Função Quadrática ou Função do 2º grau

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1 Bhaskara Função Quadrática ou Função do 2º grau Prof.: Joni Fusinato

2 a: é o coeficiente de x 2 b: é o coeficiente de x c: é o termo independente Exemplos: f(x) = x 2 + 8x 4, em que a = 1, b = 8 e c = 4 g(x) = 2x 2 + 3x, em que a = 2, b = 3 e c = 0 h(x) = x 2, em que a = 1, b = 0 e c = 0 2

3 Gráfico da Função Quadrática Parábola com concavidade voltada para cima se a > 0 e voltada para baixo se a < 0. 3

4 Algumas Aplicações 4

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6 Exercitando... Dadas as funções quadráticas determine os coeficientes a, b e c de cada função. a) f(x) = x 2-6x +8 a = ; b = ; c = b) y = -3x 2 + 4x 4 a = ; b = ; c = c) f(x) = x 2 6 a = ; b = ; c = d) y = -2x 2 + 8x a = ; b = ; c = e) f(x) = x 2 1 a = ; b = ; c =

7 ZEROS (OU RAÍZES) DE UMA FUNÇÃO DE 2º GRAU São os valores de x que anulam a função: f(x) = 0

8 Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau 1º caso: b = 0 Igualar a função a zero Isolar a variável x a) f(x) = x 2 9 b) f(x) = 2x 2 14 c) f(x) = x 2 + 9

9 Atividades Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x 2 16 b) y = x c) f(x) = 2x 2 8 d) y = 2x e) f(x) = 2x 2 6 f) y = x R : a) 4; b) 6; c) 2; d) 5; e) 3; f) 10

10 Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau 2º caso: c = 0 Igualar a função a zero Colocar a variável x em evidência. a) f(x) = x 2 5x b) f(x) = x 2 + 2x c) f(x) = 2x 2 + 6x x 2 5x = 0 x(x 5) = 0 Raízes: x = 0 x = 5 x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 Raízes: x = 0 x = 2 2x 2 + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 Raízes: x = 0 x = 3

11 Atividades Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x 2 + 3x b) y = x 2 + 4x c) f(x) = x 2 4x d) y = x 2 5x e) f(x) = 2x 2 12x f) y = 2x 2 2x R: a) x = 0 e x = 3; b) x = 0 e x = 4; c) x = 0 e x = 4; d) x = 0 e x = 5; e) x = 0 e x = 6; f) x = 0 e x = 1;

12 Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau 3º caso: cálculo das raízes da função completa Soma e Produto (Relação de Girard) Exemplo 1: y = x 2 5x + 6 b ( 5) X ' X '' 5 a 1 c 6 X '. X '' 6 a 1 S = (2, 3) Exemplo 2: f(x) = x 2 + 2x - 3 b 2 X ' X '' 2 a 1 c 3 X '. X '' 3 a 1 S = ( 3, 1)

13 Cálculo das Raízes: Fórmula de Bháskara 3º caso: cálculo das raízes da função completa Fórmula de Bháskara

14 Estudo do Gráfico de uma função Quadrática

15 Cálculo dos zeros ou raízes de uma função do 2º grau a) f(x) = x 2 7x + 6 b) f(x) = 9x 2 + 6x + 1 c) f(x) = -2x 2 + 3x - 5 x 2 7x + 6 = 0 9x 2 + 6x + 1 = 0 b 2 ( 7) 4.a.c b 4. 2 (6) a. c ( 7) x x x' 6 x' x'' 1 x'' b 2 4.a.c 2 (3) 4.( 2).( 5)

16 Atividades Calcule as raízes das funções quadráticas abaixo: a) f(x) = x² + 3x 10 b) f(x) = 4x² 4x + 2 c) y = 2x 2 4x + 5 d) y = x² 6x + 5 e) y = x² + 6x + 5 f) f(x) = x x + 20 g) f(x) = 2x 2 3x + 5 f(x) = 5x x

