D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas

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1 ac C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L I 02 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 02: Assíntotas NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática (Paulo Carus) Introdução A ideia de que uma curva pode vir arbitrariamente próimo de uma linha, sem realmente tornarse o mesmo, frequentemente dão significados importantes na interpretação de alguma eperiência cotidiana. Consideremos os seguintes eemplos. Eemplo A função f() possui duas assíntotas, ambas retilíneas: Uma vertical, a reta 0 (o eio ); Outra oblíqua, a reta r :. De fato, a reta r() é assíntota (oblíqua), pois: f() r() + ± ± ± 0. E, o eio (reta 0) é assíntota (vertical), pois: f() ; f() Eemplo 2 A função g() admite a parábola p() como assíntota. De fato, f() p() ( ) ± ± 4 ± 0.

2 Ainda, o eio é assíntota (vertical) de g, pois g() g() ; Definição (Assíntota) Uma assíntota de uma curva C é uma linha (imaginária) de onde os pontos de C se aproimam à medida que se percorre C. Em outras palavras, a assíntota e a curva ficam arbitrariamente próimas a medida que se afastam da origem do sistema de coordenadas. Este conceito nos dá um modo de encontrá-las, como veremos. Em geral, no Cálculo, o termo assíntota refere-se a uma reta. Assim, podemos dizer que assíntota é uma linha reta, que se aproima indefinidamente de uma curva, sem poder tocá-la. Etimologia da palavra Assíntota A palavra Assíntota foi formada a partir do Grego ASYMPTOTOS, que significa não cair juntos, o que não coincide, de A, negativo; mais SYN, junto; mais PTOTOS, caído. Observação Cuidado com a epressão sem poder tocá-la. Por eemplo, a função f() cos() possui o eio (reta 0) como uma assíntota horizontal e o gráfico de f intercepta essa assíntota numa infinidade de vezes. Porém, quanto ±, f() é cada vez mais próimo ao eio, mantendo uma distância infinitésima. Observação 2 Veja que o gráfico de uma função jamais intercepta uma assíntota vertical. Por que? 2 Assíntotas Retilíneas Eistem potencialmente três tipos de assíntotas: horizontais, verticais e oblíquas. Para curvas dadas pelo gráfico de uma função f(), temos: (i) Assíntotas verticais são linhas verticais, perto da qual a função cresce sem ites; (ii) Assíntotas horizontais são retas horizontais em que o gráfico da função se aproima continuamente quando tende a + ou a ; (iii) Assíntotas oblíquas são retas não paralelas aos eios coordenados em que o gráfico da função se aproima continuamente quando tende a + ou a. Adriano Cattai 2

3 Uma reta de equação a é uma Assíntota Vertical do gráfico de uma função f(), se algum dos ites laterais em a for infinto, ou seja, a é assíntota vertical de f a + f() ± ou f() ±. a Uma reta de equação b é uma Assíntota Horizontal do gráfico de uma função f(), se algum dos ites no infinito for b, ou seja, b é assíntota horizontal de f f() b ou f() b. + Eemplo 3 Sejam a funções f() e g(). O eio (reta 0) é assíntota vertical para as duas funções, 2 pois: f : g : 0 0 e ; + e Enquanto que, o eio (reta 0), é assíntota horizontal para as duas funções, pois: f() f : g : 0 e + 0; 2 0 e g() Eemplo 4 Seja f() Como 3 2 ± (3 / 2 ) ± 2 (+4/ 2 ) 3 / 2 ± +4/ , temos que 3 é assíntota horizontal de f. Ou seja, à medida em que cresce/descrece iitadamente o gráfico de f() se aproima arbitrariamente da reta 3. Veja que f não possui assíntota vertical pois, não eiste R tal que se anule. Adriano Cattai 3

