1.2 Achar dois números positivos que somem 70 e tenham o maior produto possível.

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1 Eercícios de aplicações da derivada PARTE 1 Prof. Méricles Thadeu Moretti MTM/PPGECT/UFSC 1.1 Dentre todos os retângulos com área 49cm, qual deles tem menor perímetro? 1. Achar dois números positivos que somem 70 e tenham o maior produto possível. 1. Para fabricar uma caia sem tampa utiliza-se um pedaço de cartolina quadrado de lado igual a 1cm. Em cada canto da cartolina deve-se recortar um quadrado de lado. Determinar de modo que o volume que a caia possa conter seja o maior possível (despreze a espessura do papelão). Qual é o valor desse volume? 1.4 Dê as medidas de um recipiente cilíndrico capaz de conter um volume V = 7m. Ao especificar as medidas de um segundo recipiente cilíndrico de mesma capacidade faça-o de modo que o gasto de material para fabricá-lo seja o menor possível (desprezar a espessura do material). 1.5 Um jardim retangular de 50m de área deve ser protegido contra animais. Se um dos lados do jardim já está protegido por uma parede de um celeiro, quais as dimensões da cerca com menor comprimento possível? 1.6 Determine as dimensões de um retângulo de área máima que pode ser inscrito em um semi-círculo de raio R. 1.7 Caias para arremessa de mercadorias são aceitas por certa companhia somente se a soma do comprimento e do perímetro da seção transversal não eceder a 84 cm. Determinar as dimensões da caia aceitável que contenha volume máimo possível. 1.8 Uma viga acha-se engastada por uma das etremidades em uma parede, enquanto que a outra etremidade está simplesmente apoiada. A viga tem comprimento L e pesa w

2 kilogramas por unidade de comprimento. A defleão y à distância da etremidade engastada satisfaz a equação 4 48EI w( 5L L ) sendo E e I são constantes positivas que dependem do material e da forma transversal. A que distância da etremidade engastada ocorre a defleão máima? Determine a constante a e b de modo que a função a b c tenha: (a) um máimo relativo para = 1 e um mínimo relativo para = ; (b) um mínimo relativo para = 4 e ponto de infleão para = Determine a constante k de modo que a função y tenha : (a) um mínimo relativo para = ; (b) um mínimo relativo para = ; (b) um ponto de infleão para = 1 ; (c) mostre que a função não pode ter máimo relativo para nenhum valor de k. k Determine o retângulo de área máima, com base no eio- e vértices superiores sobre a parábola y = Um retângulo de dimensões e y gira em torno de um dos lados para formar um cilindro. Sabendo-se que o perímetro do retângulo é de 6 cm, determinar e y que produzem o cilindro de maior volume possível. Qual é esse valor? Um retângulo é inscrito em um triângulo retângulo cujos catetos medem 1cm e 16cm. Determinar o retângulo de lados e y, posicionado conforme mostra a figura a seguir, com a maior área possível Esboçar as seguintes curvas a) C b) p (70 ) c) V (1 ) d) A r e) C r 4 f) V (84 4) g) 48EI w( 5L L ) para E = I = L = 1 h) A (1 ) i) V (18 ) j) A (16 ) k) y = - 6 l) y = m) y = 4 n) y = ( 1) o) y = 1 p) y = q) y = 1 r) y =

