Aulas 19 e 20. Função constante e função afim. 4, definida no x

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1 Lista 5 Funções Afim e Quadrática Resoluções Prof. Ewerton Aulas 19 e 0 Função constante e função afim 01) (Insper-adaptado) O gráfico a seguir representa a função conjunto dos números reais positivos. f( ) = 4, definida no Sobre a função g() = f(), é correto afirmar que ela é: a) constante. b) estritamente crescente. c) estritamente decrescente.

2 d) negativa. e) identicamente nula. g() = f() g( ) = 4 = 4. (alternativa A) 0) (Unicamp) O consumo mensal de água nas residências de uma pequena cidade é cobrado como se descreve a seguir. Para um consumo mensal de até 10 metros cúbicos, o preço é fio e igual a 0 reais. Para um consumo superior, o preço é de 0 reais acrescidos de 4 reais por metro cúbico consumido acima dos 10 metros cúbicos. Considere C() a função que associa o gasto mensal com o consumo de metros cúbicos de água. a) Esboce o gráfico da função C() no plano cartesiano para entre 0 e 30. C b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico E para um consumo mensal de 5 metros cúbicos a) Esboce o gráfico da função C() no plano cartesiano para entre 0 e 30.

3 C O significado de para entre 0 e 30 é 0 < < 30, pois a palavra entre não inclui as etremidades. Para um gasto menor ou igual a 10 metros cúbicos a função C() é constante, logo o seu gráfico é uma reta paralela ao eio passando pela ordenada 10; a partir de 10 metros cúbicos passa a ser uma função do primeiro grau, ou seja, C() = a + b. Para = 10, C() = 0 e para = 11, C() = 4 10a+ b = 0 11a+ b = 4 a = 4 e b = 0 Assim, C() = 4 0, para 0 < < 30 e ao lado temos o gráfico. Observação: Caso a intenção do eaminador fosse 0 30, os pontos (0, 0) e (30, 100) pertenceriam ao gráfico da função e o enunciado deveria ser Esboce o gráfico da função C() no plano cartesiano para variando de 0 a 30. b) Para um consumo mensal de 4 metros cúbicos de água, qual é o preço efetivamente pago por metro cúbico E para um consumo mensal de 5 metros cúbicos 0 = 5 reais por metro cúbico. 4 C(5) = = 3, reais por metro cúbico. 5 5

4 03) (Insper-adaptado) Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 0 dias antes da eibição do filme, sendo que: nos dez primeiros dias desse período, as vendas foram feitas eclusivamente nas bilheterias; nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. Durante as vendas eclusivas nas bilheterias, a capacidade de atendimento dos guichês dos cinemas do mundo todo, ao longo do tempo, era sempre a mesma, totalizando a venda de milhões de ingressos por dia. Assim, o gráfico que melhor descreve v(t) para esse período, em função de t, é a) b) c) d) e) O número de ingressos vendidos nesse período varia de 0 a 0 milhões, ou seja, o gráfico deve ser um segmento de reta com uma etremidade na origem do sistema cartesiano (0, 0) e outra no ponto (10, 0). Assim, v(t) 0 = (t 0) v(t) = t. O gráfico que melhor representa v(t) está na alternativa C. 04) (FGV) Observe a notícia abaio e utilize as informações que julgar necessárias.

5 a) Suponha que a partir de 010 os índices de perda no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser epressos por funções polinomiais do 1º grau, y = a + b, em que = 0 representa o ano 010, = 1 o ano 011, e assim por diante, e y representa o índice de perdas epresso em porcentagem. Determine as duas funções. b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será de 1%, aproimadamente Dê como solução os dois anos que mais se aproimam da resposta. a) Índices de perda no varejo no Brasil: 1,75 = a 0 + b a = 0,01 e b = 1,75; assim y = 0,01 + 1,75 1,76 = a 1 + b Índices de perda no varejo nos EUA: 1,49 = a 0 + b a = 0,09 e b = 1,49; assim y = 0,09 + 1,49 1,40 = a 1 + b b) 0,01 + 1,75 ( 0,09 + 1,49) = 1 0,10 + 0,6 = 1 0,10 = 0,74 = 7,4. A diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA, será aproimadamente igual a 1% entre 017 e 018.