17 Cálculo do Vértice de uma Parábola Valor Máximo ou Mínimo da Função Quadrática x y v v b 2a 4a Valor Máximo a > 0 a < 0 Valor Mínimo

18 Exemplos 1) Calcule o vértice da parábola y = x 2 2x + 5. V = (1, 4) 2) Considere o gráfico a seguir, que representa a função definida por y = 2x 2 5x + 2. As coordenadas do vértice V da parábola são:

19 3) Determine as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x 2 2x 3 e diga se é um ponto de máximo ou de mínimo da função. a) V (1, 4); ponto de mínimo b) V (2, 4); ponto de máximo c) V ( 1, 4); ponto de máximo d) V (2, 4); ponto de mínimo 19

20 Atividades Para cada função encontre o vértice e classifique-o como um ponto de máximo ou de mínimo. a) f(x) = x 2 + 8x + 9 b) f(x) = x 2 + 4x + 4 c) f(x) = 4x 2 + 8x 3 d) f(x) = x 2 + 2x 1 e) f(x) = x f) f(x) = x 2 9x Gabarito: a) ( 4, 7), ponto de mínimo, b) (2, 8), ponto de máximo c) ( 1, 7), ponto de mínimo, d) (1, 2), ponto de máximo e) (0, 9), ponto de máximo, f) (0, 9), ponto de máximo 20

21 Aplicações Exemplo 1: O lucro de uma fábrica na venda de um produto é dado pela função L(x) = 5x x 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine: a) Quantos produtos devem ser vendidos para se obter o lucro máximo? b) Qual o lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos? 21

22 Exemplo 2: O custo de produção de um equipamento hospitalar é dado por C(x) = 3x 2 15x Se a venda de x unidades é dada por V(x) = 2x 2 + x, para que o lucro L(x) = V(x) C(x) seja máximo, devem ser vendidas: a) 20 unidades b) 16 unidades c) 12 unidades d) 8 unidades e) 4 unidades Exemplo 3: Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40 t 5t 2 onde a altura h(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Calcule: a) O tempo necessário para o objeto atingir a altura máxima. a) A altura máxima atingida pelo objeto. 22

23 Exercícios: Máximo e Mínimo (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k.x.(p x), onde k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) b) c) d) e) b k xv a 2k

24 2. A modelagem matemática que relaciona o consumo de gasolina de um carro para percorrer 100 km com velocidade de x km/h é dado por C(x) = 0,006x 2 0,6x Para qual velocidade este consumo é mínimo? a) 46 km/h b) 47 km/h c) 48 km/h d) 49 km/h e) 50 km/h x v b ( 0,6) 2a 2.0, km / h

25 3. Uma bola, ao ser chutada por um goleiro, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t 2 + 8t, onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Calcule: a) O instante (tempo) em que a bola atinge a altura máxima; b) A altura máxima atingida pela bola. a) 2 s b) 8 m

26 4. Durante o processo de tratamento, uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t t 2. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo? a) 1,0 s d) 2,5 s b) 1,5 s e) 3,0 s c) 2,0 s Letra C 5. Uma indústria que fabrica recipientes plásticos tem sua produção diária P, em recipientes, variando com o número de operadores em serviço n, de acordo com a função P(n) = n n Calcule: a) A produção se o número de operadores for 4. b) A produção máxima diária sem a contratação de novos operadores.

27 Conceitos iniciais Vértice da Parábola Máximos e mínimos 27

28 Referências Bibliográficas BALESTRI, Rodrigo Dias. Matemática: Interação e tecnologia, volume 1, 2ª edição. São Paulo: LeYa, DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações: Ensino médio: volume único. São Paulo: Ática, GIOVANNI, José Rui, BONJORNO, José Roberto, GIOVANNI, José Rui Jr. Matemática Fundamental: uma nova abordagem: ensino médio. Volume único. São Paulo: FTD,