Curso de Biomedicina
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- Heitor Farias
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1 Curso de Biomedicina Centro de Ciências da Saúde Universidade Católica de Petrópolis Matemática - Biomedicina Funções Polinomiais do 2o. Grau Maio de 2018 Luís Rodrigo de O. Gonçalves [email protected] Petrópolis, 16 de Maio de 2018
2 Sumário 1 Definição Principais pontos da parábola Estudo do sinal da função Exercícios
3 FUNÇÃO QUADRÁTICA DEFINIÇÃO
4 Definição 2 I Dados três números reais a, b e c, com a 6= 0 I Denominamos função quadrática (ou do 20 grau) à função: f (x) = ax2 + bx + c I Sendo que: X a, b e c são números reais; X x é a variável independente; X y ou f (x) é a variável dependente
5 Definição I O gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola. I Cuja concavidade é definida em função do valor de a, ou seja, quando: X a > 0 : concavidade voltada para cima - CVC X a < 0: concavidade voltada para baixo - CVB 3
6 FUNÇÃO QUADRÁTICA PRINCIPAIS PONTOS DA PARÁBOLA
7 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x I A intercessão com o eixo x corre quando y = 0 I Neste caso teremos: X ax2 + bx + c = 0 I Para o calculo de x devemos utilizar a formula: 4
8 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x I A intercessão com o eixo x corre quando y = 0 I Neste caso teremos: X ax2 + bx + c = 0 I Para o calculo de x devemos utilizar a formula: X x= b ± 4 2a I Sendo: b + 4 2a b 4 X x2 = 2a X x1 = I Onde: 4
9 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x I A intercessão com o eixo x corre quando y = 0 I Neste caso teremos: X ax2 + bx + c = 0 I Para o calculo de x devemos utilizar a formula: X x= b ± 4 2a I Sendo: b + 4 2a b 4 X x2 = 2a X x1 = I Onde: ] X 4 = b2 4ac 4
10 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x Interseção com o eixo x - 4 > 0 I Quando 4 > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos x1 e x2 5
11 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x 6 Interseção com o eixo x - 4 = 0 I Quando 4 = 0, a parábola tangencia o eixo no ponto x = b 2a
12 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo x Interseção com o eixo x - 4 < 0 I Quando 4 < 0, o gráfico não possui ponto em comum com o eixo x. 7
13 Principais Pontos de uma parábola - Interseção com o eixo y e o vértice I Cruzamento com o eixo y X É o ponto correspondente à x = 0 y = c I O vértice da parábola é definido pelo par de pontos: b 2a 4 X Ordenada: yv = 4a X Abscissa: xv = 8
14 Domínio e Imagem 9 Domínio e Imagem Domínio: x < Imagem = a>0 a<0,, Im= yv, Im=, yv
15 FUNÇÃO QUADRÁTICA EXEMPLOS
16 Exemplo: 10 I Dada a função y = x2 6x + 8, determine: 1. Concavidade: 2. Valor de: I a= I b= I c= 3. Cruzamento com o eixo x 4. Cruzamento com o eixo y 5. Vértice da parábola 6. Representação Gráfica 7. Domínio 8. Imagem
17 Exemplo: I Dada a função y 11 = x2 6x + 8, determine: 1. Concavidade:
18 Exemplo: 11 I Dada a função y = x2 6x + 8, determine: 1. Concavidade: 1.1 Como a = 1; a > Logo, a concavidade está voltada para cima (CVC) 2. Valor das Constantes:
19 Exemplo: 11 I Dada a função y = x2 6x + 8, determine: 1. Concavidade: 1.1 Como a = 1; a > Logo, a concavidade está voltada para cima (CVC) 2. Valor das Constantes: I I I a=1 b = 6 c=8
