Prof. Me. Armando Paulo da Silva paginapessoal.utfpr.edu.br/armando

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1 Prof. Me. Armando Paulo da Silva paginapessoal.utfpr.edu.br/armando Taxa de Variação Relacionada 1

2 Exemplo A: Um quadrado se expande de modo que seu lado varia a razão de 5 cm/s. Achar a taxa de variação de sua área no instante em que o lado mede 15 cm. R: A variação da área do quadrado no instante que o lado mede 15 cm é de 150cm 2 /s. 2

3 Exemplo B: Um cubo se expande de modo que sua aresta varia a razão de 12,5 cm/s. Achar a taxa de variação de seu volume no instante em que sua aresta mede 10 cm. R: A variação do volume do cubo no instante que sua aresta mede 10 cm é de 3750cm 3 /s. 3

4 Exemplo C: Um objeto se move sobre uma reta com velocidade dada pela função v(t)= 4t 5. Achar a aceleração no instante t=2s. R: 320 u.c/s 2. 4

5 Exemplo D: Uma partícula percorre uma curva segundo a lei e(t)= t 2 t 3 (e em metros e t em segundos) Determinar: a) O instante em que a velocidade é nula. R= 0s ou 4s. b) A aceleração nesse(s) instante(s); R: a(0)= 12 m/s 2 e a(4)= -12 m/s 2 c) O espaço percorrido até este instante. R: 32 m. 5

6 Orientações para solucionar um problema, segundo Stewart(2006, p.255): 1) Leia-o cuidadosamente 2) Se possível, faça um diagrama 3) Introduza a notação (atribua símbolos para todas as grandezas que são funções do tempo. 4) Expresse a informação dada e a taxa requerida em termos das derivadas. 5) Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, use a geometria da situação para eliminar uma das variáveis por substituição. 6) Use a regra da cadeia para diferencial de ambos os lados da equação em relação a t. 7) Substitua a informação dada dentro da equação resultante por substituição. 6

7 Exemplo 1: Infla-se um balão esférico de tal modo que o seu volume está aumentando à razão de 5 cm 3 /s. A que razão o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é de 12 cm? R: O diâmetro do balão está crescendo a uma taxa de 5/(72π) cm/s. 7

8 Exercício 1: Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm 3 /s.quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é de 50 cm? R: O raio do balão está crescendo a uma taxa de 1/(25π) cm/s. 8

9 Exemplo 2: Uma escada com 20 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada se afasta horizontalmente da parede à razão de 2 pés/s, com que velocidade o topo da escada desliza parede abaixo quando está a 12 pés acima do solo? R: -8/3 pés/s. 9

10 Exercício 2: Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastandose da parede a uma taxa de 1 pé/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 pés da parede? R: O todo da escada está deslizando para baixo a uma taxa de ¾ pé/s. O resultado será negativo, pois a distância do topo da escada ao solo está decrescento a uma taxa ¾ pé/s. 10

11 Exemplo 3:Um tanque tem a forma de um cone circular com o vértice para baixo mede 12m de altura e tem no topo um diâmetro de 12m. Bombea-se água à taxa de 4 m 3 /min. Encontre a taxa com que o nível de água sobe: a) Quando a água tem 2m de profundidade; R: (4/π) m/min b) Quando a água tem 8m de profundidade. R: (1/4π) m/min 11

12 Exercício 3a:Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m 3 /min, encontre a taxa na qual o nível da água está elevando quando a água está a 3 m de profundidade. R: O nível da água está elevando a aproximadamente 0,28 m/min. 12

13 Exercícios 3b: Um tanque de água tem a forma de um cone circular reto invertido, de altura 12 pés e raio da base 6 pés. Bombeia-se água à razão de 10 gal/min. Determine aproximadamente a taxa à qual o nível da água sobe no tanque quando a profundidade é 3 pés. (1 galão é aproximadamente 0,1337 pés 3. R: 0,189 pé/min 13

14 Exercício 3c: Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 10 dm 3 /min. Se a altura do monte é sempre igual a duas vezes o raio da base, a que razão cresce a altura do monte quando esta é igual a 8 dm. R: 5/16π dm/min 14

15 Exemplo 4: O carro A está atravessando o oeste a 50 mi/h e o carro B está atravessando o norte a 60 mi/h. Ambos estão dirigindo para a intersecção de duas estradas. A que taxa os carros estão se aproximando um do outro quando o carro A está a 0,3 mi e o carro B está a 0,4 mi da intersecção? As derivadas são negativas porque a distância de A até a intersecção e a distância de B até a intersecção estão decrescendo. R: dz/dt é igual 78 mi/h, ou seja, os carros se aproximam e um do outro a uma taxa de 78 mi/h. 15

16 Exemplo 5: Se dois resistores com resistência R 1 e R 2 estão em paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms, é dada por R R1 R2 Se R 1 e R 2 estão crescendo a taxas de 0,3 ohms/s e 0,2 ohms/s, respectivamente, quão rápido está variando R quando R 1 =80 ohms e R 2 =100 ohms? R: dr/dt é igual 0,132 ohms/s. 16

17 Exemplo 6: Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior cresce uniformemente à taxa de 1,8 m/s, determine a taxa com que a área de água perturbada está crescente: a) quando r = 3m; b) Quando r= 6m. R: a) 10,8π m 2 /s b) 21,6π m 2 /s 17

18 Exercício 6: Ao se aquecer um disco circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Quando o diâmetro está com 5 metros, a que taxa está a área de uma face variando? R: 2,5π cm 2 /min 18

19 Exemplo 7: Uma partícula percorre uma curva segundo a lei e(t) = 2t t 2. Determine o instante no qual a velocidade é nula. R: t=1 19

20 Exemplo 8: (ANTON, 2007, p.206): Suponha que o Sol nascente passe diretamente sobre um prédio de 30 metros de altura e seja o ângulo de elevação do Sol. Encontre a taxa segundo a qual o comprimento x da 0 sombra do prédio está variando em relação a, quando 45. R: aproximadamente -1,05 m/grau 20

21 APLICAÇÕES EM ELÉTRICA Duas bobinas acopladas têm auto-indutância, onde o coeficiente de mútua indução L é igual a 0,05 Henry e a corrente i 1 que percorre a bobina 2 é igual a 5 sen(400 t ) ampéres. Determinar a tensão v 2 na bobina 2, di sendo v2 L. dt 21

22 39 REFERÊNCIAS ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1 Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, STEWART, James. Cálculo I, 5 ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning,