FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

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1 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Observe os quadrados a seguir, cuja a medida do lado varia conforme está indicado Um arremesso de uma bola em um jogo de basquete Calculando a área de cada quadrado obtemos. 1x1 =1 mt 2 2x2 = 4 mt 2 3x3 = 9 mt 2 4x4 = 16 mt 2 Usando uma tabela para auxiliar. Onde L para a medida do lado do quadrado e A para sua área: L A 1 mt 1 mt 2 2 mt 4 mt 2 3 mt 9 mt 2 4 mt 16 mt 2 Na arquitetura. Analisando em um gráfico a variação da área de um quadrado em relação a seu lado, temos: Entre outras. Definição Uma função f: de R em R é denominada de função quadrática quando, existem números reais a, b e c, com a 0, tais que: y= f(x) = a x 2 + b x + c Logo percebemos que o único jeito de traçar este gráfico é utilizando uma curva. Pois os pontos encontrados não estão alinhados, diferentemente do que acontecia na s funções polinomiais do 1º grau. Isso ocorre por que antes trabalhávamos com a seguinte equação: f(x)= ax + b, e neste caso especifico das áreas, temos como lei de formação f(x)= x 2. E é exatamente esse x elevado ao quadrado que passará a ser usado nas funções que nos estaremos estudando na seqüência. A esse modelo matemático usado no caso para a área do quadrado que chamamos de função quadrática ou função do segundo grau. E a essa curva realizada pelas funções que estaremos estudando chamaremos de parábola. Existem inúmeros exemplos de parábolas encontradas em nosso dia a dia, aqui estão alguns: Antenas Parabólicas Com a, b, c, e x Є R. Exemplo de função quadrática: I- y= 2x 2 + 4x -3 a b c II - f(x) = -2x 2 + x a b c III - y= 9x 2-21 a b C Gráfico de uma função quadrática 1

2 Ex: f(x) = x 2 + x E para a coordenada Yv do vértice calcular y v 4a Veja no exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x² - 4x + 3 Temos: a=1, b=-4 e c=3 Logo, a coordenada x será igual a 2. SIMETRIA E CONCAVIDADE Note que agora dois ou três pontos ainda não definem de maneira clara a parábola. Por isso na construção de gráficos de função polinomial de 2º grau, deve-se traçar vários pontos para poder visualizar a parábola. Porém existem algumas características que são similares em toda parábola. Agora estaremos estudando duas dessas propriedades das funções quadráticas. CONCAVIDADE. Facilmente percebemos que todas as parábolas possuem uma concavidade. O que influencia ou o que altera a concavidade de uma parábola é o valor de a. Observe a seguir: Logo concluímos que: Para achar a y podemos substituir 2 no lugar de x para se encontrar a outra coordenada. Ou aplicar a formula para a coordenada y. Em resumo basta usar estas equações para encontrar o vértice da parábola. Máximos e mínimos O vértice além de ser o ponto de intersecção entre o eixo de simetria e a parábola da função, é também uma importante ferramenta no estudo de máximos e mínimos. Pois se tivermos uma função com concavidade para cima, logo teremos o vértice como o seu ponto extremo inferior(mínimo). E com uma parábola tendo concavidade para baixo, o vértice será o ponto superior extremo dessa parábola. Conforme a figura. se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Conforme estudado até agora, vimos que para construção de uma parábola de uma função polinomial do 2º grau. O principal ponto para auxiliar nessa construção e o que chamamos de vértice da parábola. Porém para encontrar este ponto existe uma maneira mais pratica do que ficar tentando valores aleatoriamente. Para encontrar o par ordenado que determina o vértice da parábola V(Xv,Yv). Precisamos encontrar Xv e Yv. Para a coordenada Xv do vértice basta calcular b x v 2a 2 RAIZ DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA Como foi visto em funções polinomiais do 1º grau, raiz ou zero de uma função é quando o eixo x é interceptado pelo gráfico da função. O conceito permanece o mesmo, ou seja, raiz de uma função continuará sendo quando a função se anula, a diferença é que antes em toda a função do 1º grau havia uma, só uma raiz. Agora na função do 2º, nem sempre haverá raiz. Podemos dividir as raízes de uma função quadrática em três tipos. Discriminante igual a zero, menor que zero e maior que zero. Obs. Discriminante é o valor que se obtém calculando o Δ de