20 Exemplo: Cruzamento com o eixo x X Como: x = b ± 4 2a X Sendo: 4 = b2 4ac X Temos que : 4 =??
21 Exemplo: Cruzamento com o eixo x X Como: x = b ± 4 2a X Sendo: 4 = b2 4ac X Temos que : 4 =?? 4 = (6)2 4(1)(8) = =4
22 Exemplo: Cruzamento com o eixo x X Logo: x =??
23 Exemplo: Cruzamento com o eixo x X Logo: x =?? b ± 4 x= 2a ( 6) ± 4 = 2(1) 6±2 = 2
24 Exemplo: 3. Cruzamento com o eixo x X Consequentemente: x1 e x2 =?? 14
25 Exemplo: Cruzamento com o eixo x X Consequentemente: x1 e x2 =?? = 2 =4 x1 =
26 Exemplo: Cruzamento com o eixo x X Consequentemente: x1 e x2 =?? = 2 =4 x1 = = 2 =2 x2 =
27 Exemplo: 5. Cruzamento com o eixo y X Fazendo: x = 0 15
28 Exemplo: 5. Cruzamento com o eixo y X Fazendo: x = 0 X Obtemos: y = c y = 8 6. Vértice da Parábola 15
29 Exemplo: Cruzamento com o eixo y X Fazendo: x = 0 X Obtemos: y = c y = 8 6. Vértice da Parábola b 2a (6) = 2(1) =3 xv =
30 Exemplo: Cruzamento com o eixo y X Fazendo: x = 0 X Obtemos: y = c y = 8 6. Vértice da Parábola b 2a (6) = 2(1) =3 xv = 4 4a 4 = 4(1) = 1 yv =
31 Exemplo: Representação Gráfica 8. Domínio:
32 Exemplo: Representação Gráfica 8. Domínio: X D =, + 9. Imagem:
33 Exemplo: Representação Gráfica 8. Domínio: X D =, + 9. Imagem: X Im = 1, +
34 FUNÇÃO QUADRÁTICA ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO
35 Estudo do Sinal da Função I Quando: a < 0 17
36 Estudo do Sinal da Função I Quando: a < 0 X y > 0 x1 < X < x2 X y = 0 X = x1 ou X = x2 X y < 0 X < x1 ou X > x2 17
37 Estudo do Sinal da Função I Quando: a < 0 X y > 0 x1 < X < x2 X y = 0 X = x1 ou X = x2 X y < 0 X < x1 ou X > x2 17 I Quando: a > 0
38 Estudo do Sinal da Função I Quando: a < 0 X y > 0 x1 < X < x2 X y = 0 X = x1 ou X = x2 X y < 0 X < x1 ou X > x2 17 I Quando: a > 0 X y < 0 x1 < X < x2 X y = 0 X = x1 ou X = x2 X y > 0 X < x1 ou X > x2
39 FUNÇÃO QUADRÁTICA EXEMPLO
40 Estudo do Sinal da Função - Exemplo I Vamos estudar o sinal da função y = x
41 Estudo do Sinal da Função - Exemplo I Vamos estudar o sinal da função y = x2 + 9 I Neste caso: X Temos a concavidade voltada para baixo, pois a = 1 a < 0 X Só precisamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo x 18
42 Estudo do Sinal da Função - Exemplo I Vamos estudar o sinal da função y = x2 + 9 I Neste caso: X Temos a concavidade voltada para baixo, pois a = 1 a < 0 X Só precisamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo x I Fazendo y = 0, temos: 18
43 Estudo do Sinal da Função - Exemplo 18 I Vamos estudar o sinal da função y = x2 + 9 I Neste caso: X Temos a concavidade voltada para baixo, pois a = 1 a < 0 X Só precisamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo x I Fazendo y = 0, temos: x2 + 9 = 0 x2 = 9 x2 = 9 x = ±3
44 Estudo do Sinal da Função - Exemplo I Desta forma temos o gráfico: 19
45 Estudo do Sinal da Função - Exemplo I Desta forma temos o gráfico: I Observando o gráfico concluímos que: 19
46 Estudo do Sinal da Função - Exemplo I Desta forma temos o gráfico: I Observando o gráfico concluímos que: X X X y > 0 para: 3 < x < 3 y < 0 para: x < 3 ou x > 3 y = 0 para: x = 3 ou x = 3 19
47 FUNÇÃO QUADRÁTICA EXERCÍCIOS
48 Exercícios I Para as funções abaixo determine: (i) os principais pontos da parábola, (ii) o domínio, (iii) o conjunto imagem e (iv) a representação gráfica 1. f = {(x, y) < y = x2 + 2x 1} 2. f = {(x, y) < y = x2 5x + 4} 3. f = {(x, y) < y = x2 + 4} 4. f = {(x, y) < y = x2 16} 5. f = {(x, y) < y = x2 + x} 6. f = {(x, y) < y = x2 x} 7. f = {(x, y) < y = x2 } 8. f = {(x, y) < y = 2x2 8x} 20
49 Exercícios I Em uma certa plantação, a produção, P, de milho depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por: P (q) = q q Considerando que, nessa lavoura, a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2, determine: 1. (a) Os coeficientes dos termos da função; (b) a concavidade; (c) o ponto em que a curva corta o eixo P; (d) os pontos em que a curva corta o eixo q; (e) o vértice da parábola; 2. O esboço do gráfico; 3. A quantidade de fertilizante para que a produção seja máxima, bem como a será a produção máxima. 21
50 Exercícios I Um vendedor anotou as vendas de um eletrodoméstico nos 30 dias em que trabalhou na seção de utilidades de uma loja de departamentos e notou que o número de aparelhos vendidos, y, em função do número de dias, t, pode ser obtido utilizando-se a equação: y = 0, 5t2 8t I Assim sendo, determine : 1. (a) Os coeficientes dos termos da função; (b) a concavidade; (c) o ponto em que a curva corta o eixo t; (d) os pontos em que a curva corta o eixo y; (e) o vértice da parábola; 2. O esboço do gráfico 22
51 Exercícios I Em um ano, o valor, v, de uma ação negociada na bolsa de valores, no decorrer dos meses, t, é dado pela expressão v = t2 10t Sabendo que o valor da ação é dado em reais, determine: 1. (a) Os coeficientes dos termos da função; (b) a concavidade; (c) o ponto em que a curva corta o eixo t; (d) os pontos em que a curva corta o eixo v; (e) o vértice da parábola; 2. O esboço do gráfico 23
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53 Curso de Biomedicina Centro de Ciências da Saúde Universidade Católica de Petrópolis Matemática - Biomedicina Funções Polinomiais do 2o. Grau Maio de 2018 Luís Rodrigo de O. Gonçalves [email protected] Petrópolis, 16 de Maio de 2018
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