Lista 8 : Cinemática das Rotações NOME:

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1 Lista 8 : Cinemática das Rotações NOME: Turma: Prof. : Matrícula: Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iv. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. Uma roda de raio 0,80 cm gira sem deslizar segundo uma linha reta em uma superfície plana. Fixe o eixo x como sendo a linha horizontal positivo e para direita, eixo y vertical positivo e para cima, e o eixo z perpendicular ao plano e positivo saindo do quadro. Considere o instante em que o vetor velocidade angular da roda é ω = (4,0 rad/s) k. a) Qual é a velocidade linear vetorial do ponto T nesse instante? b) Qual é a velocidade linear vetorial do ponto F nesse mesmo instante? 1

2 2. A posição angular de um ponto localizado na borda de uma roda gigante é descrita por =4,0 3,0 +, onde θ é dado em radianos e t em segundos. a) Qual a velocidade angular em t=2,0 s e em t=4,0 s? b) Qual a aceleração angular média para o intervalo de tempo entre t=2,0 s e t=4,0 s? c) Qual a aceleração angular instantânea no início e no final desse intervalo de tempo? 2

3 3. Para t=0 s a corrente de um motor elétrico de corrente contínua (dc) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por θ(t) = 250,00 t 200,00 t 2 1,50 t 3. a) Em que instante a velocidade angular do eixo do motor se anula? b) Calcule o vetor aceleração angular no instante em que a velocidade angular do eixo do motor é igual a zero. c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular se anulou? d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t = 0, quando a corrente foi invertida? e) Calcule a velocidade angular média no intervalo de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a) 3

4 4. Um disco gira em torno de seu eixo central partindo do repouso com aceleração angular constante. Em um instante, ele está girando a 10 rev/s. Após 50 revoluções, sua velocidade angular é 15 rev/s. Calcule: a) a sua aceleração angular; b) o tempo para completar as 50 revoluções; c) o tempo necessário para atingir a velocidade angular de 10 rev/s; d) o número de revoluções a partir do repouso até o instante em que o disco atinge a velocidade angular de 10 rev/s. 4

5 5. Um objeto rígido roda em torno do eixo z e é acelerado a 2,66 rad/s². Considere uma partícula localizada em r=1,83 j + 1,26 k (em metros). No instante em que ω=14,3 k (rad/s), a) Encontre o vetor velocidade da partícula. b) Encontre o vetor aceleração linear da partícula e indique suas componentes radial (ou centrípeta) e tangencial. c) Qual é o raio da trajetória circular da partícula. 5

6 Questões: (A) Poderiam as grandezas angulares θ, ω e α serem expressas em termos de graus em vez de radianos nas equações rotacionais relacionando as grandezas lineares e angulares? (B) Uma roda está girando sobre seu eixo. Considere um ponto sobre sua borda. O ponto possui aceleração radial quando a roda gira com velocidade angular constante? E aceleração tangencial? Quando a roda gira com aceleração angular constante, o ponto possui aceleração radial? E aceleração tangencial? Os módulos destas acelerações mudam com o tempo? (C) O planeta move-se em uma órbita circular em torno do Sol, completando uma revolução a cada 225 dias. Vênus também gira sobre um eixo polar, completando uma revolução a cada 243 dias. O sentido do movimento rotacional é oposto, mas paralelo, ao movimento orbital. (a) Descreva o vetor que representa a velocidade angular resultante, obtida pela adição das velocidades angulares rotacionais e orbitais. (D) Um corpo rígido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. O corpo pode ter aceleração angular diferente de zero mesmo que a sua velocidade angular seja nula? Qual seria o equivalente linear desta questão? Dê exemplos físicos que ilustrem tais situações. (E) Considerando-se os movimentos de rotação e revolução da Terra, uma árvore move-se mais rapidamente durante o dia ou durante a noite? Sua resposta foi dada com relação a qual referencial? (A rotação e revolução da Terra possuem o mesmo sentido). Exercícios e Problemas 1. Dois pontos estão sobre uma roda girante, com velocidade angular constante; um deles está na borda e outro a meia distância entre o centro e a borda. a) Qual dos dois percorre a maior distância no intervalo de tempo t? b) Qual dos dois gira o maior número de vezes? c) Qual tem a maior velocidade escalar? a maior velocidade angular? a maior aceleração? e a maior aceleração angular? 2. A órbita da Terra em torno do Sol é quase circular. a) Qual é a velocidade angular da Terra (considerada como uma partícula) em torno do Sol? b) Qual é a velocidade linear em sua órbita? c) Qual é a aceleração radial da Terra? 3. Um astronauta está sendo treinado em uma centrífuga, que possui raio de 10,4 m e, na partida, gira de acordo com θ = 0,326 t 2, sendo t em segundos e θ em radianos. Quando t=5,60 s, qual é: a) a velocidade angular do astronauta; b) sua velocidade tangencial; c) sua aceleração tangencial e d) sua aceleração radial? 6