3 uma equação de Bháskara. Δ= b 2 4 a c A formula de Bhaskara para resolução de equação do 2º grau é: Discriminante igual à zero (uma raiz) Quando isso acontecer parábola terá apenas uma raiz. Que será exatamente o vértice da parábola. 0=Δ= b 2 4 a c Observe o exemplo. y=f(x)=x²+2x+1 Discriminante menor que zero ( nenhuma raiz) Quando isso acontecer a função não terá nenhuma raiz real, ou seja, o eixo das abscissas não será cortado pela parábola da função. 0 < Δ = b 2 4 a c No exemplo: y = f(x) = x²-x+2 x²-x+2=0 x²+2x+1=0 Calculando o discriminante Graficamente. No gráfico fica Exercício Resolvido. Discriminante maior que zero ( duas raízes) Se o valor do discriminante assumir valor positivo, o gráfico da função terá duas raízes. 0 < Δ = b 2 4 a c Acompanhe o exemplo: y = f(x) = x²-4x+3 x²-4x+3=0 x`=1 e x``=3 Graficamente: 01. Determine o número de raízes, se existir, da seguinte função. a) x²+5x+6= f(x) Primeiro devemos calcular o discriminante. Δ = b 2 4 a c sendo a função x²+5x+6= f(x) Δ= Δ= Δ= 1 >0 Logo essa função tem duas raízes. b- Calculando o discriminante. Δ = b 2 4 a c sendo a função f(x) = x² Δ = Δ = 0 Logo essa função tem apenas uma raiz. TESTES EM SALA: 01. Considere a função dada por y = 3t 2-6t+24, na qual y representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos. O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a: a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 3

4 02. Um ônibus de 54 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa cobrou de cada passageiro a quantia de R$ 55,00 e mais R$ 2,50 por lugar vago. O número de passageiros que dá à empresa rentabilidade máxima é: a) 16 b) 24 c) 38 d) 49 e) (UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de três de seus lados, o quarto lado coincidirá com um muro reto. Nestas condições calcule, em metros quadrados, a maior área possível de ser limitada. TESTES: 01. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x 2-5x + 9, então x + y é igual a: a) 5/6 b) 31 /14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/ Quando o preço do sanduíche é de R$ 4,00, uma lanchonete vende 150 unidades por dia. O número de sanduíches vendidos diariamente aumenta de 5 unidades, a cada diminuição de R$ 0,10 no preço de cada sanduíche. Para qual preço do sanduíche, a lanchonete arrecadará o maior valor possível com a venda diária dos sanduíches? a) R$ 3,10 b) R$ 3,20 c) R$ 3,30 d) R$ 3,40 e) R$ 3,50 03.(U. Caxias do Sul-RS) Ao preço de R$ 1,50 uma loja tem como vender por mês 500 unidades de uma mercadoria que custa 70 centavos cada. Para cada centavo que a loja reduz no preço, pode aumentar a quantidade a ser vendida em 25 unidades. Dessa forma, o lucro mensal total em função do número x de centavos reduzidos no preço é dado por L(x) = (80 x) ( x). O preço por unidade que maximizaria o lucro mensal com a venda dessa mercadoria é, em reais, igual a: a) 1,20 b) 1,50 c) 3,00 d) 12,00 e) 30, (UEPI-PI) O lucro mensal de uma fábrica é dado por L(x) = x x 10 onde x é a quantidade mensal de unidades fabricadas e vendidas de um certo bem, produzido por esta empresa e L é expresso em Reais (Obs.: Real unidade monetária). O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter é dado por: a) R$ 890,00 b) R$ 910,00 c) R$ 980,00 d) R$ 1.080,00 e) R$ 1.180, (FAE-PR) Para se produzir x unidades de um certo produto, uma empresa tem como expressar o seu custo por C(x) = x 2-50 x Analise as proposições a seguir: I. A empresa deve produzir 25 unidades para que o custo seja mínimo. II. O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00. III. O custo de produção de 10 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades. Assinale a alternativa correta: a) Apenas I está correta. b) Apenas I e II estão corretas. c) Apenas I e III estão corretas. d) Apenas II e III estão corretas. e) Todas estão corretas. 06. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar para participar de um congresso. Eles tiveram a idéia de fretar um ônibus no qual todos viajariam juntos e cada um pagaria o preço do fretamento dividido pelo número de pessoas. Ao pesquisar os preços, descobriram que uma empresa de turismo só aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada ônibus, e calculava o preço (em reais) do fretamento do ônibus pela fórmula p(x) = x x + 50, onde x representa o número de passageiros. Considere as seguintes afirmações a respeito dos preços nessa empresa. I. Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará mais de R$ 30,00. II. Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento será menor do que o preço correspondente a 40 pessoas. III. Existe um número x de pessoas para o qual o preço do fretamento é igual a R$ 1.150,00. Assinale a alternativa correta. a) a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente a afirmativa II é verdadeira. c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 07. (EsPCEX) Um curral retangular será construído aproveitando-se um muro pré-existente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as suas menor e maior dimensões será: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25 4

5 08. (Integrado-RJ) A figura a seguir representa a trajetória parabólica de um projétil, disparado para cima, a partir do solo, com uma certa inclinação. O valor aproximado da altura máxima, em metros, atingida pelo projétil é: a) 550 b) 535 c) 510 d) 505 e) 500 GABARITO: E E A A C A B D 5