Matemática Aplicada em C. Contábeis/Mário FUNÇÃO QUADRÁTICA

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1 FUNÇÃO QUADRÁTICA Definição A função f: R R dada por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0, denomina-se função quadrática. Exemplos: f(x) = x² - 4x 3 (a = 1, b = -4, c = -3) f(x) = x² - 9 (a = 1, b = 0, c = -9 ) f(x) = 4x² + 2x 3 (a = 4, b = 2, c = -3) f(x) = -x² - 5x (a = -1, b = -5, c = 0) f(x) = 7x² (a = 7, b = 0, c = 0) Gráfico Para construirmos o gráfico da função quadrática no plano cartesiano, vamos proceder da mesma maneira como fizemos para a função do 1º grau. O gráfico de uma função quadrática é uma curva aberta chamada parábola. Observação: A função f(x) = x² - 2x 3, temos a = 1 > 0 => a parábola tem a concavidade voltada para cima. a > 0 A função f(x) = -x² + 2x + 3, temos a = -1 < 0 => a parábola tem a concavidade voltada para baixo. a < 0 Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau. Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x) = 0. Estes valores calcula-se usando o algoritmo de Bhaskara que é: x 2. a onde = b² - 4ac 1

2 Da mesma forma que, para as equações do 2º grau: Se > 0 a função y = ax² + bx + c tem duas raízes reais distintas ( x x ). Se = 0 a função y = ax² + bx + c tem duas raízes reais iguais ( x = x ). Se < 0 a função y = ax² + bx + c não tem raízes reais. Observação: As raízes são os valores de x em que a parábola corta o eixo das abscissas (x). Exemplos: Determinar as raízes (zeros) das funções: a) y = x² - 4x 5 solução: Fazendo x² - 4x 5 = 0, teremos = b² - 4ac = (-4)² (-5) = x = ( 4) x = -1 e x = 5 2. a 2(1) 2 b) y = 4x² + 20x + 25 solução Resolvendo a equação : 4x² + 20x + 25 = 0, teremos: = (20)² - 4.(4).(25) = = x, logo x = x = -5 / A função f(x) = x² - 2x + 3k tem dois zeros reais iguais. Nestas condições, determinar os valores de k. Solução: A condição para que a função tenha zeros reais iguais é que = 0. = b² - 4.a.c = (-2)² (3k) = 4 12k 4 12k = 0 => 12k = 4 => k = 4 / 12 => k = 1 / 3. EXERCÍCIOS 1- Determinar os zeros das seguintes funções: 2

3 a) y = x² - 7x + 10 b) y = 2x² - 3x + 4 c) y = x² + 2x + 1 ESTUDO DO VÉRTICE DA PARÁBOLA Vamos estudar, neste item, o vértice da parábola e observar as consequências desse estudo: As coordenadas do vértice A parábola, que representa o gráfico da função f(x) = ax² + bx + c, passa por um ponto V, chamado vértice, cujas coordenadas são : x v = 2. a (abscissa) e y v = (ordenada) 4.a Os esboços dos gráficos, no diversos casos, são os seguintes: > 0 y a > 0 a < 0 y 4.a -b/2a - /4.a x -b /2a x = 0 y a > 0 a < 0 y 0 -b/2.a x 0 -b / 2.a x 3

4 < 0 - /4.a a < 0 y y a > 0 -b/2.a 0 - /4.a 0 x -b/2.a Logo vértice da parábola é o ponto: V (, ). 2. a 4. a IMPORTANTE: Quando: a > 0, o vértice funciona como sendo o ponto mínimo. Neste caso o valor mínimo da função é dado por: y min = y v = - /4.a Quando: a < 0, o vértice funciona como sendo o ponto máximo. Neste caso o valor máximo da função é dado por: y max = y v = - /4.a Exemplos: 1- Determinar as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f(x) = x² - 2x - 3 Solução: ( 2) 2 xv 1 2. a 2(1) 2 = b² -4.a.c = (-2)² - 4.(1).(-3) = = 16 y v a 4(1) 4 Logo: o vértice é o ponto V(1, -4). 2- A função f(x) = x² - x 6 admite valor máximo ou valor mínimo? Qual é esse valor? Solução: f(x) = x² - x 6. Como a = 1 > 0, a função admite valor mínimo, que vamos calcular; 4