4 Eemplo A função g() possui duas assíntotas horizontais, as retas ±3/2. De fato: / 2 2 (2 /) Lembre que 2. Assim, 9+/ 2 (2 /), > 0 9+/ 2, < 0 (2 /) 9+/ 2 2 /, > 0 9+/ 2, < 0. 2 / / 2 2 / , / 2 2 / Uma reta de equação r() M+N é uma Assíntota oblíqua do gráfico de uma função f(), se f() M ± desde que esses ites sejam finitos. e N f() M, ± De fato. A reta r() M+ N é uma assíntota se equivalências: f() M N 0 f() M N ± ± ± Assim, devemos ter ± f() f() (M+ N) 0. Temos as seguintes ± ( f() M 0, para que eista o ite. Logo, M ± Eemplo 6 A função f() tem a reta r : como uma assíntota oblíqua. ) M N. f(). De fato: f() M ± + ± ± + 2 N f() + ± ± ± 0 Veja, também, que: f() r() + ± ± ± 0. Eemplo 7 Dada a função f() , r() + 2 é uma assíntota oblíqua, pois: f() M ± ± N f() / ± ± 3 6/ 3 0 Adriano Cattai 4

5 O último ite pode ser calculado usando o fator racionalizante 3 (62 3 ) Eemplo 8 Vejamos duas funções em que M ou N não é possível ser determinado. (a) A função f() e não possui assíntota oblíqua, pois e M + L H e + e + ou M e + ( ) 0. Ou seja, quando o eio- é assíntota horizontal e, quando + não eistiu M. (b) Se f() ln()+3, temos que ln()+3 M + + Porém, como N f() M, temos: + Ou seja, não eiste a costante N. ln() } {{ } /, L H + 3 / N ln()+3 3 ln() Observação 3 Algumas observações sobre assíntotas oblíquas de equação r() M + N: f() (i) Se os ites M forem finitos e distintos, o gráfico de f poderá ter duas assíntotas ± oblíquas distintas, dependendo então da eistência de valores finitos para N; (ii) Quando M 0, a equação da assíntota será N, desde que eista este N, passando a ser então uma assíntota horizontal. Assim, as assíntotas horizontais são as assíntotas oblíquas como casos particulares destas, em que M 0. No entanto, em nosso teto, usaremos a epressão oblíqua somente quando a reta for não paralela a algum dos eios; (iii) As funções racionais (quociente entre polinômios), em que o grau do numerador é uma unidade a mais do que o grau do denominador, sempre possuem assíntotas oblíquas; Pois, quando dividir a função por, o grau do denominador ficará igual ao do numerador que, no infinito, tem ite finito; (iv) O coeficiente angular M da assíntota oblíqua de uma função f, pode ser determinado, também, pelo ite ± f (). Observação 4 Em respeito ao item (iii) da observação acima, de um modo geral, se a função racional f() p m() q n () é imprópria (m > n), podemos obter dois polinômios Q() e R() tais que f() Q()+ R() q(), pela simples divisão entre polinômios, em que o grau de R() < n gr(q n ). Logo, + Assim, implicando que Q() é uma assíntota de f. R() f() Q() + + q() 0, R() q n () 0. Adriano Cattai 5

6 Questões Q Determine as assíntotas horizontais de: (a) f() ; (b) g() ; 2 (d) p () ; (e) p 2 () ; (c) h() ; (f) p 3 () Q 2 Determine as assíntotas verticais de: 5+ (a) f() ; 2 (b) g() ; (c) h() ; (d) i() Q 3 Mostre que as assíntotas da hipérbole 2 a 2 2 b 2 são as retas ± b a. Q 4 Determine as assíntotas oblíquas de: (a) f() ; (b) g() ; + (c) h() ; (d) i() ; (e) j() 2 +e ; (f) k() ln() 2+. Q 5 Efetue a divisão entre polinômios, como descrito na Observação 4, para determine a assíntota da função racional. (a) f() 2 + ; (b) f() ; (c) f() ; Respostas Q (a) 2; (b) ; (c) e 5; (d) 0; (e) /2; (f) não possui. Q 2 (a) ± e 2; (b) ±; (c) 2 e 2 + ; (d) 2 + e 2. Q 4 (a) + ; (b) ; (c) 2+ 3; (d) ; (e) 2 ; (f) Não possui, pois M 2, N. Q 5 (a) f() +, assíntota oblíqua ; (b) f() 2 8, assíntota curvilínea 2 ; (c) f() , assíntota curvilínea 2 +. Adriano Cattai 6