6 05) (Vunesp) Um operário ganha R$ 3,00 por hora de trabalho de sua jornada semanal regular de trabalho, que é de 40 horas. Eventuais horas etras são pagas com um acréscimo de 50%. Encontre uma fórmula algébrica para epressar seu salário bruto semanal S, para as semanas em que trabalha h horas, com h 40. S(h) = ,53(h 40), para h 40 S(h) = ,5h, para h 40 06) (Unicamp) Em 14 de outubro de 01, Feli Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão epressos de modo aproimado na tabela e no gráfico abaio. a) Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. Tempo (segundos) Velocidade (km/h) b) Com base no gráfico, determine o valor aproimado da velocidade máima atingida e o tempo, em segundos, em que Feli superou a velocidade do som. Considere a velocidade do som igual a km/h.

7 a) A velocidade tem variação constante de 35 km/h, logo é determinada por uma função do primeiro grau cujo coeficiente angular e 35, assim: v v0 = m(t t0) v 0 = 35(t 0) v = 35t. Para t = 30, tem-se v = 3530 = km/h b) O gráfico mostra que a velocidade máima foi de aproimadamente 1.35 km/h e o tempo que Feli demorou para atingir a velocidade do som foi de aproimadamente 37 segundos. 07) (Unicamp) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 100 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por 5 w ( w) w 80 w e 400 ( w 0) y( w) 80 w 0 a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm. b) Determine uma epressão geral para w(), a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada, e calcule y quando = 7/ cm. 10 a) A(w) = w A(w) = 00 5w. Para 00 5w = 150, tem-se w = 10 ( w) w 80 w ( ) w 80 0 ( w ) 5 6 e y( w) 400 ( w 0) 80 w 400 (10 0) y( w) 80 0 y ( w ) 50 6

8 b) ( w) w 80 w w 80 w 80 w w 80 w w w 15w w w Para = 7/, tem-se w w logo y (15) 400 (15 0) y (15) ) (FGV) Considerando um horizonte de tempo de 10 anos a partir de hoje, o valor de uma máquina deprecia linearmente com o tempo, isto é, o valor da máquina y em função do tempo é dado por uma função polinomial do 1º grau y = a + b. Se o valor da máquina daqui a dois anos for R$ 6 400,00, e seu valor daqui a cinco anos e meio for R$ 4 300,00, seu valor daqui a sete anos será: a) R$ 3 100,00 b) R$ 3 00,00 c) R$ 3 300,00 d) R$ 3 400,00 e) R$ 3 500, = a + b y = a + b e a = 600 e b = 7 600, logo, y = = a 5,5 + b Daqui a sete anos teremos y = y = 3 400,00. (alternativa D) Teto para as duas próimas questões (PAS-UnB-adaptado) Suponha que o consumo normal diário de energia de um trabalhador seja de.100 kcal e que o total de calorias correspondentes aos alimentos ingeridos que ecede esse valor seja armazenado no organismo, na forma de gordura. O gráfico abaio representa a evolução da massa corporal desse indivíduo em um período de

9 660 dias; a tabela descreve situações relativas a consumo de alimentos e gasto de energia período período 540 período ) A função cujo gráfico corresponde ao período 1 é: a) f ( ) b) f ( ) c) f() = d) f() = O gráfico, no período 1, representa um segmento de reta de etremidades (0, 70) e (360, 85). Seja f() = a + b a reta suporte de tal segmento. f (0) 70 f (360) 85 0 a b a b 85 b a f ( ) (alternativa A) 4 10) Considerando-se que a tendência de perda de peso apresentada no período 3 seja mantida, o indivíduo voltará a ter massa corporal igual a 70 kg no: a) 670º dia b) 680º dia

