: Gráficos : Cálculo Diferencial e Integral I - MTM 121 Prof. Regina Carla Lima Corrêa. 1. Esboce o gráfico das funções abaixo, determinando:

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Eatas e Biológicas Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I - MTM Prof. Regina Carla Lima Corrêa : Gráficos :. Esboce o gráfico das funções abaio, determinando: (a) Os intervalos onde a função é crescente ou decrescente (b) Os valores máimos ou mínimos locais (c) Os intervalos de concavidade e os pontos de infleão (a) f() = (b) f() = (c) f() = + (d) f() = + (e) f() = ln( ln) (f) f() = / ( + ) /

2 0 0 (g) f() = (h) f() = / ( + 0) (i) f() = + + (j) f() = + (k) f() = ( ) / (l) f() = ( ) (m) f() = cos + cos (n) f() = +

3 : Problemas :. A lei de Bole estabelece que, a uma temperatura constante, a pressão P eercida por um gás está relacionada ao volume V pela equação P = k V. (a) Ache as unidades apropriadas para a constante k se a pressão (que é força por unidade de área) for em Newtons por metro quadrado (N/m ) e o volume em metros cúbicos (m ). (b) Ache k se o gás eercer uma pressão de.000 N/m quando o volume é um litro (0, 00m ).Faça o gráfico de P versus V.. Uma construtora deseja cercar um terreno de 000 metros quadrados para sua sede, em três de seus lados, deiando o quarto lado para para a construção. Seu objetivo como engenheiro supervisor é projetar isto, de forma a usar o mínimo de muro. Proceda, então, da seguinte forma: (a) Sejam e as dimensões do terreno e L o comprimento da cerca requerido para cercar aquelas dimensões. Como a área é de 000 metros quadrados, devemos ter = 000. Ache uma fórmula para L em termos de e e então epresse L só em termos de usando a equação de área. (b) Há restrições sobre os valores de? Eplique. (c) Faça um gráfico de L versus em um intervalo razoavél e use o gráfico para encontrar o valor de que resulte no menor valor para L.Encontre o menor valor para L.. Lei de Hooke: se um peso de unidades for pendurado em uma mola, esta se alonga por um valor o qual é diretamente proporcional a, isto é, = k. A constante k depende da rigidez da mola. (a) Quanto mais rígida for a mola, o valor de k será maior ou menor? Eplique. (b) Uma mola com um comprimento natural de cm se alonga até 0cm, quando um objeto de kg é pendurado nela. Use a lei de Hooke para determinar uma equação que epresse o comprimento de alongamento da mola (em centímetros), em termos do peso suspenso por ela (em quilogramas). (c) Faça um gráfico da equação obtida anteriormente. (d) Ache o comprimento da mola quando um objeto de 00kg é penduado nela. (e) Qual é o maior peso que pode ser pendurado nela, se a mola não pode ser alongada mais do que duas vezes o seu comprimento natural?. Uma mola em um amortecedor para serviço pesado de etração de minério tem um comprimento de 0cm e é comprimida em cm por uma carga de tonelada. Uma carga etra de toneladas comprime a mola em 0cm adicionais. (a) Supondo que a lei de Hooke aplica-se à compressão da mesma forma que à etensão, ache a equação que epressa o comprimento (em centímetros), em que a mola é comprimida em termos da carga (em toneladas). (b) Faça o gráfico da equação obtida anteriormente. (c) Ache o quanto a mola é comprimida de seu comprimento natural por uma carga de toneladas. (d) Ache a carga máima que pode ser aplicada se os regulamentos de segurança proíbem comprimir a mola para menos da metade de seu comprimento natural.. Um fabricante produz caias abertas de papelão quadrado de cm de lado cortando pequenos quadrados dos cantos e dobrando para cima os lados. O Departamento de Pesquisa e de Desenvolvimento pede que você determine o tamanho do quadrado, o qual resulta numa caia com maior volume. Proceda da seguinte forma: (a) Seja o comprimento do lado do quadrado a ser cortado e seja V o volume da caia resultante. Encontre a equação que epressa V em termos de. (b) Há alguma restrição sobre o valor de? Eplique. (c) Faça um gráfico de V versus em um intervalo apropriado e use o gráfico para encontrar o valor de que resulta no maior volume. Encontre o maior volume.

