Exercícios de Aprofundamento Matemática Funções Quadráticas

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1 1. (Espcex (Aman) 015) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 00,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 x) unidades, em que 0 x 600. Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo. a) 150 b) 50 c) 50 d) 450 e) 550. (Unicamp 015) Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas y x x e a) a. b) a. c) a. d) a. y x ax. Essas parábolas não se interceptam se e somente se. (Fuvest 015) A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado pelo projétil, percorre 0 m desde o instante do lançamento até o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 00 m acima do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi lançado? a) 60 b) 90 c) 10 d) 150 e) (Unifesp 015) A concentração C, em partes por milhão (ppm), de certo medicamento na corrente sanguínea após t horas da sua ingestão é dada pela função polinomial C(t) 0,05t t 5. Nessa função, considera-se t 0 o instante em que o paciente ingere a primeira dose do medicamento. Página 1 de 14

2 Álvaro é um paciente que está sendo tratado com esse medicamento e tomou a primeira dose às 11 horas da manhã de uma segunda-feira. a) A que horas a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez? b) Se o médico deseja prescrever a segunda dose quando a concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingir seu máximo valor, para que dia da semana e horário ele deverá prescrever a segunda dose? 5. (Unifesp 014) Chamando de y e y as equações das parábolas geradas quando a curva y = x 1x + 16 é refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine: a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y e y. b) y e y. 6. (Unicamp 014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f(x) x a x b, definidas para todo x real. a) Sabendo que o gráfico de y f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de a e b. b) Quando a b 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 7. (Enem 014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que, para alterar as notas x da prova para notas y f(x), da seguinte maneira: - A nota zero permanece zero. - A nota 10 permanece A nota 5 passa a ser 6. A expressão da função y 1 7 a) y x x b) y x x c) y x x d) y x. 5 e) y x. f(x) a ser utilizada pelo professor é 8. (Espcex (Aman) 014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) x 1x e o custo mensal da produção é dado por C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes. Página de 14

3 9. (Enem PPL 01) O proprietário de uma casa de espetáculos observou que, colocando o valor da entrada a R$10,00, sempre contava com pessoas a cada apresentação, faturando R$10.000,00 com a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir de R$10,00, a cada R$,00 que ele aumentava no valor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos. Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em função do número de pessoas é dada por: P a) F 60P 0 P b) F 60P 0 c) F P 100P P d) F 60 0 e) F P 10P 10. (Epcar (Afa) 01) O gráfico de uma função polinomial do segundo grau y f x, que tem como coordenadas do vértice (5, ) e passa pelo ponto (4, ), também passará pelo ponto de coordenadas a) (1, 18) b) (0, 6) c) (6, 4) d) ( 1, 6) 11. (Fgv 01) Uma única linha aérea oferece apenas um voo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse voo relaciona-se com o preço da passagem x, por meio de uma função polinomial do primeiro grau. Quando o preço da passagem é R$ 00,00, comparecem 10 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maximiza a receita em cada voo? a) R$ 0,00 b) R$ 0,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 60,00 1. (Fgv 01) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x 10x 70y x y reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total? 1. (Mackenzie 01) Sejam as funções f e g de em, definidas por g(x) 5x 0. O valor de (f(4)) g(f(4)) é f(0) g(f(0)) f(x) x 4x 10 e a) 1 4 Página de 14

4 b) 1 c) 11 4 d) 11 e) (Enem 01) A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) x 6x C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. b). c) 4. d) 5. e) (Enem PPL 01) Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = x + 1x 0, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a a) 4. b) 6. c) 9. d) 10. e) (Insper 01) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau. Página 4 de 14

5 O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é a) b) c) d) e) Página 5 de 14

6 17. (Fgv 01) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 01. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Preço de venda Quantidade vendida R$ 100,00 0 R$ 90,00 40 R$ 85,00 45 R$ 80,00 50 Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y a x b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. a) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê? 18. (Mackenzie 01) A função quadrática f, de em, representada graficamente, com raízes reais x 1 e x, tais que log0,64 x1 e log0,6 x é definida por: 1,5 5 a) b) c) d) e) f(x) x 6x 4 f(x) x 6x 4 f(x) x 6x 4 f(x) x 6x 4 f(x) x 6x 4 TEXTO PARA AS PRÓXIMAS QUESTÕES: A figura a seguir representa a evolução dos milhares de unidades vendidas de um produto em função do tempo, dado em meses, desde seu lançamento. Página 6 de 14