5 a>0 y min - / 4.a = b² - 4.a.c = (-1)² - 4.(1).(6) = = 25 yv = - /4.a = -15 / 4 ( valor mínimo). EXERCÍCIO RESOLVIDO Se a equação de demanda de um bem é q = custo associado, determine: 12 p D e C T = 3q + 10 o 2 a) a equação da receita total em função da quantidade q vendida, e seu gráfico b) o break even point c) a equação do lucro total d) o valor de q que maximiza o lucro, e o lucro máximo correspondente e) o valor de q que maximiza a receita, e a receita máxima correspondente. Solução; a) Temos que R T = p v.q. Como não temos o preço de venda por unidade (p v ), vamos explicitar P = p v na equação da demanda, logo teremos 12 p R T = p v.q = (12 2q).q = -2q² + 12q, isto é q p pv 12 2q 2 R T = -2q² + 12q Para obter o gráfico, calcularemos as raízes e o vértice da função receita total, isto é. Raízes: R T = -2q² + 12q = 0 q(-2q + 12) = 0 R T q = 0-2q + 12 = q = -12 q = 6 Vértice: 12 xv 3 2a 2( 2) y v [12² 4.( 2).0] a 4.( 2) q b) R T = C T 5

6 -2q² + 12q = 3q q² + 9q 10 = 0 ( por Bhaskara) termos: = 9² - 4.(-2).(-10) = = x 2.( 2) x' 2,5 4 4 R T = C T = 3.(2,5) + 10 = 7, = 17,5 (2,5 ; 17,5) x" R T = C T = 3.(2) + 10 = 16 (2 ; 16) c) A função lucro total é dada por: L T = R T - C T = -2q² + 12q (3q + 10) = -2q² +12q 3q 10, Logo L T = -2q² + 9q 10 d) O valor de q que maximiza o lucro total é dado pelo ( 9) 9 xv 2,25. 2a 2.( 2) 4 [9² 4.( 2).( 10)] 1 O valo do lucro máximo é dado pelo y v 0,125 4a 4.( 2) 8 e) O valor de q que maximiza a receita também é dado pelo x v = 3, calculado no item a ( observe o gráfico). O mesmo ocorre com o valor máximo da receita que é dada pelo y v = 18 (ver o gráfico). EXERCÍCIOS Aplicações da função do 2º grau 1- Consideremos a oferta dada por: S = p² - 64, com p < 20. a) A partir de que preço haverá oferta? b) Qual o valor da oferta para p = 20? c) A que preço a oferta será de 300 unidades? d) A partir de que preço a oferta será maior que 57 unidades? e) A partir de que preço a oferta será menor que 105 unidades? 2- O lucro diário total (LT) é a diferença entre a receita total (RT) e o Custo total (CT) de produção. Supondo que em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções: RT = -x² + 60x e CT = 10x + 6

7 400, sendo x o número de itens produzidos e vendidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia, pede-se: a) O número mínimo de itens x que devem ser produzidos por dia, para que a fábrica não tenha prejuízo; b) A quantidade x para que a fábrica tenha lucro máximo; c) O lucro máximo correspondente. 3- O lucro mensal de uma empresa é dado por L(x) = -x² + 30x 5, em que x é quantidade mensal vendida. Pede-se: a) O lucro mensal máximo b) A quantidade x produzida, para obter o lucro máximo c) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195? 7

