vamos supor que N : {d 1 d 7}, sendo d 1 o primeiro dia, d o segundo dia, e assim por diante, até d 7, o último dia. No segundo dia da semana houve 10 atendimentos, pois N() O maior número de atendimentos ocorreu no quarto dia da semana, pois 16 dy 4. ( ) O maior número de atendimentos num dia foi 18, pois N(4) Nos dias d 1 e d 7 não ocorreram quaisquer atendimentos, pois N(1) N(7) 0. Não foi informado quais são os dias que correspondem ao final de semana. Resposta da questão 5: Pode-se deduzir duas funções em x: - Função do preço f 1 (x) 00 x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado. - Função do quantidade f (x) 00 5x, sendo x o número de vezes que o desconto será dado. A função da arrecadação será dada pela multiplicação do preço pela quantidade de casacos vendidos. Assim: f (x) 00 x 00 5x f (x) x 400x 10x f (x) x 60x Logo, percebe-se que a função de arrecadação é uma função do º grau, representada graficamente por uma parábola com concavidade para baixo. O vértice da parábola representa a arrecadação máxima. A coordenada x do vértice da parábola será igual ao número máximo de vezes que o desconto poderá ser concedido para conseguir a arrecadação máxima. Da fórmula para encontrar a coordenada x do vértice, tem-se: b 60 xvértice a ( 1) xvértice 0 Para se descobrir por qual valor será vendido cada casaco na arrecadação máxima, basta substituir o valor de x na função do preço:

5 f 1(x) , que pertence ao intervalo [145, 165[. Resposta da questão 6: Pode-se reescrever a função dada no enunciado: h 10t 5t 0 h 5t 10t Sabendo que trata-se de uma função do segundo grau, seu gráfico será uma parábola cujo vértice (ponto máximo) representa a altura máxima atingida e o tempo decorrido desde o lançamento. Assim, a altura máxima h máx será dada pelo vértice da parábola, calculado pela fórmula: b 4 a c 10 4 ( 5) 0 hmáx hmáx 70 m 4a 4a 4 ( 5) De forma análoga, substituindo o valor de h máx e calculando a coordenada x do vértice, temse: 70 5t 10t 5t 10t 70 0 t 4t 144 b 4 x x 1 s a Resposta da questão 7: [A] O lucro L(x) será dado por (600 x) (00 x). As raízes da função são 00 e 600, o valor de x para que o lucro seja máximo é a média aritmética das raízes, portanto x (00 600) : 450. Logo, o número de v peças para que o lucro seja máximo, é: Resposta da questão 8: [E] Seja n: a função dada por n(t) a (t t 1) (t t ), com t 1 e t sendo os zeros da função n. Logo, sabendo que t 1 0, t 4 e (, 40) pertence ao gráfico de n, vem 40 a ( 0)( 4) a 10. Portanto, a lei de n é n(t) 10 (t 0)(t 4) 10t 40t. Resposta da questão 9: [C] Se o ponto (k,9) representa o vértice da parábola descrita no enunciado, então k é igual a coordenada x do vértice, que é dada por: b b b xv xv k a 1 1 Substituindo o ponto dado (k,9) e o valor de k na equação da parábola, tem-se: 9 6k bk 15 b b 9 6 b b b 6 0 b b 144 b Resposta da questão 10: Supondo um eixo vertical y dividindo a parábola verticalmente e um eixo x passando por A e B, pode-se deduzir que as coordenadas do vértice serão (0, 10) e as coordenadas dos pontos A e B serão ( 4, 0) e (4, 0), respectivamente. A equação geral da parábola é dada por: ax bx c y. Sabendo que a coordenada x do vértice é zero, então b 0, pois xvértice b a 0 b 0. Assim, a equação da parábola em questão terá a forma ax c y. Substituindo os pontos conhecidos da parábola na equação, tem-se: V(0, 10) a 0 c 10 c 10 5 B(4, 0) a 4 c 0 16a c a 8 A equação final da parábola será: 5 x 10 y. 8 Os pontos M e N têm coordenadas y conhecidas: M( x, 6,4) e N(x, 6,4). Substituindo os valores do ponto N na equação da parábola, tem-se: x 10 6,4 x 6,4 10 x,6 x 5,76 x, A distância entre M e N é o dobro do valor de x, ou seja, 4,8 metros. Resposta da questão 11: Sendo x igual ao número de rapazes e y igual à quantia que cada um deve disponibilizar inicialmente, pode-se escrever: 60 xy 60 y x

6 Após a desistência de 4 rapazes, a quantia que cada um deve que disponibilizar aumentou 15 reais, ou seja: x 4 y xy 4y 15x Sabendo o valor de xy e de y conforme a relação inicial, pode-se substituir: 60 xy 4y 15x x x x x 60x 0 x 15x 60x x 4x 96 0 ( 4) 4 1 ( 96) x x1 1 ; x 8 Como é impossível ter uma quantidade negativa de pessoas, conclui-se que o número inicial de rapazes era 1. Resposta da questão 1: [A] [I] Correta. De fato, a quantidade de água no lago, em milhões de metros cúbicos, após 4 horas, é dada por C(4) [II] Correta. Com efeito, tem-se que C(0) 110. [III] Correta. Os técnicos só poderão iniciar o conserto da rachadura quando C(t) 0, ou seja, quando t 1t (t 5) (t 11) 0 t 5 h. [IV] Incorreta. A quantidade de água no lago, em milhões de metros cúbicos, após horas, é igual a C() Por outro lado, tem-se que 0, milhões de metros cúbicos. Resposta da questão 1: Seja n o número de aumentos de 1 real no preço da passagem. Logo, se f é o faturamento da empresa, então f (n 0)(400 0n) 0(n 0)(n 10). Donde podemos concluir que o número de aumentos de 1 real que maximiza f é Portanto, o resultado pedido é 0 50 R$ 70,00. Resposta da questão 14: O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo com as condições acima, é 4m. Portanto, a área da região não assinalada é: A m. Resposta da questão 15: Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) C(x) = x + 8x + 40 O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: b 8 xv 7 a ( ) Resposta da questão 16: A concavidade da parábola voltada para cima implica em a 0. b Desde que xv 0 e a 0, tem-se b 0. a Note, no gráfico, que Como f(x) 0 para todo x e (a bc), segue-se que f(a bc) 0. Do gráfico sabemos que a parábola não intersecta o eixo das abscissas. Logo, b 4ac 0 b 4ac. Resposta da questão 17: f(0) c 0. Como a parábola tem concavidade para baixo e intersecta o eixo das ordenadas em um ponto de ordenada negativa, temos a 0 e c 0. Além disso, a abscissa do vértice também é negativa. Daí, só pode ser b 0. Em consequência, a b 0, ac 0 e b c 0. Resposta da questão 18:

7 [C] t 0t 198 f(t) 100 t (t 0t 198) 50 t 1.(t 0 t 198) t 1 t 40 t 96 t 1 0 t 40t 95 0 Δ ( 40) ( 40) t Portanto, a área máxima é igual a quando x 0 m. Resposta da questão 0: Desde que p 0,4x 00, temos p x 1000 ( 0,4x 00) x 1000 x 500x m, Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se que k1k 500. Portanto, t t1 0 5 (0 5) 5 Resposta da questão 19: Considere a figura, em que AC 80 m e AB 60 m. Tomando AD y e AF x, da semelhança dos triângulos ABC e DEC, obtemos CD DE 80 y x CA AB x y 80. Logo, a medida da área do terreno destinado à construção da casa é dada por (ADEF) AF AD 4x x 80 4 (x 60x) 4 [(x 0) 900] (x 0).