7 O trecho correspondente ao intervalo [0,t 1 ] pode ser representado pela expressão o trecho correspondente ao intervalo ]t 1,t ] por y 0,05x 4x 40. y 0,05x e 19. (Insper 01) O valor de t 1 é a) 5. b) 10. c) 15. d) 0. e) (Insper 01) Considere que o ponto (t,v) corresponde ao vértice da parábola de equação y 0,05x 4x 40. Nos últimos dez meses representados no gráfico, as vendas totais, em milhares de unidades, foram iguais a a) 1. b). c). d) 4. e) 5. Página 7 de 14

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] O lucro L(x) será dado por (600 x) (00 x). As raízes da função são 00 e 600, o valor de x para que o lucro seja máximo é a média aritmética das raízes, portanto x v (00 600) : 450. Logo, o número de peças para que o lucro seja máximo, é: Resposta da questão : [C] Tem-se que x ax x x x (a )x 1 0. Logo, as parábolas não se intersectam se, e somente se, o discriminante da equação acima for negativo, isto é, se (a ) (a ) 4 a. Resposta da questão : [D] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, considere a figura. Sejam A o ponto de lançamento do projétil e a função quadrática f : [ 0, 0], dada na forma canônica por f(x) a (x m) k, com a, m, k e a 0. É imediato que m 0 e k 00. Logo, sabendo que f(0) 0, vem 1 0 a 0 00 a. Portanto, temos x e, desse modo, segue que o resultado pedido é f(x) 00 Página 8 de 14

9 ( 10) f( 10) m. Resposta da questão 4: a) Queremos calcular o menor valor de t para o qual se tem C(t) 40. Assim, temos 0,05t t 5 40 (t 0) 100 t 10 h ou t 0 h. A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez às h da segunda-feira. b) A concentração do medicamento na corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu valor máximo após 0 horas. Portanto, o médico deverá prescrever a segunda dose para as ( 0,05) 0 (4 11) 7 horas da terça-feira. Resposta da questão 5: a) Observe o gráfico a seguir: Considerando V o vértice da parábola de equação y = f(x), V o vértice de y = f(x) e V o vértice de y = f( x) temos: V(, ), V (, ) e V (, ) Portanto, a distância entre os pontos V e V será dada por: d ( ) ( ) 5 1 b) Sendo y = f(x) = x 1x + 16, temos: y = f(x) = (x 1x + 16) = x + 1x 16 Página 9 de 14

10 y = f( x) = ( x) 1( x) + 16 = x + 1x + 16 Resposta da questão 6: a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0, 1), então b 1. Além disso, como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem Δ 0 a a. Portanto, a e b 1. b) Se a b 1b 1 a, então tomando a 0 e a 1, obtemos f(x) x ax 1 a. Agora, sem perda de generalidade, 1 f (x) x 1 e f (x) x x, respectivamente. Ora, como os gráficos de f 1 e de f possuem um ponto em comum, tem-se x 1 x x x 1. Em consequência, o resultado pedido é (1, ). Resposta da questão 7: [A] Seja f : [0,10] [0,10], com f(0) 0 c 0 f(5) 6 5a 5b 6 f(10) a 10b 10 1 a 5 7 b. 5 c 0 f(x) ax bx c. Desse modo, temos Portanto, segue que 1 7 f(x) x x. 5 5 Resposta da questão 8: [D] Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) C(x) = x + 8x + 40 O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por: b 8 xv 7 a ( ) Resposta da questão 9: [A] Sejam v o valor da entrada e n o número de aumentos de R$,00. Logo, v 10 v 10 n n. Página 10 de 14