3 PARTE.1 - Uma pulga ao saltar teve a sua posição no espaço descrita em função do tempo pela epressão h(t) = 4,4t - 4,9t sendo h, em metros, a altura atingida pela pulga. Estudar h.. - O crescimento de E. Coli em um caldo de cultura pode ser epresso pela equação V(t) = t -9t com t [0, 10] é epresso em dias e V(t) mede o volume de microrganismos no instante t. Estudar o comportamento de V.. - Seja y o custo médio de atendimento em uma certa UTI hospitalar, epresso em unidades apropriadas, em função do número de pacientes internados por dia, dado por: Representar graficamente esta função, sabendo-se que a capacidade máima da UTI é de 0 pacientes. Interpretar o resultado..4 - A concentração de um fármaco no sangue, após sua administração por via IM em uma única dose, é dada por 10t t t 1 com t 0 em horas. Esboçar e estudar y..5 - Suponhamos que a concentração C (em mg/100ml) de um certo metabólico em um meio líquido de cultura seja epresso por: C(t) = (t - ) 4 - (t - ) + sendo 0 t 4 dado em horas. Esboçar e estudar C(t)..6 - A reação do organismo a uma droga pode ser representado por uma função do tipo q R() ( sendo que representa a quantidade utilizada (0 q), q representa a quantidade máima que pode ser administrada e R estima a intensidade de reação do organismo à droga (por eemplo, pressão sangüínea em mm de Hg, temperatura do corpo, etc.). Estudar R()..7 - Um indivíduo apresenta-se com febre alta. É-lhe, então, administrada uma substância antipirética que se espera possa provocar, dentro de uma hora, a queda de temperatura e seu retorno a valores normais (cerca de 6,5 o C para a temperatura ailar). Suponhamos que ao ser )

4 dado o medicamento o indivíduo apresentava 40 o C de febre e que a curva de temperatura descrevendo o efeito antipirético, nessa situação específica, seja dada por: f(t) = 40-95t 16t 1 11t 1 sendo t medido em horas a partir da tomada do medicamento enquanto que f(t) representa a temperatura em o C no decurso de,5 horas. Esboçar e estudar f(t)..8 - Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproimadamente, dado por: Esboçar e estudar f(t). t f(t) = 64t O peso específico da água a uma temperatura de t o C é dado por P(t) = 1 + at + bt + ct sendo 0 o C t 100 o C, a = 5,.10-5, b = -6, e c = 1, Qual é a temperatura na qual a água apresentará o maior peso específico?.10 - Ward-Smith (analysis of the aerodynamic of birds during bounding flight. Math. Biosc., 68:140, 1984) sugere que a potência P, em Watts, necessária para o vôo horizontal de um pássaro, depende de sua velocidade v e é dada por: p(v) = K 1 v + v sendo K 1 e K constantes positivas que dependem, entre outros fatores, da densidade do ar, da área da asa e do peso do pássaro. Para qual velocidade v a potência é mínima? PARTE (Usar algum programa computacional para os eercícios a seguir).1 Cinqüenta animais ameaçados de etinção são colocados em uma reserva. Decorridos t anos a população y desses animais é estimada por: t 6t 0 y(t) = 50 t 0 Em que instante essa população de animal atinge seu máimo? Quanto ele vale?. Suponha que o número de bactérias em uma cultura no instante t é dado por: K t N 5000(5 te 0 ) a) Ache o menor e o maior número de bactérias no intervalo 0 t 100.

5 b) Em que momento, durante o intervalo em a) o número de bactérias decresce mais rapidamente?. Determine os pontos da curva distantes da origem que estão mais próimos e mais.4 Dê a relação entre h e r de um recipiente cilíndrico capaz de conter um volume V de modo que o gasto de material para fabricá-lo seja o menor possível (desprezar a espessura do material)..5 Esboçar as seguintes curvas a) d) R R para R = 1. b) y ( 1) ( 1) e) c) 8a 4a para a = f) ( y ) a 0 para a = 1, 5 ( y ) a 0 para a = 1,. Bibliografia BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocientistas. São Paulo: Editora Interciência, FLEMMING, Diva M. GONÇALVES, Mírian B. Cálculo A. São Paulo: Makron, 199. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. (Volume 1, ª Edição). Rio de Janeiro: LCT, KITCHEN JR., Joseph W. Calculus of one variable. Massachusetts: Addinson-Wesley, THOMAS JR, George B., FINNEY, Ross L. Cálculo e geometria analítica. V1. Trad. Denise Paravato. São Paulo: LTC, 1988.