Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável

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1 Análise Matemática Cálculo diferencial, primitivas e cálculo integral de funções de uma variável (Soluções) Jorge Orestes Cerdeira, Isabel Martins, Ana Isabel Mesquita Instituto Superior de Agronomia - -

2 Capítulo Complementos sobre derivadas. Regra de Cauchy Eercícios. Calcule, se eistir, cada um dos seguintes limites. a) lim 6 4 b) lim c) lim + sin cos e d) lim + ln e) lim e ln( + ) 4 Não eiste + + Eercícios. Calcule, caso eistam, os seguintes limites. + 3 a) lim

3 e e b) lim + ln c) lim e / Não eiste d) lim + e ( + ) e) lim + + f) lim tg ln + g) lim +(sin )/ h) lim (cos) / i) lim + (e + ln ) + ln(ln ) j) lim + ln k) lim ln ( l) lim + 5 e + ) 5 m) lim ) +(e ( n) lim ) Não eiste ln o) lim sin ln(sin ) + sin p) lim tg q) lim +(ln ). Determine, caso eistam, as assimptotas dos gráficos das seguintes funções. a) y = Vertical: = 3. Oblíqua à direita e à esquerda: y = 3 4. b) y = Oblíqua à esquerda: y = +. Oblíqua à direita: y =.

4 c) y = ( + )e Horizontal à direita: y =. d) y = e+ 3 Vertical: =. Oblíqua à direita e à esquerda: y =. e) y = se < + e se Vertical: =. Horizontal à esquerda: y =. Horizontal à direita: y =. 3. Identifique os maiores domínios de continuidade e derivabilidade das seguintes funções e defina as correspondentes derivadas de a ordem. ln se > a) y = + se f é contínua e derivável em R\{}. f () = b) y = e se se = f é contínua e derivável em R. f () = c) y = e se se = + ln(), >, < e e +,, = 3

5 4 3 e f é contínua e derivável em R. f, () =, =. Fórmula de Taylor Eercícios 3. Escreva os polinómios de Taylor de ordens, e 3 de f() = ln no ponto a =. P () =, P () = ( ) ( ), P 3 () = ( ) ( ) + ( )3 3. Escreva o polinómio de MacLaurin de ordem 3 para cada uma das seguintes funções: a) f() = ( ) 3 + 5( ) + 3 P 3 () = b) f() = e P 3 () = c) f() = sin( π ) P 3 () = π π d) f() = cos P 3 () = e) f() = tg. P 3 () =

6 3. Use a fórmula de Taylor para escrever o polinómio P() = como soma de potências de +. P() = 8 + 5( + ) 8( + ) + ( + ) 3 4. a) Escreva o polinómio de Taylor de ordem da função no ponto a =. P () = + ( ) ( ) 8 b) Utilize o polinómio da alínea anterior para indicar um valor aproimado de Seja P () o polinómio de MacLaurin de ordem da função f() = a) Eplicite P (). P () = + 3 b) Justifique que, para valores positivos de, tem-se P () > f(). ( + ). 6. Seja f() = +. a) Escreva a fórmula de MacLaurin de ordem de f. f() = + 8 em que c ], [ para > e (c + ) 3 c ], [ para < b) Mostre que o gráfico de f está abaio da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. 7. Utilize a fórmula de Taylor para mostrar que 3 6 sin, para ], π[. 8. Seja f() = 5 ln( + ). a) Determine a equação de uma parábola que aproime o gráfico y = f() numa vizinhança de =. y = 5 5 5

7 b) Justifique que o erro cometido ao aproimar o valor de f() no ponto =. através da parábola obtida na alínea a) é inferior a 5 3 (.)3. 9. Considere a função f() = ln(cos ). a) Determine o polinómio de Taylor de o grau que aproima f() para pontos próimos de. P () = b) Prove que o erro cometido pela aproimação definida em a) é inferior a para ], π 4 [..3 Complementos sobre estudo de funções Eercícios 4. Calcule o valor de cada uma das seguintes epressões: a) arcsin arcsin( ) π b) arctg arctg ( ) π c) arcsin(sin 5 6 π) π 6 d) cos(arcsin.6).64 e) sin( arcsin.6).96 f) arctg (tg π 7 ) π 7 g) sin(arcsin.3)..3. Calcule dy d : a) y = arcsin + (+) b) y = arctg + 4 c) y = (arcsin ). arcsin + 6 arcsin

8 3. Calcule: a) lim + ( π arctg ) b) lim c) lim + Eercícios 5 arctg arctg cos d) lim arctg 3 e) lim + arcsin sin arcsin() f) lim arcsin(3). 3 Estude as seguintes funções, indicando para cada uma delas o domínio, assimptotas, intervalos de monotonia e etremos, sentido da concavidade e pontos de infleão. Esboce o gráfico de cada uma destas funções.. f() = 3. f() = f() = 4. f() = ln 5. f() = ln 6. f() = + ln( ) 7. f() = e 8. f() = arcsin ( ) + 9. f() = arctg ( ) se arctg. f() = +e. f() = se = + e se. 7

9 Capítulo Primitivação Eercícios 6 Calcule. P e + e ln( + e ). P 3. P e + e arctg e e + e + e 4. P e e arcsin e 5. P cos sin 6. P cos sin ln sin cosec 7. P cossin 3 sin3 + ln 8. P 3 ( + ln )3 9. P. P ( + ln ) arctg ln. ln( + ln ) ( + ln ) 8

10 Eercícios 7 Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:. e e ( ). ln 4 ( ln ) 3. arctg arctg ln( + ) 4. sin ( ) cos + sin 5. ln( + ). arctg + (ln( + ) ) Eercícios 8 Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções:. + 3 arctg. sin(ln) (sin(ln ) cos(ln )) 3. (arcsin ) 4. e +e e ln( + e ) 5. e e. e Eercícios 9 Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções racionais:.. ( 4) 5 4( 4) ln ( ) 3. + ( ) + ln ln ln 3 Eercícios 9

11 . Mostre que a) P arctg = arctg ln( + ) b) P = ln( 4 + ) c) P = a + b 3a (a b) a + b, com a, b R. Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes funções: a) e e b) e sin e cos e c) arcsin 4 d) ln(cos) tg ln cos e) ( 3 ) 3 ln f) 3 ln 3 sin g) ln 3 cos 3 cos + h) arcsin i) + sin cos tg + sec j) + e ln(e + ) e k) + e 4 arctg e l) ln ln m) arcsin arcsin n) (e + ) e + 4e + 4 o) e e ( + ) p) sec tg + ln cos

12 q) ln 3 3 (ln 3 ) r) e e ( ) s) sin cos + 4 sin t) ln( 3 ) 3(ln ) u) arctg arctg ( + ) v) cos(ln ) (cos ln + sin ln ) ) y) w) I) II) ( ) ln 4 3 ln ln ln 4 ln + ( ) ln + 3 3( ln 3 + ) III) e + e 3 3e e + 3 ln e e IV) ln( e + ) e + ln( e + + ) V) e 3 e e (8 4e + 3e ) VI) + + ln VII) ln Determine a função f duas vezes derivável em R + e que verifica as seguintes condições: f () = + e, f () = e f() = e. f() = ln + e + e

13 4. Uma população de bactérias cresce à taa de N (t) = t milhões de bactérias por hora, onde N(t) denota o número de bactérias ao fim de t horas. Se N()=4 (milhões), determine uma epressão para N(t) e calcule a dimensão da população ao fim de horas. N(t) = t ln + 4 ; bactérias. ln 5. Após uma substância estranha ser introduzida no sangue de um dado animal, são produzidos anticorpos à taa f(t) = t t + milhares de anticorpos por minuto. Determine o número de anticorpos no sangue ao fim de 4 minutos, sabendo que no instante t = não há anticorpos. 47 anticorpos

14 Capítulo 3 Cálculo integral 3. Integral definido Eercícios Calcule os seguintes integrais.. d. α d, com α. α π 3 d 8 3 ( 5 ) d 4 cos( π) d 5 d (ln 6 ln) 7. e ln d 3

