Lista 9 : Dinâmica Rotacional

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1 Lista 9 : Dinâmica Rotacional NOME: Matrícula: Turma: Prof. : Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para se resolver e entregar. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iv. Analisar a resposta respondendo: ela faz sentido? Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. Em um dado projeto a estrutura triangular (vista na Figura ao lado) foi montada. As três massas (m1=150g, m2=250g e m3=300g), mantidas juntas por hastes plásticas e rígidas de massa desprezível, giram no plano da página em torno de um eixo que passa pelo vértice do ângulo reto. (a) Com que velocidade angular a estrutura possuirá 100mJ de energia rotacional? (b) Se o eixo de rotação agora passar pelo centro de massa e ainda for paralelo ao eixo do item (a) o sistema deverá rodar com que velocidade angular para ainda assim ter 100mJ de energia rotacional? 1

2 2. Na Figura abaixo, um fio sem massa e inextensível passa sem escorregar ao redor da polia. Numa extremidade do fio é pendurado um bloco de massa m 2 = 500 g, na outra, um bloco de massa m 1 =400g, e a polia, que é montada em um eixo horizontal sem atrito, tem um raio de 5,00 cm. Quando o sistema é abandonado a partir do repouso, o bloco de massa maior cai 75,0cm e adquire uma velocidade linear de 30,0 cm/s. (a) Faça os diagramas de força para cada bloco e polia. (b) Utilizando a conservação de energia mecânica determine a inércia rotacional da polia. (c) Determine o módulo e sentido da aceleração angular da polia. (d) Determine as tensões no fio e o vetor reação do eixo de rotação sobre a polia. (e) Qual é o vetor torque resultante em torno do eixo de rotação? Faça dois cálculos, um utilizando a equação r x F e outro Iα. (e) Qual a força de atrito entre a corda e a polia? 2

3 3. Dois blocos idênticos, cada um com massa M, são ligados por uma corda leve que passa sobre um polia de raio R e inércia rotacional I. A corda não escorrega sobre a polia e não se sabe se existe atrito ou não entre o plano e o bloco que escorrega. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia gira do ângulo Ɵ durante o intervalo de tempo t e a aceleração dos blocos é constante. (a) Qual a aceleração angular da polia? (b) Qual a aceleração dos dois blocos? (c) Quais as trações nas porções superior e inferior da corda? (d) A partir do item (a) obtenha a aceleração dos blocos no caso onde podemos desprezar a massa da polia? Explique a diferença. Explique todas respostas em termos de M, I, R, Ɵ, g e t. 3

4 4. (a) Qual dos objetos chegará primeiro à base da cunha? (b) Qual a velocidade com que cada um deles chegará ao piso? (Todos objetos possuem massa M. A esfera, o cilindro e o anel têm raio R e deslizam sem escorregamento e a partícula desliza sem atrito.) 4

5 5. Um disco uniforme de raio R e massa M gira com velocidade angular ω 0 no sentido horário. Ele está apiado sobre uma superfície horizontal plana, onde o coeficiente de atrito cinético entre o disco e a superfície é μ c. (a) Encontre o vetor torque do atrito sobre o disco. (b) Expressar o vetor velocidade angular em função do tempo e (c) Quanto tempo o disco levará para chegar ao repouso? 5

6 Questões: (A) Se dois discos de mesmo peso e espessura são feitos de metais de densidades diferentes, qual deles possuirá a maior inércia rotacional em torno do seu eixo de simetria? (B) Ao derrubar uma árvore, um lenhador faz um corte do lado voltado para a direção em que a árvore deve cair. Explique por quê. Seria seguro postar-se diretamente atrás da árvore, no lado oposto ao da queda? (C) É possível distinguir entre um ovo cru e um cozido, girando-os sobre uma mesa. Explique como. Além disso, se você parar com os dedos um ovo cru que esteja girando e o soltar rapidamente, ele voltara a girar. Por quê? Exercícios e Problemas 1. A figura é uma vista superior de uma barra horizontal de comprimento L que pode girar; duas força horizontais atuam sobre a barra, mas ela está parada. A força F1 atua a uma distância x do pivô.a) Como a barra não pode se mover, qual deveria ser a magnitude de F2 em termos de x, L e F1 e ela é maior, menor ou igual a F1? b) Se o ângulo entre a barra de F for diminuindo a partir de 90 o e a barra não deve girar, F deve aumentar, diminuir ou ser mantido constante? 2. A figura é um gráfico da posição angular θ (rad) do disco em rotação, no sentido indicado. a) A velocidade angular do disco é positiva, negativa ou nula em t=0 s, t=1 s, t=2 s e t=3s. b) A mesma pergunta do item a) para aceleração angular. c) Indique na figura os vetores ω e α nos instantes especificados. 3. Três hastes formam um plano e estão conetadas entre si em uma das extremidades, formando entre elas um ângulo de 120o, Fig. Cada uma das três hastes mostradas tem comprimento d=0,60 m e massa m=2,00 kg. O conjunto gira com velocidade angular ω= 18 rad/s em torno de um eixo perpendicular às hastes e perpendicular ao plano formada por elas. Este eixo pode ser aquele que passa pela junção das haste, reta r, ou passando por uma das extremidade livres da haste, reta r'. Determine em relação a cada eixo de rotação : a) a expressão da inércia rotacional em torno do eixo de rotação em termos de m e d b) o seu valor numérico c) a energia cinética de rotação em termos de m, d e ω d) o seu valor numérico. 4. Um cilindro maciço de massa 23,4 kg e raio 7,60 cm tem uma fita fina e leve enrolada em torno de si. A fita passa por uma polia leve e sem atrito e está presa a um objeto de massa 4,48 kg, que pende verticalmente. O plano sobre o qual se move o cilindro tem inclinação de 28,3 com a horizontal. Ache (a) a aceleração linear do cilindro ao descer o plano inclinado e (b) a tração na fita, supondo que não haja deslizamento. (Ver Fig 55 Cap 12) 6