4 : Otimização :. Encontre o ponto sobre a resta = + que está mais próimo da origem. R: ( /, /). Se r() é a receita proveniente da venda de ítens, c() é o custo da produção de ítens e p() = r() c() é o lucro sobre a venda de ítens, então, o retorno (receita), o custo e o lucro marginais provenientes desse nível de produção ( ítens) são dados, respectivamente por dr d, dc d, dp d. Suponha que r() =, c() = +, em que representa milhares de unidades. Há um nível de produção que maimize o lucro? Se houver, qual é? Há um nível de produção que minimize o custo? R: Sim: = + mil unidades ou = mil unidades. Não.. Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível determinando o valor de M 0 que maimiza a derivada dr/dm, sendo ( C R = M M ) e C uma constante. R: M = C/. Quando tossimos, a traquéia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta questões sobre o quanto deveria se contrair para maimizar a velocidade e se ela realmente se contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próimo às paredes é reduzida pelo atrito, a velocidade média v do fluo de ar pode ser modelada pela equação v = c(r 0 r)r r 0 cm/s, r r 0, em que r 0 é o raio, em centímetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva, cujo valor depende, em parte, do comprimento da traquéia. Demonstre que v é a maior quando r = /r 0, ou seja, quando a traquéia está cerca de % contraída.. Quando o estanho metálico é mantido abaio de, o C, lentamente se torna quebradiço e acaba por se esfarelar, tornando-se um pó cinza. Um catalisador para uma reação química é uma substância que aumenta a velocidade da reação sem sofrer nenhuma mudança permanente. Uma reação autocatalítica é aquela em que o produto é o catalisador de sua própria formação. Quando tanto a substância original quanto o produto catalisador são abundantes, a reação ocorre mais rapidamente. Em alguns casos, é razoável admitir que a velocidade de reação v = d/dt é proporcional tanto à quantidade de substância original quanto à quantidade de produto. Ou seja, v pode ser epressa por v = k(a ) = ka k, sendo a quantidade de produto, a é a quantidade de substância no início e k é uma constante positiva. Com que valor de a velocidade v apresenta um máimo? Qual o valor máimo de v? R: = a/ e v = ka /. Um observatório será construído na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fio? R: r 0 = [V/(π)] / e h = [V/(π)] / /[V/π] /.. Uma pulga, ao saltar, teve sua posição no espaço descrita em função do tempo pela epressão h(t) = t t, sendo h a altura atingida, em metros e t em segundos. Em que instante a pulga atinge a altura máima do solo? R: 0, segundos.. Determine o volume máimo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em um cone de cm de altura e cm de raio da base se os eios do cilindro e do cone coincidem. R: π

5 : Taas Relacionadas :. Ar é bombeado para dentro de um balão esférico. O volume do balão cresce a uma taa de 00 cm /s. Quão rápido cresce o raio do balão sendo seu diâmetro 0 cm? R: /πcm/s. Uma escada de m de comprimento está apoiada em uma parede. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taa de m/s, quão rápido o topo da escada escorrega para baio quando a base está a m da parede? R: /m/s R: /rad/s. A Lei de Bole estabelece que quando uma amostra de gás está a uma temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 00 m, a pressão é 0 kpa e a pressão cresce a uma taa de 0 kpa/min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? R: 0m /min. Quando o ar epande adiabaticamente (sem troca de energia térmica), sua pressão P e o volume V estão relacionados pela equação PV, = C, em que C é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é 00 cm, a pressão é 0 kpa e a pressão cresce a uma taa de 0 kpa/min. A que taa está decrescendo o volume nesse instante? R:, cm /min. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de m e uma base com raio de m. A água está fluindo dentro do tanque a uma vazão de m /min. Quão rápido se elevará o nível de água quando a água estiver com m de profundidade? (OBS.: Lembre-se que o volume de um cone cujo raio da base é r e a altura é h é dado por πr h/.) R: /(π)m/min. Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo. Se o raio da queimadura está decrescendo a uma taa de 0,0 cm por dia quando ele é cm, qual a taa de decréscimo da área da queimadura nesse instante? R: π/0cm /dia. Suponha que numa farmácia P seja o preço da caia de um determinado remédio, o número de caias desse remédio ofertadas diariamente, sendo a equação de oferta P 0P + 0 = 0. Se a oferta diária está decrescendo a uma taa de 0 caias do remédio por dia, em que taa os preços estão variando quando a oferta diária é de 000 caias? R:,.0 reais/dia. No final dos anos 0, Adolf Fick, um professor de fisiologia da Faculdade de Medicina de Würtzberg, Alemanha, desenvolveu um dos métodos usados atualmente para determinar a quantidade de sangue que seu coração bombeia por minuto (débito cardíaco). O débito cardíaco pode ser calculado pela fórmula: = Q D, sendo Q o volume (em ml) de CO ealado por minuto e D a diferença entre as concentrações de CO (ml de CO por L de sangue) bombeado para e retornando dos pulmões. Suponha que para Q = e D =, D diminua a uma velocidade de unidades por minuto, mas Q permanece constante. O que acontece com o débito cardíaco? R: Aumenta a uma taa de 0, L/min