15 8. +, 49 f() d, com f() = +4, < 9. d ln ln... π π ( + cos) sin d 3 + π e arctg (e ) d e arctg e ln( + e ) + ln π 4 e d. 4 ln5 4 ln(e + 4) + e e + 4 Eercícios. Calcule a área das seguintes regiões: a) {(, y) R :, y } b) Determine a área da região definida pelos gráficos das funções f() = cos e g() = π no intervalo [, π]. + π 4 c) {(, y) R :, y arccos} π d) {(, y) R : + y, y 4} 44 3 e) {(, y) R : sin y e, π}. e π 5 f) Determine a área da região definida por {(, y) : cos y +, π}. π + π. Calcule a área da região contida no semi-plano e delimitada pelas curvas y =, = y e y = 4. 4

16 Calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas y = sin e y = cos e pelas rectas = e = π Considere a região A = {(, y) : y y }. Determine o número real K tal que a recta y = K divida A em duas regiões de área igual. K = 3 4 Eercícios 3. Um insecto voa (num período limitado de tempo) com a velocidade v(t) = +8t t metros por segundo. a) Trace o gráfico de v(t) e identifique geometricamente a distância percorrida pelo insecto durante os primeiros cinco segundos. b) Calcule essa distância m. A taa de variação diária da quantidade de água numa planta (em gramas por hora) é dada por V (t) =.4667t(4 t)+4, em que t é o tempo em horas ( t 4). Será que ao fim do dia a planta perdeu ou ganhou água? Perdeu ( g de água em relação ao instante inicial). 5

17 3. O perfil de um dado solo revelou que a concentração de azoto (em g/m 3 ) é dada por y = , em que [, ] é a profundidade do solo (em m). Calcule a concentração média de azoto no solo. 5.3 g/m 3 4. A população P (em milhões de pessoas) de um dado país é dada por P = 67.38(.6) t, em que t é o tempo em anos desde 98. Qual é a população média entre 98 e 99? milhões 5. Suponha que X mede o tempo (em horas) que um estudante demora a concluir uma prova de eame cuja duração é de duas horas, e que a função densidade de X é f() = 3, [, ]. 4 a) Qual é a probabilidade de um estudante demorar entre.5 h e h a fazer o eame?.684 b) Determine a tal que do problema. a f() d =.5. Interprete o parâmetro a no conteto a =.688 horas; metade dos alunos concluiem o eame em a =.688 ou menos horas. 6. Seja f() =.e. para, a função densidade do tempo de espera (em minutos) de uma pessoa numa paragem de autocarros. 6

18 a) Qual é a probabilidade de o tempo de espera não eceder 5 min?. b) Qual é a percentagem de pessoas que espera mais de / h? 4.98% 7. Uma bola de ferro é atraída por um íman com um força F = 5 N quando a bola está a metros do íman. a) Calcule o trabalho realizado pela força quando a bola sofre um deslocamento de 4 m na mesma direcção e em sentido contrário aos da força, supondo que a bola e o íman se encontravam à distância de m. 5 J b) Calcule a força média aplicada na bola na situação descrita em a) Integral indefinido Eercícios 4. Determine uma epressão para e + e ( ) +, t <. Considere f(t) =, t < 3, 3 t 4 (te t te) dt onde não figure o símbolo do integral.. Represente graficamente a função 7 f(t) dt,

19 com [, 4]. 3. Escreva a função t t dt sem recurso ao símbolo do integral. t t dt = 4. Considere a função F() = , < , (3 sin t) dt. a) Mostre que F é estritamente crescente em R. b) Indique uma equação da recta tangente ao gráfico de F em =. y = 3 e t 5. Considere F() = dt, com >. Estude a monotonia de F e o sentido da t concavidade do gráfico de F em R +. Estritamente crescente e concavidade virada para baio em R + 6. Calcule lim e t dt. e 3 7. Seja T o tempo (em dias) ao fim do qual um animal doente se restabelece depois de ter sido submetido a um tratamento. A função densidade de probabilidade de T é Considere F(t) = f(t) = ce ct com t, e em que c é uma constante positiva. t f() d, t. a) Interprete F no conteto do problema. F(t) é a probabilidade de um animal se restabelecer ao fim de t ou menos dias. b) Determine uma epressão para F em que não figure o símbolo do integral. F(t) = e ct 8

20 c) Calcule a probabilidade de um animal se restabelecer ao fim de dois a quatro dias após o tratamento. e 4c 3.3 Integral impróprio Eercício 5 Prove a Proposição 3.. Eercícios 6 Estude a natureza de cada um dos seguintes integrais impróprios e, em caso de covergência, indique o seu valor e π + 4 d π 4 d divergente 4 ln d ln d divergente ln d ln 4 d divergente e + e d π e sin d cos sin d. ( ) d. divergente 9