11 Assim, temos P n v v. O que implica em P v 60 e, portanto, 0 P P F 60 P 60P. 0 0 Resposta da questão 10: [A] Sendo V(x v, y v ) o vértice de uma função polinomial do segundo grau dada por f(x) = ax + bx + c. Toda função polinomial do segundo grau pode ser escrita através de sua forma canônica f(x) = a (x x v ) + y v. Portanto, f(x) = a (x 5) +. Como f(4) =, temos: a (4 5) = a =. Logo, f(x) = (x 5) +. Portanto, o ponto (1, 18) pertence ao gráfico da função, pois (1 5) + = 18. Resposta da questão 11: [D] Seja x o número de aumentos de R$ 10,00 no preço da passagem. A receita de cada voo é dada pelo produto entre o preço da passagem e o número de passageiros, ou seja, R(x) (00 10x) (10 4 x) 40 (x 0) (x 0). Logo, o número de aumentos que proporciona a receita máxima é 0 0 xv 5 e, portanto, o resultado pedido é R$ 50,00. Resposta da questão 1: a) Se x y, a quantidade de livros vendidos seria 10 y 70y (y) y 5y (y 66). Logo, o preço da versão capa de papelão que maximiza a quantidade vendida de livros é Página 11 de 14

12 0 66 R$,00. Portanto, o preço da versão capa dura deverá ser R$ 66,00. b) O resultado pedido é igual a 5 ( 66) Resposta da questão 1: [A] f g f 4 g f g f 0 b 10 0 Logo, (f(4)) g(f(4)) 10 ( 0) f(0) g(f(0)) 10 ( 0) 40 4 Resposta da questão 14: [E] A abscissa do vértice da parábola y x 6x C é igual a ( 6). Por outro lado, sabendo que o vértice da parábola pertence ao eixo das ordenadas, temos: ( 6) 4 C Δ y v 0 4a 4 6C 6 0 C 6. Portanto, segue-se que o resultado pedido é f(0) C 6cm. Resposta da questão 15: [B] Determinando o valor do x do vértice, temos: 1 xv 6 ( 1) Resposta da questão 16: [C] Como o gráfico de f passa pelos pontos (, 0) e (0, ), segue que f(x) x. Além disso, como o gráfico de g passa pelos pontos (0, 0) e (0,1), temos que Portanto, h(x) ax (a 1)x. g(x) ax ax, com a 0. Página 1 de 14

13 Desse modo, o gráfico de h intersecta o eixo y no ponto de ordenada e tem sua concavidade voltada para cima. A abscissa do vértice do gráfico de h é dada por (a 1) x v. a a Finalmente, como f(1) e g(1) 0, segue que h(1) f(1) g(1) e, portanto, o gráfico que melhor representa a função h é o da alternativa [C]. Resposta da questão 17: a) Tomando os pontos (0,100) e (40, 90), segue que a taxa de variação da função y ax b é igual a a Logo, 90 ( 1) 40 b b 10. Portanto, y x 10. A função R :, definida por R(x) x ( x 10) x (x 10), fornece a receita obtida com a venda de x livros. Logo, a quantidade a ser vendida, a fim de se obter a receita máxima, é 0 10 xv 65. Desse modo, o preço pedido é igual a y R$ 65,00. b) Seja L: a função definida por L(x) x 10x 8x x 1x x (x1), que fornece o lucro obtido na venda de x livros (supondo que todos os livros produzidos são vendidos). Logo, a quantidade a ser vendida para se obter o lucro máximo é Para essa quantidade, o preço de venda unitário deveria ter sido y R$ 69,00. Por conseguinte, a decisão do gerente não foi correta. Resposta da questão 18: [A] Página 1 de 14

14 x1 x1 x log1,5 0,64 x1 x x x x log5 0,6 x x Logo, f(x) = a.(x (-).(x (-1)) f(x) = a.(x + ).(x + 1) Como f(0) = 4, temos: a.(0+).(0+1) = 4.a = 4 a = Logo, f(x).(x + ).(x + 1) Ou seja, f(x) = x + 6x + 4. Resposta da questão 19: [D] 0 0,05 t1 t1 400 t 1 0 como t1 0 t1 0 meses. Resposta da questão 0: [E] t b a 4 0,05 40 Nos últimos 10 meses as vendas totais serão dadas por: y40 y0 0, , milhares de unidades. Página 14 de 14