Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas 5ª Lista de Exercícios de MAT140 Cálculo /2

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1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática Centro de Ciências Eatas e Tecnológicas 5ª Lista de Eercícios de MAT Cálculo / ) Resolva as integrais definidas abaio a) ( + )d c) (5 ) d e) + d g) cos a da i) d b) ( + )d 8 d) + d f) ( ) d h) sec a da j) d ) Utilizando a regra da substituição, resolva as integrais definidas abaio a) + d 5 c) + d e e) + e d g) ( + ) d i) + d b) 5 + d e sen(ln ) d) d f) e d h) ( ) d j) sen ( cos )d

2 ) Calcular a área da figura limitada pela parábola = ² e pelo eio das abscissas. ) Calcular a área da figura limitada pela curva = ln, pelo eio X e pela reta = e. 5) Achar a área da figura limitada pela curva = ( )( ) e pelo eio X. 6) Achar a área da figura limitada pela curva =, pela reta = e pela vertical = 8. 7) Calcular a área da figura limitada pela parábola = e pela reta =. 8) Calcular a área do segmento da parábola =, que corta a reta =. 9) Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas =, =, e a reta =. ) Calcular a área da figura compreendida entre a curva = + e a parábola =. ) Calcular a área das duas partes em que a parábola = divide o círculo + = 8. ) Calcular a área da figura limitada pela hipérbole = e a reta = a. a b ) Achar a área da figura limitada pela curva a = (a ). ) Determine os pontos críticos, pontos de infleão, assíntotas e construa o gráfico das funções abaio a) = c) = e) g) i) k) + m) = o) = q) = e s) = ln b) = ( ) ( + ) d) 6 9 f) + h) + j) l) 8 ( ) 8 n) = p) = ( ) r) = e 8 t) = ln

3 5) É necessário construir uma área retangular cercada em três de seus lados por uma rede metálica e que o quarto lado seja adjacente a um longo muro de pedras. Que forma será mais conveniente dar à superfície para que sua área seja maior, se dispomos de l metros de rede metálica? 6) De uma folha quadrada de papelão, com lado a, devemos fazer uma caia retangular aberta que tenha maior capacidade possível, cortando-se quadrados nos ângulos da folha e dobrando depois as partes salientes da figura em forma de cruz assim obtida. 7) Um mensageiro deve ir do ponto A, localizado em uma das margens de um fio, ao ponto B, localizado na outra margem. Sabendo-se que a velocidade de movimento pela margem é k vezes maior que o movimento pela água, determinar sob que ângulo ele deverá atravessar o rio, para chegar ao ponto B no menor tempo possível. A largura do rio é de h, a distância entre os pontos A e B (ao longo da margem) é d. 8) Uma lâmpada pende sobre o centro de uma mesa redonda de raio r. A que altura da mesa deve estar a lâmpada para que a iluminação de um objeto que se encontre à beira da mesa seja a melhor possível? (a iluminação é diretamente proporcional ao cosseno do angulo de incidência dos raios luminosos e inversamente proporcional ao quadrado da distância ao foco de luz). 9) De um tronco redondo de diâmetro d deve-se cortar uma viga de seção retangular. Quais deverão ser a largura e altura desta seção para que a viga tenha resistência máima possível: a) na compressão b) na fleão. Observação: A resistência da viga à compressão é proporcional à área de sua seção transversal e a resistência à fleão é proporcional ao produto da largura desta seção pelo quadrado de sua altura. ) Deseja-se construir uma caia, de forma cilíndrica, de m³ de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R$ o metro quadrado e na tampa material de R$ o metro quadrado. Determine as dimensões da caia que minimizem o custo do material empregado. ) r é uma reta que passa pelo ponto (;) e intercepta os eios nos pontos A = (a;) e B = (;b), com a> e b>. Determine r de modo que a distância de A a B seja a menor possível. ) A cia α Ltda. Produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de R$. Estima-se que o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por c = q q + q +. Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máimo? ) Determine o ponto da parábola = que se encontra mais próimo da origem. ) Determine o ponto da parábola = que se encontra mais próimo da reta =. 5)Os lados e de um retângulo estão variando a taas constantes de, m/s e, m/s, respectivamente. A que taa estará variando a área do retângulo no instante em que = m e = m? 6) A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taas constantes de, m/s e, m/s, respectivamente. A que taa estará variando o volume do cone no instante em que h =,5 m e r =, m?

4 7) O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taas constantes de, m³/s e, m/s, respectivamente. Epresse dh em termos de r e h, dt onde h é a altura do cone. 8) Um dos lados do retângulo tem uma grandeza constante a = cm, o outro lado b varia, aumentando com velocidade constante de cm/s. A que velocidade crescerá a diagonal do retângulo e sua área no momento em que b = cm? 9) O raio de uma esfera cresce, uniformemente, com uma velocidade de 5 cm/s. Com que velocidade crescerão a área da superfície desta esfera e o volume da mesma, no momento em que seu raio torna-se igual a 5 cm? ) Pelo eio X movem-se dois pontos, cujas leis de movimento são: = + 5t e = t, onde t. Com que velocidade estes pontos se afastam um do outro no momento do encontro (, em centímetros; t em segundos)? ) OS etremos do segmento AB = 5 m deslizam por retas perpendiculares entre si X e Y. A velocidade de deslocamento do etremo A é igual a m/s (figura ). Qual será a velocidade de deslocamento do etremo B, no momento em que o etremo A encontra-se à distância A = m da origem das coordenadas? ) Uma piscina tem m de largura, m de comprimento, m de profundidade nas etremidades e m no meio, de modo que o fundo seja formado por dois pranos inclinados (figura ). Despeja-se água na piscina a uma taa de, m³/min. Seja h a altura da água em relação à parte mais profunda, com que velocidade h estará variando no instante em que h = m? Y B 5 m m m A X h Figura Figura Respostas: Eercício : a) 7/ ; b) / ; c) / ; d) 7/8 ; e) 7/ ; f) 9/ ; g) /8 + / ; h) ; i) /ln ; j) /. a) ln ; b) -/ ; c) 5/5-ln ; d) cos ; e) arctg e / ; f) / (e ) ; g) - / ; h) 6/9 ; i) 58/5 ; j) /. ) ; ) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; ) ; ) +. ) ab[ ln( + )]; ) a e 6

5 ) a) b) c) d) e) f) g) h)

6 i) j) k) l) m) n) o) p)

7 q) r) s) t) 5) O lado da superfície que está junto da parede deve ser duas vezes maior que o outro lado 6) O lado do quadrado que se recorta deve ser igual a a. 7) O ângulo é gual a 6 maior das grandezas: arccos h e arctg h d. 8) r. 9) a) = = d e eb) = d ) raio da base ) (, ) ou ( e altura 9. ) = ( ). ) q =., ). ) ) (,,6 ). 5) m²/s. 6) m s 7),,rh r 8) A diagonal cresce com uma velocidade de,8 cm/s, a área, com uma velocidade de cm²/s. 9) A área da superfície cresce com uma velocidade de, m²/s, o volume, com uma velocidade de,5 m³/s. ) 5 cm/s. ) m/s. ), m/min. Gráfico da questão : a a a a