7 5. Uma bolinha compacta de massa m e raio r rola sem deslizar ao longo do trilho em curva mostrado na figura abaixo, tendo sido abandonado em repouso em algum ponto da região reta do trilho. (a) De que altura mínima, a partir da sabe do trilho, a bolinha deve ser solta para eu percorra a parte superior da curva? (suponha que R>>r). (b) Se a bolinha for solta da altura 6R acima da base do trilho, qual a componente horizontal da força que atua sobre ela no ponto Q? 6. Um cilindro maciço de comprimento L e raio R tem peso P. Duas cordas são enroladas em torno do cilindro, perto de cada borda, e as pontas das cordas são presas a ganchos no teto. O cilindro é mantido na horizontal com as duas cordas exatamente verticais e então é abandonado. a) Faça o diagrama de forças sobre o cilindro. b) Quais forças realizam trabalho durante a descida? c) Calcule a tração em cada corda enquanto elas se desenrolam. d) Calcule a aceleração linear do cilindro enquanto ele cai. e) Qual o valor da força de atrito estático necessária para que ocorra rolamento sem escorregamento? 7. Uma extremidade da haste de carga, com comprimento L=5,0 m e massa M=150 Kg, está ligada ao solo por uma articulação livre de girar sem atrito. Um cabo horizontal é amarado na outra extremidade mantendo a haste num ângulo θ com o horizonte. (I = ML 2 /12) a) Faça um diagrama das forças aplicadas na haste de carga. b) Quanto vale a tensão no cabo? Analise os casos limites de θ tendendo a 0 e 900. c) Na hipótese de o cabo ser cortado, qual será a aceleração angular da haste de carga? d) A energia mêcanica do sistema haste+terra se conserva? d) Qual será a velocidade angular da haste de carga ao atingir a posição horizontal, após o corte do cabo? e) Existe alguma parte da haste que cai com uma aceleração maior que g? Se sim, como isso é possível? f) Qual o vetor força feito pela articulação sobre a haste? 8. Duas partículas, localizadas sobre eixo dos y, se ligam por haste rígida de massa igual a 3 kg, Fig.. Se o sistema girar em torno do eixo dos X, com uma velocidade angular de ω =2 rad/s, achar a) o momento de inércia do sistema em torno do eixo dos X b) a energia cinética de rotação do sistema. c) Considere, agora, que o sistema gira em torno do eixo X', como apresentado na figura. Responda os itens a) e b), neste caso. d) Neste dois casos, responda e explique, qual configuração é mais fácil de girar? 9. A molécula de oxigênio possui massa de 5,30 x kg e inércia rotacional de 1,94 x kg.m2 em relação ao eixo que passa perpendicularmente pelo centro da linha que une os átomos. Suponha que uma molécula dessas, em um gás, possua velocidade escalar média de 500 m/s e sua energia cinética rotacional seja dois terços de sua energia cinética translacional. Encontre a sua velocidade angular média. 7

8 10. A figura abaixo mostra um bloco uniforme de massa M e arestas de comprimentos a, b e c. Calcule sua inércia rotacional em torno de um eixo que passe em um vértice e seja perpendicular a faze maior do bloco. RESPOSTAS: 1-2- (a) ω(0) > 0; ω(1) > 0; ω(2) = 0; ω(3) < 0.(b) α < 0 nos instantes indicados. 3- (a) r: md 2 ; md 2 ω 2 /2.; r : 4md 2 ; 4md 2 ω 2 / X: 51 kg m 2 ; 102 J; X : 75 kg m 2 ; 150 J. (d) Usar W = ΔK, configuração X