21 Eercício 7 Calcule a área da região ilimitada do o quadrante compreendida entre a curva y = e e a sua assintota. Eercício 8 A taa à qual as aves de uma dada região adoecem durante uma epidemia de gripe (em número de aves por dia) é dada por R(t) = te.5t, em que t é medido em dias desde o início da epidemia. Traduza através do integral impróprio o número total de aves atingidas e calcule o seu valor. Eercícios 9 Estude a natureza dos seguintes integrais impróprios. te.5t dt = 4 aves arctg d convergente + 4 e d convergente sin e d divergente d divergente ln d + sin 3 d d ( ) d convergente divergente divergente convergente 9. d. divergente cos Eercícios. Calcule o valor de cada uma das seguintes epressões.

22 a) b) 3 3 d 5 d c) lim e t dt dt d) lim e t e. Calcule a área de cada uma das seguintes regiões. a) {(, y) : y e, y e, y } 4 ln b) {(, y) :, e y } e 3 c) {(, y) : y ( ), y } 3 d) {(, y) : ln y e, y +, e} e e 5 3. Calcule a área da região delimitada pela curva y = 3, pela recta y = e pela recta com declive - e que passa no ponto (-,-) Um industrial de cerâmica pretende fabricar azulejos quadrados com duas cores, azul e amarelo, com o padrão ilustrado na figura ao lado. A região amarela é delimitada pelos gráficos das funções α e α, com α >. Determine α de forma que as duas cores ocupem áreas iguais. α = 3 5. Determine uma epressão para a função ϕ : R R, t se t ϕ() = f(t) dt, com f(t) = e t se t >, onde não figure o símbolo do integral. se ϕ() = e se >

23 6. Considere a função ϕ : R + R, ϕ() = f(t) dt, com f(t) = t+ se t se t > +t a) Determine uma epressão para a função ϕ que não utilize o símbolo do integral. + se < ϕ() = π + arctg se > 4 b) Calcule f(t) dt. + π 4 7. Estude a natureza de cada um dos seguintes integrais impróprios. a) b) e d convergente sin d. convergente + 8. Calcule o valor de cada um dos seguintes integrais impróprios. a) b) ( + ) d 4 e d. 9. Determine β que satisfaz βe 5 d =. β = 5. Considere a função F : R R, e t se t < F() = f(t) dt, com f(t) =. arctg t se t +t a) Calcule F(). e + (π 4 ) e se < b) Determine F (). F () = f() = arctg se + c) Para g() =, identifique (F(g())).. (F(g())) = arctg + 4

24 d) Determine c R tal que. Considere a função f() = a) Calcule f() d = F() + c. 3 se + se > f() d. b) Indique uma epressão para. 3π 3 f(t) dt, com R +, em que não figure o símbolo do integral. 3 se f(t) dt = arctg + π se > 4 c) Calcule f() d. d) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a afirmação eiste um par, R +, com <, tal que π 4 A função f é não negativa e, por isso, Assim, a afirmação é falsa. se <. Considere as funções f() = e F() = se + f(t) dt > f(t) dt. f(t) dt é crescente. f(t) dt, com R. a) Calcule F() e F (). F() = ln + 3 ; F () = b) Indique, justificando, a natureza do integral impróprio divergente f() d. c) Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa a afirmação eiste um par R tal que F( ) = F( ). A função f é contínua e, por isso, F () = f(). Como f é positiva, F é estritamente crescente. Assim, a afirmação é falsa. 3

25 3. Considere a função g() = dt, com R. + t g() g() a) Calcule lim. b) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa =. y = c) Prove que não eiste lim + g(). 4. Considere a função f() = t dt, com R +. a) Determine a epressão analítica de f. + se f() = + 4 se > b) Determine f. f () =, R c) Estude o integral impróprio 5. Considere a função G() = t dt. Divergente e t dt, com R. a) Estude a monotonia e a variação de sinal da função G em R. G é estritamente crescente. G() <, para < e G() >, para >. b) Utilizando a fórmula de MacLaurin, mostre que G() 3 3 +, >. 4