10 c) 690º dia d) 700º dia O gráfico, no período 3, representa um segmento de reta de etremidades (540, 85) e (660, 73). Seja f() = a + b a reta suporte de tal segmento. f (540) 85 f (660) a b a b 73 a b f ( ) Assim, = 690. (alternativa C) 11) (UFMS) Suponha que numa bicicleta, o raio da roda dentada da coroa (conectada ao pedal) seja quatro vezes maior que o raio da roda dentada da catraca (conectada à roda da bicicleta) e que o raio da roda (incluindo o pneu) seja 35 cm. Conforme ilustração a seguir: ro da c o m pn e u co ro a c a tra c a p ed a l Nas condições descritas, qual é a função que melhor define a velocidade da bicicleta V (em quilômetros por hora) em relação a (número de rotações por minuto da coroa)? (Use, se necessário, = 3) a) V() = 0,504 b) V() = 0,40 c) V() = 0,456

11 d) V() = 0,10 e) V() = 0,605 Para cada volta da coroa a catraca dá 4 voltas e, consequentemente, o pneu dá 4 voltas e a distância percorrida pelo pneu é igual a 4R sendo que R = 35 cm, logo, a cada volta da coroa o pneu percorre 8,4 cm = 0,0084 km. Se a catraca der voltas por minuto a velocidade da bicicleta será 0,0084 km/min, mas o problema pede V em quilômetros por hora, logo V() = 0, km/h V() = 0,504 km/h. (alternativa A) Aulas 1, e 3 Função quadrática 1) (Insper) Os ingressos para a pré-estreia mundial de um filme começaram a ser vendidos 0 dias antes da eibição do filme, sendo que: nos dez primeiros dias desse período, as vendas foram feitas eclusivamente nas bilheterias; nos dez últimos dias, as vendas ocorreram simultaneamente nas bilheterias e pela internet. Considere que t representa o tempo, em dias, desde o início das vendas e v(t) o total de ingressos vendidos, em milhões, até o tempo t. No período de vendas simultâneas nas bilheterias e pela internet, a função v(t) é dada por: v(t) = 0,1t + 4t 10. O número de ingressos vendidos apenas nos 10 dias que antecederam a eibição do filme foi a) 10 milhões. b) 0 milhões. c) 30 milhões. d) 40 milhões. e) 50 milhões. v(0) v(10) = 0, ( 0, ) v(0) v(10) = v(0) v(10) = 10 milhões.

12 13) (Insper) O ponto Q da figura indica a posição de um avião que voa de P para R, no instante em que libera uma caia com suprimentos que deverá cair no ponto O. Cada unidade do plano cartesiano corresponde a um quilômetro. A caia descreve no ar a trajetória de uma parábola, com vértice sobre o ponto Q, no sistema de coordenadas apresentado. Se alguns instantes após o lançamento a caia passar pelo ponto S indicado na figura, é correto afirmar que a) irá cair um quilômetro para a esquerda do ponto O. b) irá cair meio quilômetro para a esquerda do ponto O. c) irá atingir eatamente o ponto O. d) irá cair meio quilômetro para a direita do ponto O. e) irá cair um quilômetro para a direita do ponto O. A trajetória da caia obedece à função y = a + b + c, em que a < 0. O ponto S pertence à parábola e junto com as coordenadas do vértice, temos: b = 4 a = 9 4a a 3 + b 3 + c = 8

13 b= 8a b 4ac = 36a 9a + 3b + c = 8 ( 8 a) 4ac = 36a 9a + 3( 8 a) + c = 8 16a c= 9 9a 4a + c = 8 16a+ 9 = c 15a + c = 8 15a + 16a + 9 = 8 a = 1, b = 8 e c = 7. A trajetória da caia obedece à função y = cujas raízes são 1 e 7. Logo, a caia irá cair a um quilômetro para a direita do ponto O. 14) (Unicamp) Seja r a reta de equação cartesiana + y = 4. Para cada número real t tal que 0 < t < 4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto de abscissa = t pertencente à reta r, como mostra a figura abaio. a) Para 0 < t < 4, encontre a epressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. k b) Seja k um número real não nulo e considere a função g ( ) =, definida para todo número real não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r.

