Teste de Aferição de Competências

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1 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Teste de Aferição de Competências Matemática Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf Fa: us.estg@us.edu.cv Universidade de Santiago Ilha de Santiago Cabo Verde Campus da Bolanha Assomada Escola Superior de Turismo Negócios e Administração Tlf Fa: Tarrafal reitoria@us.edu.cv Tlf.: Fa: us.estna@us.edu.cv

2 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Apresentação Pensados com o objectivo de aferir os reais conhecimentos dos alunos que se preparam para iniciar um curso superior, os Testes de Aferição de Competências da Universidade de Santiago, são também uma ferramenta etraordinária para os alunos poderem rever alguns conteúdos e reforçar algumas competências, antes de começarem a sua aventura universitária. A Universidade de Santiago assume uma muito vincada posição social. Acredita firmemente que a nenhum aluno com capacidades para conseguir uma Licenciatura deve ser negada a possibilidade de o fazer. Neste sentido, inicia a campanha Inclusão com Mérito os alunos que obtenham uma média positiva nos Testes de Aferição de Competências realizados terão direito a descontos nas suas propinas, de modo a que possam estudar na Universidade de Santiago concentrando-se nas suas aprendizagens e no seu sucesso académico. Para ajudar os alunos neste desígnio, têm esta sebenta ao seu dispor. Aqui pode-se encontrar, alguns materiais necessários para a preparação da prova de Matemática. Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf Fa: us.estg@us.edu.cv Universidade de Santiago Ilha de Santiago Cabo Verde Campus da Bolanha Assomada Escola Superior de Turismo Negócios e Administração Tlf Fa: Tarrafal reitoria@us.edu.cv Tlf.: Fa: us.estna@us.edu.cv

3 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Conteúdos Programáticos:. Sucessões:.. Sucessões monótonas;.. Sucessões limitadas;.3. Convergência;.4 Determinação de limites;.5 Progressões aritméticas e geométricas;.6 Soma de n termos consecutivos;.7 Levantamento de indeterminações.. Funções Reias de Variável Real(f.r.v.r.).. Domínio, contradomínio e zeros de uma função real de variável real.. Funções polinomiais.3. Funções racionais.4. Função eponencial.5. Função logarítmica.6. Função Trigonométrica.7. Operações com funções.8. Limites e continuidades de funções;.9. Derivada de uma função;.0. Máimos e mínimos de uma função;.. Representação gráfica de funções. Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf Fa: us.estg@us.edu.cv Universidade de Santiago Ilha de Santiago Cabo Verde Campus da Bolanha Assomada Escola Superior de Turismo Negócios e Administração Tlf Fa: Tarrafal reitoria@us.edu.cv Tlf.: Fa: us.estna@us.edu.cv

4 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Objetivos: Definir uma sucessão; Determinar os termos de uma sucessão; Investigar se uma sucessão é monótona; Investigar se uma sucessão é limitada; Determinar a soma de n termos consecutivos Indicar sinal, zeros, monotonia, etremos, paridade, periodicidade de uma f.r.v.r. Esboçar o gráfico de uma f.r.v.r.. Operar com funções. Averiguar da eistência de assimptotas ao gráfico de uma função. Investigar se uma função é contínua num ponto do seu domínio. Definir derivada de uma função num ponto pertencente a um subconjunto do domínio. Interpretar geometricamente o conceito de derivada. Calcular a derivada, usando as regras de derivação. Determinar a tangente ao gráfico de uma função num ponto dado. Estudar o sentido da variação de uma função. Determinar os etremos relativos. Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf Fa: us.estg@us.edu.cv Universidade de Santiago Ilha de Santiago Cabo Verde Campus da Bolanha Assomada Escola Superior de Turismo Negócios e Administração Tlf Fa: Tarrafal reitoria@us.edu.cv Tlf.: Fa: us.estna@us.edu.cv

5 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf Fa: us.estg@us.edu.cv Universidade de Santiago Ilha de Santiago Cabo Verde Campus da Bolanha Assomada Escola Superior de Turismo Negócios e Administração Tlf Fa: Tarrafal reitoria@us.edu.cv Tlf.: Fa: us.estna@us.edu.cv

6 Sucessões (sequências) Definição É toda a função real cujo o domínio é o conjunto dos números naturais ou parte deste. Eemplos:. Considere a sucessão dada por f n = n com n N, as imagens são dadas por: f = = ; f = ; f 3 = 3 ; f 4 = 4, etc. Então a f n é dada por {, ;, ; (3, ); (4; ), }. 3 4 Normalmente as sucessões são representadas escrevendose ordenadamente as suas imagens. Assim a sucessão f(n) é representada por: (,, 3, 4, )

7 Sucessões (sequências) Eemplos:. Consideremos a seguinte sucessão dada pela função f n = n n+. Representação desta sucessão: (, 3, 3 4, ). Escreve a função que define cada uma das seguintes sucessões: a) (,, 3, 4, 5, 6, ); f n = n em que n N b) (-, -3, -5, -7, -9,...); f n = n + em que n N c) (-,, -3, 4, -5, 6,..); f n = ( ) n n em que n N d) (, 3, 9, 7, ) f n = ( 3 )n em que n N 3

8 Progressão Aritmética (PA) Definição Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sucessão em que cada termo (a partir do segundo) é obtido adicionando-se uma constante r ao termo anterior. Essa constante r chamase razão da progressão aritmética. U n = U n + r, (n ) Eemplo: A sucessão (, 7,, 7) é uma progressão aritmética finita de razão 5 pois: u = ; u = + 5 = 7; u 3 = = ; u 4 = + 5 = 7 Termo Geral da PA Tendo em conta a definição da PA, portanto o termo geral de uma PA é dada pela seguinte fórmula: u n = u + (n )r 4

9 Progressão Aritmética (PA) Propriedades de uma PA. Qualquer termo de uma PA (a partir do segundo) é obtida pela média aritmética entre o anterior e o posterior. u n = u n + u n+ Eemplo: Na PA (,5,8,,4) temos que u 4 = u 3+u 5 = =. Termo médio: Se ocorrer que uma PA tenha número de termos ímpar, eistirá um termo central que será a média aritmética dos etremos desta PA. T m = u + u n Eemplo: Na PA (,4,7,0,3,6,9) tem 7 termos e o termo central é 0 logo: + 9 T m = = 0 = 0 5

10 Progressão Aritmética (PA) Soma dos Termos de uma PA finita A soma de n termo de uma PA é dada pela seguinte fórmula: S n = u + u n. n Eemplo: Determine a soma dos 5 primeiros termos de uma sucessão com os seguintes termos: (,5,8,,4) Progressão Geométrica (PG) Diz-se que uma sucessão é uma Progressão Geométrica (PG) se os termos da sucessão são definidos (ecepto o primeiro) utilizando a constante r, chamada de razão. O termo seguinte da PG. é o termo actual multiplicado por r, ou seja: U n+ = U n. r Eemplo: A sucessão (,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56, 5,...) é uma progressão geométrica de razão. Nota: A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, fracções, ecepto o zero). 6

11 Progressão Geométrica (PG) Termo geral da PG u n = u. r n Eemplo: Vamos considerar que temos uma PG de razão e o primeiro termo da progressão é 5. Qual será o termo de ordem? Resolução: r= e u = 5 u = u. r u = 5. = 040 Classificações das PG s de acordo com o valor da razão: Se r < 0, dizemos que a Progressão alterna E: (3,-6,,-4,48,-96,9,-384,768,...), onde a razão é -. Se r >, dizemos que a Progressão é Crescente; E: (, 3, 9, 7, 8,...), onde a razão é 3. Se r=, logo u n = u, dizemos que a PG é constante; E: (4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,...) onde a razão é. Se 0 < r <, dizemos que a Progressão é Decrescente. E: (64, 3, 6, 8, 4,,,,,,,,,, ) razão = /

12 Progressão Geométrica (PG) Soma de n termos de uma PG S n = u ( r n ) r Quando n é infinito temos a seguinte formula para soma de todos os termos: lim S n = lim ( u ( r n ) ) = u n + n + r r Nota: A soma de todos os termos só é possível se < r < 8

13 Progressão Geométrica (PG) e Progressão Aritmética (PA) Eercícios: Determine os termos Gerais das seguinte sucessões: ) ; ; 3; 4; ) ; 3; 5; 7; 3) 3; 3 ; 3 4 ; 3 8 ; 4) ; 8; 7; 64; 5) 3 ; 8 ; 3 ; 8 ; ) ; 5 3 ; ; ; 3 6 7) ; ; ; ; 3 4 8) ; 5 ; 8 ; ; ) ; 7 ; 0 ; 3 ; ) ; ; 6 ; 4 ; 0 ;

14 Sucessões Monótonas Definição Dizemos que uma Sucessão é Monótona se for sempre crescente ou sempre decrescente. Sucessão Crescente Uma sucessão de termo geral u n é crescente se: U n+ > U n U n+ U n > 0, n N Sucessão Decrescente Uma sucessão de termo geral u n é decrescente se: U n+ < U n U n+ U n < 0, n N Eemplos:. Prove que a sucessão u n = n+ n+4 é crescente.. Diga se a a sucessão u n = n+ n+ é monótona. 0

15 Convergência de Sucessões Definição Dizemos que uma sucessão converge para um valor fio se à medida que n aumenta, o valor de f(n) se aproima desse valor fio. Eemplos: Na função f n =, com sequência (,,,, ), é fácil n 3 4 perceber que à medida que n cresce a sucessão se aproima de 0. Na função f n = n em que n N, verificamos que à medida que n aumenta, os valores de f(n) não convergem para nenhum valor fio. Diremos que a sucessão f(n) = n, diverge.

16 Convergência de Sucessões Sucessões divergente Diz-se que uma sucessão diverge para mais infinito se à medida que n aumenta os valores de f(n) conseguem superar qualquer valor fiado. Eemplo: f n = n Diz-se que uma sucessão diverge para menos infinito se à medida que n aumenta os valores de f(n) conseguem ficar abaio de qualquer valor fiado. Eemplo: f n = n + Eistem ainda sucessões divergentes que não divergem nem para mais nem para menos infinito. Eemplo: f n = ( ) n n

17 Convergência de Sucessões Observação: Se a sucessão f(n) tiver um limite, dizemos que ela é convergente, e f(n) converge para o limite. Se a sucessão não for convergente ela será divergente. Eemplo: Determine se a sucessão ( 4n ) é converge ou n + divergente. Solução: 4n Queremos determinar se lim eiste: n + n + 4n lim = lim 4n =. Dessa forma a sucessão é n + n + n + n convergente e converge para 3

18 Sucessões Eercícios:. Das sucessões seguintes, quais são convergentes - e para que números convergem - e quais não são convergentes?. Dada as funções Para que valores convergem? 4

19 Capítulo Funções reais de variável real. Conceitos básicos sobre funções Uma função f é uma correspondência que associa a cada elemento de um dado conjunto D um único valor. O elemento designa-se por argumento (ou variável independente) e o elemento por imagem de (ou variável dependente de ). Escreve-se usualmente = f(). D (ou D f ) designa-se por domínio de f. O conjunto das imagens designa-se por contra-domínio ou conjunto imagem de f e denota-se por CD f ou Im f. Chama-se gráfico de f a G f = {(, ) : D f e = f()}. Se D f e CD f são subconjuntos de R, f diz-se uma função real de variável real e o gráfico de f é uma curva em R.

20 São eemplos de funções reais de variável real:. A correspondência f() = +, com R. O gráfico de f é G f = {(, ) : = +} que corresponde à recta de R representada abaio. = + /. A correspondência ln(), com R, >0. O domínio de f é R + e gráfico de f é G f = {(, ) : >0 e = ln }, que corresponde à curva de R representada abaio. = ln 3

21 3. A correspondência g definida pela seguinte tabela, onde D g = {,, 0,, }: g() que pode também ser definida como o conjunto de pares ordenados, {(, 4), (, ), (0, 0), (, ), (, 4)}. 4. A sucessão de números reais, n N n = n. = / A correspondência definida por ramos,, > 0 f() =, 0. cujo o gráfico se encontra representado na figura abaio. 4

22 = = Para uma função real de variável real temos os seguintes conceitos: f diz-se injectiva se para todos os pontos do domínio se tem f( ) f( ). f diz-se crescente se para todos os pontos do domínio < se tem f( ) f( ). f diz-se estritamente crescente se para todos os pontos do domínio < se tem f( ) <f( ). f diz-se decrescente se para todos os pontos do domínio < se tem f( ) f( ). f diz-se estritamente decrescente se para todos os pontos do domínio < se tem f( ) >f( ). f diz-se monótona se é crescente ou decrescente no seu domínio. f diz-se estritamente monótona se é estritamente crescente ou estritamente decrescente no seu domínio 5

23 Uma função estritamente monótona é injectiva mas uma função injectiva não é necessariamente monótona. Ilustramos alguns eemplos na próima figura. A B C D A: f é estritamente decrescente em R logo injectiva em R; B: f é estritamente crescente R logo injectiva em R; C: f é crescente em R mas não estritamente; D: f é injectiva em R mas não é (estritamente) monótona em R. Algumas classes importantes de funções reais de variável real Funções polinomiais f() =a n n + a n n + + a + a 0, de domínio R. 6

24 Função constante (polinómio de grau 0): f() =b (b R) O gráfico de f() =b é a recta horizontal = b. b = b Função linear (polinómio de grau ): f() =m + b (m, b R, m 0) O gráfico de = f() é a recta de declive m que intersecta o eio das ordenadas no ponto (0,b). Se (, ) e ( 0, 0 ) são dois pontos da recta tem-se m = 0 0. b m = b a a = m + b Funções quadráticas (polinómio de grau ): f() =a + b + c (a, b, c R, a 0) 7

25 As raízes (eventualmente compleas) são dadas pela fórmula resolvente = b ±, a onde = b 4ac éobinómio discriminante.. Se > 0 o polinómio admite as duas raízes reais simples, e tem-se α = b + a, β = b, a f() =a( α)( β).. Se = 0 o polinómio admite a raíz real dupla, e tem-se α = b a, f() =a( α). 3. Se < 0 o polinómio não admite raízes reais (polinómio irredutível). Os gráficos de f() são parábolas cuja concavidade está virada para cima (baio) consoante a>0 (a <0). 8

26 a>0, > 0 a>0, = 0 a>0, < 0 a<0, > 0 a<0, = 0 a<0, < 0 Função potência f() = α (α R) Alguns eemplos importantes: f() =, cujo domínio é R \{0}. = 9

27 f() =, cujo domínio é R + 0. = f() = 3, cujo domínio é R. = 3 Função eponencial e função logarítmo Estritamente crescentes no respectivos domínios (R e R + ). = e = ln 0

28 Operações com funções Soma, produto e quociente de funções Define-se soma e produto de f : D R R e g : D R R, respectivamente por: f + g : D R, com (f + g)() =f()+g() para todo o D. f g : D R com (f g)() =f() g() para todo o D. Se g() 0para todo o D, define-se ainda o quociente de f por g, f/g : D R, com (f/g)() =f()/g() para todo o D. Eemplo Consideremos as funções f() = ln e g() = sin. Tem-se:. (f + g)() = sin + ln, para todo o R +.. (f g)() = sin ln, para todo o R (f/g)() = sin ln, para todo o R+ \{}. Composição de funções Consideremos as funções f : D f R R e g : D g R R,

29 Se CD f D g, define-se a composição de g com f, por (g f)() =g(f()), para todo o D f. Esquematicamente, D f f f() Dg g g(f()) = (g f)() R g f Eemplo Se f() =e e g() =, tem-se: (g f)() =g(f()) = e, para todo o R. (f g)() =f(g()) = e, para todo o R + 0. Função inversa Se f é uma função injectiva num intervalo I = D f e J = CD f o respectivo contradomínio, eiste uma função g : J I tal que g(f()) = para todo o I. A função g é única e chama-se inversa de f (em I) que se denota por f. Observações:. (f f)() = para todo o D f. (f f )() = para todo o D f.. Se f : D f CD f então f : D f = CD f CD f = D f. 3. Os gráficos de f e f são simétricos em relação à recta =.

30 Eemplos. A inversa da função linear f() =m + b, com m 0, é a função linear f () = m b m. b b m b m b = m b m = m+ b. Se f() =e então f () = ln, tendo-se e ln = para todo o R + e ln(e )= para todo R. = e = ln 3

31 3. A função f() = definida em R e com contradomínio R + 0, é injectiva (estritamente monótona) nos intervalos [0, + [ e ], 0], tendo-se: f : [0, + [ [0, + [ tem inversa f : [0, + [ [0, + [, definida por f () =. f :], 0] [0, + [ tem inversa f : [0, + [ ], 0], definida por f () =. = = = 4

32 Funções trignométricas e respectivas inversas Relações trignométricas Considere o triângulo rectângulo α a b c Relações trignométricas envolvendo os comprimentos dos lados do triângulo: sin α = c a, cos α = b a, tg α = c b. Valores notáveis : α sin α cos α tg α π π 4 π π 0 Definem-se ainda sec α = cos α = a b, cosec α = sin α = a c, cos α cotg α = sin α = b c. Têm-se as seguintes relações trignométricas fundamentais: sin α + cos α =, tg α + = sec α, cotg α + = cosec α. 5

33 Representação das relações trignométricas no círculo trignométrico: cotg α cosec α sin α α cos α sec α tg α 6

34 Funções seno e arco seno A função seno é uma função periódica em R (de período π) e toma valores em [, ], sendo injectiva nos intervalos da forma [ π + kπ, π ] + kπ com [ k Z. O intervalo standard de invertibilidade é π, π ]. Neste intervalo, sin : [ π, π ] [, ], é estritamente crescente e tem inversa estritamente crescente, arcsin : [, ] [ π, π ], que se designa por arco seno, tendo-se, sin(arcsin ) =, para todo o [, ], arcsin(sin ) =, para todo o [ π, π ]. Representação dos gráficos das funções seno e arco seno. π = arcsin π π π π = sin 7

35 Funções cosseno e arco cosseno A função cosseno é uma função periódica em R (de período π) e toma valores em [, ], sendo injectiva nos intervalos da forma [kπ, (k + )π] com k Z. O intervalo standard de invertibilidade é [0,π]. Neste intervalo, cos : [0,π] [, ], é estritamente decrescente e tem inversa estritamente decrescente, arccos : [, ] [0,π], que se designa por arco cosseno, tendo-se, cos(arccos ) =, para todo o [, ], arccos(cos ) =, para todo o [0,π]. Representação dos gráficos das funções cosseno e arco cosseno. = arccos π π = cos - π 8

36 Funções tangente e arco tangente { π } A função tangente encontra-se definida em R \ + kπ, k Z e toma valores em R. Tem período π, sendo injectiva (estritamente crescente) nos intervalos da forma ] π + kπ, π [ + kπ com k Z. O intervalo standard de ] invertibilidade é π, π [, Neste intervalo, ] tg : π, π [ R, é estritamente crescente e tem inversa estritamente crescente, arctg : R ] π, π [, que se designa por função arco tangente, tendo-se, tg(arctg ) =, para todo o R, arctg(tg ) =, para todo o ] π, π [, Representação dos gráficos das funções tangente e arco tangente. = tg π = arctg 3 π π π π π 3 π π 9

37 . Limites e continuidade Sejam f : D f R R e a R tal que f está definida à esquerda e/ou à direita de a (a não tem que ser necessariamente um ponto de D f ). Diz-se que f converge para b R quando tende para a e escreve-se, lim f() =b, a se os valores de f estão arbitrariamente próimos de b para os pontos de D f que estão suficientemente próimos (e são distintos) de a. Notas: Também se define a noção de limite quando a (ou b) é infinito. Se f apenas está definida à direita [esquerda] de a, escrevemos lim a f() = lim f() =b a + [ ] lim f() = lim f() =b. a a Os limites anteriores designam-se por limites laterais. Quando f está definida à esquerda e à direita do ponto = a, tem-se lim a f() =b lim a a f() = lim f() =b. + Eemplo Consideremos a função f() = definida em ], [ ], + [ e a =. Observando a tabela podemos constatar que os valores de f() se aproimam de à medida que se aproima, f() ND

38 De facto, lim = lim ( )( + ) = lim( + ) =. O gráfico de f() corresponde ao gráfico da função linear = +, com o ponto (, ) removido, pois f não está definida no ponto a =. = Uma função f diz-se contínua em a D f se eiste o limite de f() quando tende para a e o seu valor é igual a f(a), isto é, f contínua em a D f lim a f() =f(a). Notas: As funções polinomiais, potência, eponencial, logarítmo e funções trignométricas e respectivas inversas, são contínuas nos seus domínios. As funções que se podem obter como somas, produtos, quocientes e composições de funções contínuas (ou das suas inversas), ainda são contínuas nos seus domínios. Para estas funções o cálculo do limite num ponto do domínio faz-se substituindo o valor da função nesse ponto.

39 ln( + ) Por eemplo, considerando f() = + ln( + ) lim f() = lim = ln() =0. e a =0 D f, tem-se Se f apenas está definida à direita [esquerda] de a, incluindo o ponto a, f diz-se contínua em a se lim f() =f(a) a + [ ] lim f() =f(a). a Quando f está definida à esquerda e à direita do ponto = a, tem-se Eemplo f contínua em a D f lim f() = lim f() =f(a). a a + Consideremos a função = f() representada no gráfico abaio. a a a 3 a 4 Eiste lim a f() =f(a ) pelo que f é contínua em a. Eiste lim f() pois eistem e são iguais lim f() = lim f(), mas a a a + f não é contínua em a pois lim f() f(a ). a Não eiste lim f() pois lim f() lim f(), pelo que f também a 3 a 3 a + 3 não é contínua em a 3. Eiste lim f() = lim f() =f(a 4 ), pelo que f é contínua em a 4. a 4 a 4

40 Propriedades operatórias dos limites Consideremos funções f : D R e g : D R tais que lim f() =b e lim g() =c, a a onde a, b e c podem ser reais ou ±. Tem-se: lim a (f()+g()) = b + c, lim a (f() g()) = bc, lim a f() g() = b c, admitindo a etensão das operações aritméticas indicada simbolicamente na seguinte tabela, onde k R: k ± = ± + = indeterm. k = (k 0) = 0 indeterm. k = ; k =0 k 0 = ; 0 k = 0 (k 0) 0 0 ; indeterm. Eemplos (. lim + ) 0+ == lim e ( ) 3. lim e sin ==. é uma indeterminação do tipo lim 0 e sin é uma indeterminação do tipo

41 Indeterminações do tipo geradas por funções racionais Considere os polinómios P () = a m m + + a + a 0, Q() = b n n + + b + b 0, de graus m e n, respectivamente. Pondo em evidência os monómios de maior grau no numerador e no denominador, mostra-se facilmente que, P () lim + Q() a m m = lim + b n n = a m bm, m = n, 0, m < n, ±, m > n, onde o sinal do limite quando m > n depende do sinal de a m b n. Temos um resultado do mesmo tipo quando. Eemplos. lim +. lim = = lim + lim + ( + ) ( ) = 3. ( 5+ ) 5 ( ) = lim = lim 4 ( + ) 3 + ( ) = ( + 4 ) lim 5 = lim 3 5 ( 5 5 ) =+. Notas:. As indeterminações do tipo 0 0, 0 ou, ou as indeterminações geradas por outros tipos de funções, serão consideradas posteriormente.. Eistem outros tipos de indeterminações tais como 0 0, 0 e. 4

42 .3 Derivadas Consideremos uma função f :[a, b] R. Chamamos taa de variação média de f em [a, b] à razão, f(b) f(a). b a Geometricamente a taa de variação média corresponde ao declive da secante que une os pontos do gráfico de f, (a, f(a)) e (b, f(b)). f(b) f(a) = f() a b Chamamos taa de variação instantânea ou derivada de f no ponto de abcissa a D f ao limite (quando eiste) lim a f() f(a). a Nesse caso a a função f diz-se derivável em a e denota-se a derivada de f nesse ponto por f (a) ou df d (a). A taa de variação média [instântanea] também se designa por velocidade média [instântanea] ou taa de crescimento média [instântanea], consoante o conteto em que se aplica. 5

43 Dizemos que uma função é derivável (num intervalo) se for derivável em todos os pontos desse intervalo. Tomando h = a concluímos imediatamente que a definição de f (a) também pode ser apresentada como o limite, quando eiste, de lim h 0 f(a + h) f(a), h o que pode ser útil nalguns cálculos. Geometricamente, derivada de f em a corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)), recta essa cujo declive é o limite dos declives das secantes que unem os pontos do gráfico de f, (a, f(a)) e (, f()), quando tende para a. f(b) f() f(a) = f() a b Tem-se que f é derivável em a se e só se admitir recta tangente ao seu gráfico no ponto (a, f(a)). 6

44 Para determinarmos uma equação para esta recta tangente, comecemos por recordar que uma equação da recta com declive m que passa no ponto ( 0, 0 ) é dada por, 0 = m( 0 ). No caso da recta tangente tem-se 0 = a, 0 = f(a) e m = f (a). Portanto uma equação da recta tangente ao gráfico de f em (a, f(a)) é dada por = f(a)+f (a)( a). Eemplos. A taa de variação média de f() = 5 + no intervalo [0, ] é f() f(0) 0 =7. A taa de variação instantânea de f em 0, é f f() f(0) 5 + (0) = lim = lim = lim(5 + ) = A taa de variação instantânea de f em a, i.e., a derivada de f em a, é f (a) = f() f(a) f(a + h) f(a) lim = lim a a h 0 h = 5(a + h) + (a + h) (5a +a) lim h 0 h = 5(a + h +ah) + (a + h) (5a +a) lim h 0 h = 5h + 0ah +h lim h 0 h = lim h 0 (5h + 0a + ) = 0a +. 7

45 . A derivada de f() = no ponto 0é f f( + h) f() () = lim h 0 h = lim h 0 = lim h 0 = lim h 0 +h h (+h) (+h) h h (+h) h = lim h 0 ( + h) =. Para funções definidas por ramos a eistência de derivada tem que ser estudada considerando os limites, f e f(a + h) f(a) (a) = lim h 0 h e f d f(a + h) f(a) (a) = lim. h 0 + h que se designam, respectivamente por, derivada lateral esquerda e derivada lateral direita de f em = a. A eistência de derivada em a é equivalente à eistência e igualdade de derivadas laterais nesse ponto. Eemplos. Consideremos a função, 0, f() = =, < 0. Tem-se f d f(0 + h) f(0) h 0 (0) = lim = lim =, h 0 + h h 0 + h 8

46 e f e f(0 + h) f(0) h 0 (0) = lim = lim =. h 0 h h 0 h Como f e (0) f d (0) não eiste derivada de f em 0. =. Consideremos a função,, f() =, <. Tem-se e f d f( + h) f() ((h + ) ) () = lim = lim =, h 0 + h h 0 + h f e f( + h) f() ( + h) (0) = lim = lim h 0 h h 0 h Como f e () = f d () =, eiste f () =. = lim =. h 0 (h+) = f() 9

47 Teorema Se f : D f R é uma função derivável num ponto a D f, f é contínua em a. Notas Se f não é contínua num ponto então não é derivável nesse ponto. Se f é contínua num ponto, f pode ser não derivável nesse ponto, como ocorre por eemplo com a função f() = no ponto =0. Eemplo Consideremos a função e, 0, f() =, < 0. Tem-se lim f() = lim e = + e lim f() = lim 0 0 =0. Como os limites laterais em 0 são distintos, f não é contínua em =0, pelo que também não é derivável nesse ponto. 30

48 = e = Derivadas de algumas funções elementares Usando a definição de derivada e procedendo de modo análogo ao que fizémos para a função f() = podemos determinar epressões para as derivadas das funções elementares mais conhecidas, que se resumem na seguinte tabela. f() f () k 0 α e ln sin cos tg arcsin arccos arctg α α e cos - sin sec + 3

49 Regras de derivação Teorema Sejam f, g : D R funções deriváveis. São válidas as seguintes propriedades. (Derivada da soma) f + g : D R é derivável, tendo-se (f + g) () =f ()+g (), D. (Derivada do produto) fg : D R é derivável, tendo-se (fg) () =f ()g()+f()g (), D. Em particular, se k R, kf é derivável tendo-se (kf) = kf. (Derivada do quociente) Se além disso g() 0para todo o D, então f g : D R é derivável, tendo-se ( ) f () = f ()g() f()g () g g, D. () Eemplos. (ln + sin ) = (ln ) + (sin ) = + cos.. (ln sin ) = (ln ) sin + ln (sin ) = sin 3. (4 sin ) = 4(sin ) = 4 cos. + ln cos. 4. ( ) ln = (ln ) sin ln (sin ) sin sin = sin ln cos sin. 5. ( ln 4 ) = 4 (ln ) = 4 ln. 3

50 Teorema (Derivada da função composta) Sejam f : D f R e g : D g R funções deriváveis tais que CD f D g. Então g f : D f R é derivável, tendo-se (g f) () = (g(f())) = g (f())f (), D f. Eemplos. Seja f() = e g() =e. Então (g f)() =e, tendo-se, ( e ) = e () =e.. Seja f() = e g() = sin. Então (g f)() = sin( ), tendo-se, ( sin( ) ) = sin ( )( ) = cos( ). 3. Seja f() = sin e g() =. Então (g f)() = (sin ), tendo-se, ( sin ) = sin (sin ) = sin cos. Usando a regra de derivação da função composta e a tabela de derivadas de funções elementares dada anteriormente, obtemos a seguinte tabela, onde f denota uma função derivável que pode entrar na composição: 33

51 (f α ) = αf α f (α R) (e f ) = e f f (ln f) = f f (sin f) = cos(f) f (cos f) = sin(f) f (tg f) = sec (f) f (arcsin f) = f f f (arccos f) = f (arctg f) = f +f Aproimação linear a uma função Seja f : D R uma função derivável em a D. Recordemos que uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é = f (a)( a)+f(a). À função linear L() =f (a)( a)+f(a), chama-se a linearização de f em a e corresponde à melhor aproimação linear de f na vizinhança do ponto = a. 34

52 Eemplo Consideremos a função f() = e a R. Tem-se f () = pelo que uma equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) é = f(a)+f (a)( a) = a +a( a). A aproimação linear de f na vizinhança de a é dada pela função L() =a +a( a). Para = a + h perto de a, isto é, para valores pequenos de h, tem-se f(a + h) = (a + h) = a +ah + h L() =a +ah. O erro da aproimação anterior é f(a + h) L(a + h) = h. Se a, h > 0, podemos interpretar geometricamente f(a + h) e L(a + h) como as áreas das regiões representadas (a azul) na figura abaio. ah h ah h a ha a ha O erro da aproimação corresponde à área do quadrado de lado h que falta na segunda região. 35

53 .4 Regra de Cauch O seguinte resultado permite levantar uma grande família de indeterminações do tipo 0 0 e. Teorema (Regra de Cauch) Sejam f e g duas funções deriváveis num intervalo I aberto, a etremidade de I (a R, a =+ ou a = ). Suponhamos ainda que g () 0, para todo o I e que (i) lim a f() = lim a g() = 0 (ou ), f () (ii) eiste lim a g =0(finito ou infinito). () Então, f() lim a g() = lim f () a g (). Eemplos. lim 0 cos. lim 0 cos e 3. lim lim + = lim + ln 0 0 sin = lim = = lim 0 sin e 3 e = lim cos = lim = 0. e = lim + 6 =+. = lim + = lim + =+. Para além das indeterminações do tipo 0 0 e, indeterminações de outros tipos podem também ser levantadas pela regra de Cauch, transformando-as em indeterminações do tipo 0 0 ou. 36

54 Indeterminações do tipo 0 As indeterminações do tipo 0 são geradas pelo produto de duas funções f e g, em que uma converge para 0 e a outra para infinito. Estas indeterminações podem ser transformadas em indeterminações do tipo 0 0 ou considerando, respectivamente, f g = f g ou f g = g. f Eemplos 0 ln. lim ln == lim lim e 0 == lim 0 3. lim tg ln == lim lim 0 + sin e ln cos sin = lim 0 + = lim + = lim 0 + = lim 0 + =0. e = sin cos = lim = sin cos sin = lim 0 + sin = Indeterminações do tipo Estas indeterminações podem frequentemente serem transformadas em indeterminações do tipo 0 0 ou, efectuando uma das seguintes operações:. Reduzir a epressão ao mesmo denominador;. Pôr em evidência uma das parcelas da epressão; 3. Multiplicar e dividir pelo conjugado da epressão. 37

55 Eemplos. lim (sec tg ) π + lim π + cos sin = 0. == lim π +. lim ( ln ) == lim + + (C.A.: ln lim + = lim + =0.) ( cos sin ) cos ( ln ) =+. sin = lim π + cos ( ) ( + )( + + ) 3. lim + = lim = lim = = Notas No levantamento de indeterminações do tipo 0, não é indiferente (em geral) a escolha da função que se passa para o denominador. Por eemplo, a escolha da função a passar para o denominador no limite 0 lim ln == lim ln 0 0 = lim 0 + ln = lim 0 + ln, não simplificou o cálculo desse limite. Eistem outros tipos de indeterminações, tais como 0 0, 0 e, que podem também ser transformadas num dos tipos 0 0 ou. Um eemplo importante de um limite do tipo é ( lim + = e. + ) Estas indeterminações não serão consideradas no âmbito deste curso. 38