8 1- Função Exponencial FUNÇÕES: EXPONENCIAL E LOGARÍTIMICA Seja a um número real positivo a 1. A função dada por y = a x com x R, recebe o nome de função exponencial Exemplos a. y = 2 x b. y = ( 1 2 )x 3- y = 3 x 4- y = ( 1 3 )x Gráfico da função exponencial. Como exemplo faremos o gráfico do exemplo 3 acima, y = 3 x. Inicialmente, faremos uma tabela. x y = 3 x Os outros itens ficam como exercícios. 8

9 EXERCÍCIO RESOLVIDO Em juros compostos, o montante de uma aplicação de capital inicial C, a uma taxa i, em n períodos é dado por: C(n) = C.(1 + i) n. Podemos assim obter, o montante composto de um capital inicial de R$ 3.000,00 aplicados à taxa de 2% a.m. durante 10 meses. Isto é: C = 3.000,00 i = 2% a.m. = 2 / 100 = 0,02 a.m. n = 10 m Logo C(10) = 3.000( 1 + 0,02) 10 = 3.000(1,02) 10 = , = R$3.656,98 Aplicações 1- Suponhamos que a população de um determinado país cresça exponencialmente. Sabe-se que daqui a t anos, sua população P será dada por P = 2, (1,2) t a) Qual é a sua população atual? b) Qual será sua população daqui a 2 anos? 2- Suponhamos que o valor de um carro usado decresça exponencialmente como tempo t. Seu valor V, em reais, daqui a t anos, será dado por V = 1, (0,81) t a) Qual é seu valor atual? b) Qual será seu valor daqui a 1 ano? c) Qual será seu valor daqui a 6 meses. 2- Função logaritmo 9

10 Seja a um número real positivo, a 1. Se x é um número real positivo existe um único real y tal que a y = x. O número y assim obtido recebe o nome de logaritmo de x na base a, e escrevemos: y = log a x. A função definida por y = log a x com x > 0, recebe o nome de função logaritmo de base a. Exemplos 1- y = log 2 x 2- y = log 1/2 x 3- y = log 3 x 4- y = log 1/3 x Gráfico da função logaritmo. Como exemplo faremos apenas o item 3 Y = log 3 x. x y = log 3 x 1/9-2 1/

11 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LAGARITIMOS Sendo a, b, c números reais positivos com b 1, e n R + *, teremos: P1; Logaritimo do produto: log ( a. c) log a log c b b b a P2: Logaritimo do quociente: log b( ) logb a logb c c n P3: Logaritmo da potência: log a n.log a b b Mudança de base: log b log a log c c a b Exemplos: 1- Calcule a) log 180 b) log 600 c) log 50 d) log Resolva as equações: a) 3 x = 20 b) 2,7 = 1,02 x 11

12 c) 5 x+1 = Um capital de R$ 6.000,00 foi investido a juros compostos, a uma taxa mensal fixa de 3%. Após quanto tampo ele rendeu R$ 2.347,80? 4- Durante quanto tempo deve ser aplicado um capital a juros compostos de 5% ao mês, para que o rendimento obtido seja equivalente a 2 vezes o capital aplicado? 5- Após ser plantada, a muda de uma árvore começa a crescer. Sabe-se que sua altura H (em cm) após t meses, é dada pela função. H = 15. log 2 ( t +2) Calcule a) a altura da muda ao ser plantada. b) a altura da árvore daqui a 6 meses. c) a altura da árvore daqui a 8 meses. d) Em quanto tempo a altura da árvore atinge 60 cm? 12

13 e) Em quanto tempo a altura da árvore dobre? REFERÊNCIAS: ANTON, Howard. Cálculo Um Novo Horizonte. 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2006, vol 1, 578p. FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 5ª ed. São Paulo: Makron SILVA, S. M. da et al. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, ÁVILA, Geraldo. Introdução ao cálculo. Rio de Janeiro: Editora JC, LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, SILVA, S. M. da et al. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. 5ª ed., São Paulo: Atlas,