14 a) Para 0 < t < 4, encontre a epressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T, e esboce o seu gráfico. O ponto P possui coordenadas cartesianas 4 t t At () = 4t t At () = 4 At () 1 4 t Pt,. t A() t = t t k b) Seja k um número real não nulo e considere a função g ( ) =, definida para todo número real não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem somente um ponto em comum com a reta r. k 4 k 4 g ( ) = e r: y = = k = k = 0. A equação 4 + k = 0 deve ter duas raízes reais e iguais, ou seja, = 0. ( 4) 41k = k = 0 k =. 15) (Insper) Considere dois polinômios do 1º grau P() e Q(), ambos de coeficientes reais, tais que P(3) = Q(3) = 0, P(6) > 0 e Q(6) < 0. Sendo f a função definida para todo, por f() = P()Q(), a única figura, dentre as apresentadas a seguir, que pode representar o gráfico de f é:

15 f() é o produto de dois polinômios do primeiro grau, logo f() é uma função polinomial do º grau. Como P(3) = Q(3) = 0, tem-se que 3 é raiz de P() e de Q(), ou seja, 3 é raiz dupla f() = P()Q() e como P(6) > 0 e Q(6) < 0, tem-se que P(6)Q(6) < 0, logo, alternativa E 16) (Insper) f() e g() são duas funções do 1º grau, tais que: f(1) = g(5) = 0. f(4)g(4) = Se (h, k) são as coordenas do vértice da parábola y = f()g(), então necessariamente a) h = 3 e k < 0 b) h = 3 e k = c) h = 3 e k > 0 d) h = 4 e k = e) h = 4 e k < 0 Sejam f() = r + s e g() = t + u. O enunciado informa que f(1) = 0 e g(5) = 0, ou seja, 1 é raiz de f() e 5 é raiz de g(), portanto f() = r( 1) e g() = s( 5). y = f()g() y = rs( 1)( 5) e sabe-se que f(4)g(4) =, isto é, rs(4 1)(4 5) = y = rs =. 3 ( 6 + 5) 3 10 y = A abscissa do vértice da parábola é = 4 h = h = 3. 3

16 Para = 3 tem-se y = k = (3) k = k > ) (Enem) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas da prova para notas y = f(), da seguinte maneira: a nota zero permanece zero. A nota 10 permanece 10. A nota 5 passa a ser 6. A epressão da função y = f() a ser utilizada pelo professor é a) b) c) d) e) y = 1 7 y = y = y = y = + 5 f (0) = 0 O grau máimo da função f é, assim, seja f() = a + b + c e f (10) = 10 f (5) = 6 c = 0 c = 0 100a+ 10b= 10 10a+ b= 1 5a+ 5b= 6 5a+ 5b= 6 50a 5b= 5 5a = 1 5a+ 5b= 6 1 a = a + b = b = b =, logo f ( ) = y = ) (Unicamp) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma f() = + a + b, definidas para todo real. a) Sabendo que o gráfico de y = f() intercepta o eio y no ponto (0, 1) e é tangente ao eio, determine os possíveis valores de a e b.