7 4. Uma roda de bicicleta com raio igual a 33 cm gira com aceleração angular α(t) = 1,80 0,25 t. Ela está em repouso para t = 0. a) Quais são as unidades de cada constante da função α(t)? b) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular em função do tempo. c) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o deslocamento angular positivo máximo da roda. 5. Um automóvel viaja a 100 km/h e possui rodas de 0,80 m de diâmetro. a) Encontre a velocidade angular das rodas sobre o eixo. b) O carro é freado de forma uniforme e pára em 30 rotações das rodas. Calcule a aceleração angular. c) Até que distância o carro avança durante o período de frenagem. 6. Uma roda executa 90 revoluções em 15 s; sua velocidade angular após este período é 10 rev/s. a) Admitindo-se aceleração angular constante, qual era a aceleração angular da roda no início do intervalo de 15 s? b) Quanto tempo passou entre o instante em que a roda se encontrava em repouso e o início do intervalo de 15 s? 7. Uma roda dentada A de raio r A de uma bicicleta está acoplada por uma corrente B à roda dentada C de raio r C. A corrente não desliza nem se estica. a) Relacione as velocidades angulares das duas rodas dentadas com o número de dentes, N A e N C, de cada roda dentada; b) Considere que os raios de cada roda dentada sejam r A = 10,0 cm e r C = 25,0 cm. A roda A aumenta sua velocidade angular à razão uniforme de 1,60 rad/s. Determine o tempo necessário para que a roda C atinja uma velocidade angular de 100 rev/min; supondo que não haja deslizamento da correia. 8. Um pino rosqueado com 12,0 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado horizontalmente. Uma barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino é aparafusada nele. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino? 9. Um Compact Disc (CD) de um sistema digital de áudio possui raios interno e externo de sua gravação de 2,50 cm e 5,80 cm, respectivamente. Durante a execução, o disco é varrido à velocidade linear constante de 130 cm/s, partindo-se de seu lado interno para o lado externo. a) Se a velocidade angular inicial do disco de 52,0 rad/s, qual é sua velocidade angular final? b) Qual é o comprimento total da varredura se as linhas espirais são separadas por 1,60 µm? c) Qual é o tempo total de gravação? 10. Um objeto se move no plano de xy de forma que x=r cos (ωt) e y= R sen (ωt), sendo x e y as coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω constantes. a) Elimine t entre estas equações para encontrar a equação da curva na qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado da constante ω? b) Encontre as componentes v x e v y da velocidade do corpo. Combine v x e v y para encontrar o módulo, a direção e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto. c) Encontre o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante. 7

8 Respostas: 1) a) da borda; b) igual; c) borda, igual, borda, igual nulo. 2) a) rad/s; b) 30km/s; c) 6 mm/s 2 3) a) 3,65 rad/s; b) 38 m/s; c) 6,8 m/s 2 ; d) 140 m/s 2 4) a) rd/s 2 e rad/s 3 ; b) 1,80 t 0,125 t 2, 0,90 t 2 0,25 t 3 /6;c) 6,48 rad/s, 62,2 rad 10,0 voltas. 5) a) 69,4 rad/s; b) 12,8 rad/s 2 ; 75,4m 6) a) 0,53 rev/s 2 ; 3,75s 7 )a) ω C /ω A =N A /N C ; b) 16,4 s 8) 4,56 s 9) a) 22,4 rad/s; b) 5,38 km; c) 69 min. 10) a) círculo de Raí or e centrado em (0;0); b) Rω; tangencial; c) Rω 2, radial, centrípeta. 8