MATEMÁTICA Função do 2º grau

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1 MATEMÁTICA Função do º grau Resolução dos eercícios 4, 5, 7, 17, 19 a 6 Série O Pensador Professor Marcelo Gonsalez Badin

2 4. (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro segue uma trajetória plana 1 8 vertical de equação = + +, na qual os valores de e são dados em metros. 7 7 Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da cesta, que está a 3 m de altura. Determine a distância do centro da cesta ao eio. 3 1 = = + + (multiplica por 7) = = 0 S = 8 P = 7 = 1 = 7 A distância é de 7 metros

3 5.(Cesgranrio) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fino com o formato da parábola = 6. Do ponto P de coordenadas (4; 10) deia-se a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada 6. A distância horizontal percorrida pela conta (diferença entre as abscissas de P e Q) é: a) 1 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5 = 6 10 P Q

4 7.(IME) Seja f : IR IR uma função quadrática, tal que f () = a + b +c, com a 0, IR. Sabe-se que 1 = 1 e = 5 são as raízes e que f (1) = 8. a) Determinar a, b e c. b) Calcular f (0) f () = 4 5 As raízes da função são 1 e 5 f (0) = 0 b fi f (0) = = a c) Verificar se f () apresenta máimo ou mínimo, b justificando a resposta = fi b = 4a a f () apresenta mínimo pois sua representação gráfica é c 1 = uma parábola de concavidade voltada para cima (a > 0) a c d) Determinar as coordenadas do ponto etremo. 1 5 = fi c = 5a a O ponto etremo de f () é o vértice da parábola, logo, f () = a 4a 5a cujas coordenadas são: Como f (1) = 8, temos: b v = = a a.1 4a.1 5a = 8 v = f ( v ) = f () = 9 8a = b = 4 a = 1 V = (, 9) c = 5 5 a = 1, b = 4 e c = 5 9

5 17. (UFSCar) A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os gráficos das funções reais f e g, com f() = e g() =. Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 10, o número real k é a) 0,5 Área de trapézio: b) 1 c) d) 1,5 e) (B + b)h 4k 4k k k k (k + 4k ).3k = 10 () 5k.3k = 40 15k 4 = 40 (:15) k 4 = 16 (k > 0) k = 4k

6 19. (Fuvest) Num terreno, na forma de triângulo retângulo com catetos de medidas 0 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões e, como indicado na figura A a) Eprima em função de. ADE ABC 30 30m D B 0m E C 0 = = 0(30 ) (Divide por 10) 3 = (30 ) 3 = 60 (Divide por 3) = 0 3

7 a) 30 A v = 0 A 30m D B v 3 0m vértice b) Para que valores de e de a área ocupada pela casa será máima? E O vértice é ponto de MÁXIMO A =. Usando o resultado do item a, temos: A = 0 A = A é máima para b 0 0 = v = = = = 15 a ( 3) 4 3 C = 15 fi v = para o qual a Área é má. v = Área máima = 0 15 fi = 10 3 Para que a área seja máima, devemos ter = 15m e = 10m

8 0. (FGV-SP) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir a área máima. Então, o quociente de um lado pelo outro é: a) 1 b) 0,5 c),5 d) 3 e) 1,5 A v v vértice O vértice é ponto de MÁXIMO + = 400 = 400 v = para o qual a Área é má. v = Área máima A =. A =.(400 ) A = 400 A é máima para = = b 400 = v a ( ) = 100 = 100 fi = 00 Os lados medem 100 e 00. O quociente de um lado pelo outro pode ser ou 0,5

9 1. (PUC-SP-005) Considere que o material usado na confecção de um certo tipo de tapete tem um custo de R$ 40,00. O fabricante pretende colocar cada tapete à venda por reais e, assim, conseguir vender (100 ) tapetes por mês. Nessas condições, para que, mensalmente, seja obtido um lucro máimo, cada tapete deverá ser vendido por A) R$ 55,00 B) R$ 60,00 C) R$ 70,00 D) R$ 75,00 E) R$ 80,00 Preço de custo de cada tapete = 40 Preço de venda de cada tapete = Nº de tapetes vendidos por mês = 100 L = V C L =.(100 ) 40. (100 ) L = L = L é máimo para = = b 140 = v a ( 1) = 70