17 b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto comum. Determine as coordenadas desse ponto comum. a) Sabendo que o gráfico de y = f() intercepta o eio y no ponto (0, 1) e é tangente ao eio, determine os possíveis valores de a e b. f(0) = 1 b = 1 O gráfico é tangente ao eio, logo = 0 a 4 = 0 a = ou a = Resposta: a = ou a = e b = 1. b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto comum. Determine as coordenadas desse ponto comum. a + b = 1 b = 1 a, assim f() = + a + 1 a. Temos, então, que f(1) = não depende de a ou de b, logo o ponto procurado tem coordenadas (1, ). 19) (FGV) Ao cobrar dos produtores um imposto de t reais por unidade vendida de um produto, o número de unidades vendidas mensalmente é dado por = 50 0,5t. A receita tributária mensal (imposto por unidade vezes a quantidade vendida) máima que o governo consegue arrecadar é a) R$.0,00 b) R$.300,00 c) R$.400,00 d) R$.500,00 e) R$.600,00 A receita tributária R = t, ou seja, R = t(50 0,5t) R = 0,5t + 50t. A receita máima é dada por R = 4a 50 R = R = R$.500,00 4( 0, 5)

18 0) (Fuvest) A função f: tem como gráfico uma parábola e satisfaz f( + 1) a) 11 6 f() = 6, para todo número real. Então, o menor valor de f() ocorre quando é igual a: b) 7 c) 5 5 d) 0 e) f() = a + b + c a( + 1) + b( + 1) + c (a + b + c) = 6 a( + + 1) + b( + 1) + c a b c = 6 a + a + a + b + b a b = 6 a = 6 a = 3 e b = 5 a + b = f() = c O menor valor de f() ocorre quando = b a ( 5) = 3 5 =. 6 1) (Fuvest) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A(0, 0); B(3, 4) e C(8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eio das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre os retângulos construídos desse modo, o que tem área máima é aquele em que o ponto P é 16 a) 4, 5 b) 17,3 4 1 c) 5, 5 d) 11, 8 e) 6, 5 y 4 q Q B(3, 4 ) A(0, 0) M 3 Np (, 0) C(8, 0) ( ) SMNPQ = 4 q q S MNPQ = q + 8q P( p, q) Sendo P(p, q) e N(p, 0) ABC QBP = (4 q) SMNPQ = PQ NP PQ 4 q = PQ 8 4

19 A área máima ocorre para q = b a 8 q = = ( ). A reta BC tem equação y 0 ( 8) 4 = e para y = q =, tem-se 5 11 = p =. ) (FGV) Uma única linha aérea oferece um único vôo diário da cidade A para a cidade B. O número de passageiros y que comparecem diariamente para esse vôo relacionase com o preço da passagem, por meio de uma função polinomial do 1º grau. Quando o preço da passagem é R$ 00,00, comparecem 10 passageiros e, para cada aumento de R$ 10,00 no preço da passagem, há uma redução de 4 passageiros. Qual é o preço da passagem que maimiza a receita em cada vôo? a) R$ 0,00 b) R$ 30,00 c) R$ 40,00 d) R$ 50,00 e) R$ 60,00 Para n aumentos de R$ 10,00 tem-se o preço = n e y = 10 4n passageiros. A receita R é dada pelo produto y, ou seja, R = ( n)(10 4n) R = 40n + 400n e a receita máima ocorre para 400 n = = 5 ( 40) logo, = = R$ 50,00. 3) (FGV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro Descobrindo o Pantanal em uma Feira Internacional de Livros, em 01. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquiridos pelos consumidores em função do preço de cada eemplar. Preço de Venda Quantidade Vendida R$ 100,00 30 R$ 90,00 40 R$ 85,00 45 R$ 80,00 50

20 Considere que os dados da tabela possam ser epressos mediante uma função polinomial do 1º grau y = a + b, em que representa a quantidade de livros vendidos e y, o preço de cada eemplar. a) Que preço de venda de cada livro maimizaria a receita da editora? b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maimizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por que? a) Que preço de venda de cada livro maimizaria a receita da editora? Sendo y = a + b, tem-se 100a + b = 30 90a + b = 40 a = 1 e b = 130, logo y = A receita R é dada por R = y,ou seja, R = ( + 130) R = Para que R seja 130 máima tem-se = = 65 e y = = 65. ( 1) O preço de venda de cada livro que maimizaria a receita da editora é R$ 65,00. b) O custo unitário de produção de cada livro é de R$ 8,00. Visando maimizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$ 75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por que? Lucro = Receita Custo L = L = + 1. A quantidade de livros vendidos para que o lucro L seja máimo é o preço unitário é y = y = = 69 1 = = ( 1) 61 e A decisão do gerente foi incorreta, pois o preço que maimiza os lucros é R$ 69,00.

21 4) (FGV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, y ( + y ) eemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b) Nas condições do item a), quantos eemplares a editora estima vender no total? a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? Seja n a quantidade de livros vendida. n = y ( + y ) = y n = 130y + 70y (y) y n = 5y + 330y A quantidade vendida é máima para 330 y = = 33 ( 5) e = 66. A quantidade de livros vendida será a maior possível quando a versão capa dura custar R$ 66,00 e a versão capa de papelão custar R$ 33,00. b) Nas condições do item a), quantos eemplares a editora estima vender no total? Para y = 33 na função n = 5y + 330y, tem-se n = n = A editora estima vender livros. 5) (Insper) Para alcançar um suculento mosquito, um sapo deu dois saltos, partindo do ponto (0, 0) de um sistema de coordenadas, cuja unidade representa 1 cm. A trajetória do sapo pode ser descrita como se segue:

22 obedeceu ao gráfico da parábola dada por 1 ( ) 6 p = para pousar sobre 10 uma cadeira de 50 cm (já na parte descendente do gráfico, após o ponto de máimo); no mesmo ponto onde aterrisou na cadeira tomou um impulso e seguiu sobre o gráfico da parábola p() = + b 3.600; no ponto de altura máima de p(), laçou o mosquito com seu tradicional golpe de língua. Quando apanhou o mosquito o sapo voava a uma altura que está entre a) 1,50 e,00 metros b),00 e 3,00 metros c) 4,00 e 6,00 metros d) 6,00 e 10,00 metros e) 10,00 e 18,00 metros Procurando pelas raízes de p1(), encontramos 1 ( ) 6 p = 10 ou = 60. = = Das informações do enunciado, construímos os gráficos de p1() e p() y (cm) B p ( ) 50 p 1( ) A 0 60 (cm)

23 Seja A(, 50) o ponto de aterrisagem e de início do segundo pulo. Como A p1(), tem-se p1() = 50 A(50, 50). = = 10 (não serve) ou = 50, logo O ponto A p(), assim, p(50) = 50 (50) + b = 50 b = 13 logo p() = A altura em que voava o sapo é igual à ordenada do vértice da parábola representada por p(), ou seja, y v = 4a 13 4( 1)( 3.600) y v = yv = 4( 1) 18,5 cm, ou seja, yv = 1,85 m 6) (Unifesp) Chamando de y e y as equações das parábolas geradas quando a curva y = é refletida pelos eios e y, respectivamente, determine: a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y e y. b) y e y. a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por y e y. y Por Pitágoras: = (V'V") V'V" = 11 y 16 V 4 3 V y

24 b) y e y. y = f() e y = f() y = ( ) y = y = f() e y = f() y = () 1() + 16 y = ) (Insper) Considere a função f, definida no intervalo [1; 7[, dada pela lei f( ) se a) 1 p < b) 1 p < 3 c) p < 5 d) 3 p < 6 e) 4 p < 7 4 4, se 1 p 1 36, se p 7. f(p) será o valor mais alto de f() somente Para 1 p, no intervalo [1, 7[, tem-se f() = 4 + 4, cujo gráfico é: y fp () p 7

25 Para p < < 7, no intervalo [1, 7[, tem-se f() = , cujo gráfico é: y fp () 1 0 p 6 7 f(p) será o valor mais alto de f() somente se p p p p + p 1 p p 7 p 4 p p 3 1 p 7 p 1 ou p 3 p 4 1 p 7 4 p < 7