INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em A LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO A Atualizada em 007. A LISTA DE EXERCÍCIOS 0. Esboce o gráfico de f, determine f ( ), f ( ) e, caso eista, f ( ) : a a+ a, >, e a) f ( ) =, = (a = ) b) f ( ) =, = (a = ) +, <, < +, 0, f ( ) = ( a = 0 ) d) f ( ) = + (a = - ), < 0 0, = 0. Determine, se possível, a R, para que eista f ( ), sendo: o, > ( )( ) a) f ( ) =, = ( o = ) b) f ( ) = 5 a, < a,, = ( o = ) 0. Considere as funções do eercício 0. Verifique se f é contínua em = a. Justifique. 0. Para cada função f a seguir, determine D(f) e, se possível, a função g: R R, tal que g é contínua e g() = f(), para todo D(f): 9 +, > a) f ( ) = b) f ( ) =, < 05. Calcule os ites a seguir, a) ( y y + y ) y 5 b) (log w ln w ) w 0 e ( ) d) π / + sen cos e) f) g) + / 8 h) ( e 6 )( 8 ) i) j) y y y + + y k) l) m) 8 8 n) o) ( ) p) a a a

2 06. Determine, se possível, as constantes a, b e c R, de modo que f seja contínua em 0, sendo:, > - b +, a) f ( ) = ( 0 = ) b) f ( ) = a, = - ( 0 = - ) b, = b +, < - a + 9, < - f ( ) = b, = - seja contínua em 0 = - +, > Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: ln, > 0 a) f ( ) = e, 0 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), e + intervalos onde f é contínua. (/ ), > 0 b) f ( ) = /, < 0 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), log /, > 0 f ( ) = 0, = 0, < 0 f ( ), f ( ), f ( ), f ( ) + 0 estude a continuidade de f em = 0., 0 d) f() = cot g, 0 < < π + π, π f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), f ( ), + f ( ) f ( ), f ( ) f ( ), π / π - π + + ponto(s) de descontinuidade de f. f ( ) 08. Calcule: a) ( + ) + d) g) / b) ( + 5 ) e ) ( + ) + h) ln( ) ( 5e ) f) ( + ln ) 0 +

3 09. Calcule os seguintes ites: a) 0 + sen b) ( 5 ) d) 5 e) cos 0 f) g) π + g) Calcule os ites a seguir: a) d) [ ln ln ( + )] + b) + + π sen e) ( + ) ( / π ) + ( ) f) [ ( )] +. Calcule os seguintes ites: sen a tg a a) b), com a, b b sen sen sena d) e) π π a a cos 0 cos cosa g). a a. Calcule os ites a seguir: a) [ sen ( / )] d) cos (ln ) b) [ e.sen ] e) 0 + ( cos e ) π + sen.cos Calcule as constantes de modo que: a + b b + a) = 5 b) = 5 a + + f ( ) = e f ( ) =, sendo + b + a d) = / 6 f ( ) a + b + c + d = ( + ) + 8 b e) = / +. Considere a função, < e + f ( ) =, =. Justificando, estude a continuidade de f. 0, = 5 ln 5, e 5 5. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em 0 e em caso afirmativo, determine f ( 0 ):, a) f ( ) = ( 0 = ) b) f() = ( 0 = 0) f() = ( 0 = 0) 8, > d) f() = + ( 0 = ) e) f() = n, n N * ( 0 R)

4 6. Verifique em que ponto(s) a função f() = não é derivável. Justifique sua resposta. 7. Esboce o gráfico de f sabendo que f é dada pelo gráfico: a) b) (-,) (,) (7,) (-,) (,) 0 (5,-) (-5,0) 0 D(f) = [, + ) D(f) = R obs: No intervalo [,], f() = 8. Determine as constantes a e b de modo que f seja derivável em =, sendo a + b, f ( ) =., > 9. Determine as derivadas das funções a seguir: a) y = ( z ) + b) = w = + y y t / / d) u = e) y = +.ln π f) y = ( ) t 7 6 g) y = ( + + ) y + y 0. Determine a derivada de cada uma das funções a seguir: a) y = ( /5)sen + 9sec b) y = sen + cos f() = sen cos + 8tg sec tg t sen + cos e d) g( t ) = e) g( ) = f) y = sect sen cos sen. Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 : a) f() = + ; 0 = b) f() = tg ; 0 = π/ f() = cossec ; 0 = π/. Determine as abscissas dos pontos do gráfico de f() = + nos quais a reta tangente é: a) horizontal b) paralela à reta y = 0. Em que ponto da curva y = + a reta tangente tem ângulo de inclinação π/?. Caso eista, determine o(s) ponto(s) da curva f( ) = /, no qual a reta tangente é paralela à: a) ª bissetriz b) ª bissetriz

