MAT Cálculo Diferencial e Integral I

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1 MAT Cálculo Diferencial e Integral I Bacharelado em Matemática Aplicada e Computacional - IME/USP Lista de eercícios 3 13/04/ Calcule os limites: a 2 (a + 1) + a 3 a f) lim g) lim h) lim i) lim ( + ) 3 3 j) lim h k) lim h h l) lim 9 9 t 3 t 2 m) lim ( 1) 2 2 n) lim 1 2. Se lim a f() = 0 e g() M, para todo Dom(g), mostre que lim a (f g)() = Seja f uma função tal que 3 f() 2, para todo 1. O que você pode dizer a respeito de: f() + f() f() 2 f() f() f) lim f() + 4. Calcule os seguintes limites: h 1 m 1 n 1 m f) lim

2 5. Se f() 1 ( 1) 2, calcule lim f(). Você pode dizer algo sobre lim 2 f()? 6. Seja f : IR IR uma função tal que f() 2. Mostre que f é contínua na origem Encontre, quando eistir, os seguintes limites: (2 + 3 ) Determine os valores das constantes a e b que tornam as funções contínuas para todo real. 2, 1 a) f() = 2 + a, > , 4 b) f() = a 1, > 4 4, < 3 c) f() = a 2 a, 3, 1 d) f() = a + b, 1 < < 4 2, 4 9. Considere a função f() = 2 4, < 2 a 2 b, 2 a) Para que valores de a e b f é contínua? b) Seja m() = f() f(2). Encontre a e b para que eista lim m() Seja g uma função tal que lim 0 g() = 1. Mostre que eiste δ > 0 tal que Domg, 0 < 0 < δ 1 2 < g() < Seja f definida em IR e tal que lim f() f(3) = 1. Calcule: f( 2 1) Seja f() = , 5 a, = 5. Determine o valor de a para que f seja contínua em 5. 2

3 f() 13. Se lim 14. Calcule f () sendo: = 0 e f é contínua na origem, mostre que f(0) = 0. a)f() = 1 2 (3 + 2) b)f() = + 1 c)f() = e)f() = f)f() = ( 1) g)f() = 1 3/2 d)f() = 5( 1)( + 2)( 3 + 1) 15. Verifique se as funções abaio têm derivadas em 0. Justifique sua resposta. a)f() = b)f() = 16. Encontre as equações das retas tangentes à curva y = e paralelas à reta 8 y + 3 = Encontre as equações das retas que passam pelo ponto (3, 2) e são tangentes à curva y = Demonstre analiticamente que não eiste reta que passa pelo ponto (1, 2) e é tangente à curva y = A reta normal ao gráfico de uma função y = f() num ponto P do mesmo é a reta normal à tangente ao gráfico da função nesse ponto. Determine a reta normal ao gráfico de f() = no ponto de abscissa = Considere a função f() = a) Determine f () usando a definição de derivada. b) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, 2). c) Determine os pontos do gráfico de f onde a reta tangente é horizontal. d) Encontre a reta normal ao gráfico de f. 21. Encontre as equações das retas tangentes à curva y = e perpendiculares à reta + 2y 11 = Determine uma reta que tangencie as parábolas y = 2 e y = Determine a e b para que f seja derivável, sendo f() = 2, 1 a 2 + b, > 1. 3

4 24. Mostre que a reta tangente à hipérbole y = 1 no ponto (a, 1 ) intercepta os eios coordenados nos a pontos (2a, 0) e (0, 2 a ). 25. Calcule a derivada primeira e a derivada segunda das seguintes funções: a)f() = g( ) b)f(t) = u(t)2 + v(t) 2 c)f() = g(g()) d)f() = u()2 v() Seja f uma função definida em IR. Suponha que eista m > 0 tal que f() m 2, IR. a) Mostre que f é contínua e derivável em 0. f() b) Eiste lim? Se sim, prove. Se não, eiba um contra eemplo Seja f definida em IR, derivável em 0 e tal que f(0) = 0. Prove que eiste uma função g definida em IR, contínua em 0, tal que f() = g(), IR. 28. Seja r uma reta tangente aos gráficos de f() = 2 e g() = Determine r. 29. Encontre a distância entre a parábola y = e a reta y = Mostre que a reta tangente à parábola y = a 2 no ponto ( 0, y 0 ) intercepta o eio na metade de Para que valores de a e b a parábola y = a 2 + b tangencia a reta y =. 32. Uma bolinha de naftalina perde sua massa numa taa que é proporcional à sua área. Se depois de um mês ela perdeu a metade de sua massa, depois de quanto tempo desaparecerá? 33. Um avião, voando horizontalmente com uma velocidade constante v e a uma altura h, deia cair um objeto. Desprezando-se a resistência do ar, determinar o tempo de queda e o local onde caiu, tomando-se como referência o ponto no solo sob o ponto de lançamento. 34. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume da areia cresce a uma taa de 10m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4m? 35. Uma formiga sobe uma parede de vidro com velocidade constante V. Determine a velocidade da sombra no chão (ver figura). 4

5 36. Entra água num tanque cônico a uma taa de 2litros/min. Determine a variação instantânea da altura em ralação ao tempo no instante em que h = 1 (ver figura). 37. Em um tanque cônico entra água a uma taa de 3litros/min. Se a altura do tanque é de 20m e o raio da base é 10m, qual a velocidade de ascenção da água no instante em que o nível encontra-se na metade da altura? 5