10 . Ao fretar um ônibus, um grupo de romeiros e uma empresa de transportes combinaram que cada passageiro pagaria R$ 80,00 e mais uma taa de R$ 3,00 por cada lugar desocupado, sendo que no ônibus haveria 50 lugares. a) Quanto a empresa de ônibus receberia se houvesse 50 passageiros? Seja R a receita da empresa de ônibus R = Com 50 passageiros a empresa R = 4000 receberia R$ 4.000,00 b) E se houvesse 44? R = R = R = 431 Com 44 passageiros a empresa receberia R$ 4.31,00

11 c) Com que número de passageiros a companhia teria uma receita máima? Sendo o nº de passageiros, 50 é nº de lugares desocupados R() = (50 ) R() = R() = R é má. para b = v = = = = 38, a ( 3) 3 R , R v v vértice A companhia teria uma receita com 38 passageiros. Obs.: A receita máima seria O vértice é ponto de MÁXIMO v = para o qual R é má. v = valor máimo de R R(38) = = 4408 Com 38 passageiros a companhia receberia R$ 4.408,00

12 3. (Unicamp) Em um pomar em que eistiam 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano, foram plantadas n novas laranjeiras. Depois de um certo tempo, constatou-se que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (tanto nova como velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Se f(n) é a produção anual do pomar: a) determine a epressão algébrica de f(n); b) determine os valores de n para os quais f(n) = 0; c) quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tenha produção máima? d) qual o valor dessa produção? a) f(n) = (30 + n).(600 10n) f(n) = 10n + 300n b) f(n) = 0 (30 + n).(600 10n) = 0 n = 30 (não convém) n = 60 (Nº de laranjeiras).(produção de cada laranjeira) c) f(n) = 10n + 300n f(n) é máima para n = = 15 ( 10) 15 novas laranjeiras d) A produção máima é f(15) ( ).( ) = = laranjas

13 4. (UFRJ) Um fabricante está lançando a série de mesas Super 4. Os tampos das mesas dessa série são retangulares e têm 4 metros de perímetro. A fórmica usada para revestir o tampo custa R$ 10,00 por metro quadrado. Cada metro de ripa usada para revestir as cabeceiras custa R$ 5,00 e as ripas para as outras duas laterais custam R$ 30,00 por metro. a) Sendo a medida da cabeceira e a medida da lateral, temos + = 4fi = g = g() = 10.( ) ( ) g() = a) Determine o gasto do fabricante para revestir uma mesa dessa série com cabeceira de medida. b) Determine as dimensões da mesa da série Super 4 para a qual o gasto com revestimento é o maior possível. b) g() = g() é máimo para = 10 = 0,5 fi = 0,5 = 1,5 ( 10) As dimensões são 0,5 m (cabeceira) e 1,5 m (lateral)

14 5. Um míssil é lançado do ponto A, a 3 km da origem O e descreve trajetória parabólica dada pela equação = + 6, com 3, como mostra a figura abaio. O teorema de Pitágoras permite calcular a distância de cada ponto da trajetória até a origem (Por eemplo, o ponto B encontra-se a 41 km da origem). A menor de todas as distâncias é de: a) 5 km b) 6 km c) 7 km d) 8 km e) 3 km A -3 (km) Todo ponto da curva é da forma (, + 6 ) d B. 5 d = 41 (km) Pit. d = + ( + 6) d = d = a é mínimo se é mín. se = = 1 1 d mín = ( 1) + ( 1) + 6 = 5 a é mínimo

15 6. (Fuvest) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola. Suponha também que: (i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a ; d (ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista de uma das colunas seja igual a Se h = 3 d, então d vale 4 8 a) 14 b) 16 c) 18 d) 0 e) a(d/) + h = h d a + = h ( 4) 4 a.d + 8 = 4h( I ) d/ = a + a(d/4) + = h/ d h a + = ( 16) 16 a.d + 3 = 8h( II ) ( II ) ( I ) 4h = 4 h = 6 3 d 6 8 = ( 8) d = 16 h