5 5. Seja f() = b ( /6). Determine a constante b de modo que a reta que passa pelos pontos M(0,5) e N(5/,0) seja tangente ao gráfico de f. 6. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f() = e perpendicular à reta y + =. 7. Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(0,) e é tangente ao gráfico de f() =. Ilustre a interseção construindo o gráfico. ( Observe que o ponto P não pertence ao gráfico da função f() = ) 8. Determine a equação da reta tangente comum aos gráficos de f() = e de g() = + (/). 9. Determine f () supondo g e h deriváveis e ( h( )) f ( ) =, g() 0 g( ) 0) a) 5 RESPOSTAS DA a LISTA b) 0 f ( ) = 5, f ( ) =, / + f ( ) f ( ) = + d) f ( ) = f ( ) = f ( ) = 0 0+ f ( ) = 0 f ( ) = 0 f ( ) =, f ( ) =, / + f ( ) 5

6 0. a) -0; b) f ( ) eiste, independente do valor de a. Por isso a pode ser um número real qualquer. 0. a) Não é contínua em = pois não eiste f ( ); b) Não é contínua em = pois f ( ) f ( ); É contínua em zero pois f ( ) = f ( 0 ) = 0. 0 d) Não é contínua em = - pois não eiste f ( ) ; 0. a) D(f) = R {} e 9 g( ) = - 6,, ; = b) D(f) = R { }, e não é possível definir g( ), tal que g seja contínua, pois não eiste f () 05. a) 0 b) - ln0 -e d) e) - ; f) não eiste pois = e = + + g) 5/6; h) e 8/ ; i) /; j) /; k) -/; l) 0; m) /; n) /8; o) /9; p) / a ; 06. a) b = - ou b = ; b) a = e b = -/9 a = 0, b = 8/. 07) a) b) 0,, -, não eiste, 0, /e,, 0, -,, não eiste, /, -, 0 +, (-,0), (0,+ ) d) 6

7 (π,π) π 0, -, +, 0, não é contínua em zero porque f ( ) f ( 0 ) a), d), e) + b), f), h) 0 g) / +, 0, +, não eiste, 0, -, π, + ; = 0 e = π a) Não eiste pois = e = + sen sen cos cos d) + e) Não eiste pois = e = f) Não eiste, pois = e = a), 0; b) / ; d) e) / f) / g). a) a b) a/b / d) e) cos a f) sen a.. a), b), d), e) zero; +.. a) a =, b = -6; b) a = 0, b = -5; a = 0, b =, c = 6, d = d) a = /, b = /; e) b = 6;. f é contínua IR {, 5 }; 5. a) não eiste; b) zero; não eiste; d) ; e) 6. f não é derivável em e em + 7. a) b) b) + n n o h) π/ (5,5/) / / (5,-5/) - 7

8 8. a = -/, b = / 9. a) y = 8 6 +; b) ' = / ; w' 0 = + y ; y y 90 d) u' = ; e) y' = + ln π ; f) ( t 7 ) ( 6 ) g) y = ln ( + + ) + ( + ) y' = ; ( ) 0. a) y = - (/5) cos + 9 sec tg b) y = cos; f () = cos + 8 sec (tg + ); d) g (t) = ( + tgt) cost e) g () = (sen cos) - f) e ( sen cos ) y = sen π π. a) t: 9 y 5 = 0 e n: + 9y 7 = 0; b) t: y = ( ) e n : y = ( ) ; t: y = e n: = π/.. a) = -, = /; b) = 0, = -/. ( /,/ ). a) não eiste b) (,), (-,-); 5. b = 6. t: y = - (5/) 7. t: y = + 8. t : y = + /, t : y = - + / h ( )[ h'( ) + h( )] g'( ) h ( ) 9. f '( ) = g( ) g ( ) 8