Integrais indefinidas

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1 Integrais indefinidas que: Sendo f() e F() definidas em um intervalo I R, para todo I, dizemos F é uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F () = f() F() = é uma antiderivada (primitiv de f() =, pois F () =. F() = + 7 é uma antiderivada (primitiv de f() =, pois F () =. F() = + ½ é uma antiderivada (primitiv de f() =, pois F () =. F() = é uma antiderivada (primitiv de f() =, pois F () =. F() = e é uma antiderivada (primitiv de f() = e, pois F () = e. Observação: Se F é antiderivada de f em I, e c é uma constante, então F + c também é uma antiderivada de f em I. De fato, se F () = f(), para todo I, então [F() + c] = F () = f(), e portanto F() + c também é uma antiderivada de f() em I. Assim, por eemplo =, + 7, + ½, são primitivas de f() =. Proposição : Seja F() uma função primitiva da função f() e c uma constante qualquer. A função G() = F() + c também é uma primitiva de f(). Proposição : Se f () se anula em todos os pontos de um intervalo I, então f() é constante em I. Proposição : Se F() e G() são antiderivadas (primitivas) de uma função contínua f, então eiste uma constante c tal que G() = F() + c, para todo I. Definição : (Integral Indefinid Se F() é uma primitiva de f(), a epressão F()+c é chamada de integral indefinida da função f() e é denotada por: A ligação que eiste entre derivadas e integrais permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim, obtém-se as chamadas integrais imediatas.

2 Integrais Imediatas. du u c 5. cosec u du cotg u c.. n n u u du c, n n du ln u c u du u 6. arc tg c u a a a du u a 7. ln a u a u a c u u a 4. a du c, a 0, a ln a 8. du ln u u a c u a 5. u u e du e c 6. sen u du cos u c 7. cos u du sen u c 8. tg u du ln sec u c 9. cotg u du ln sen u c 0. sec u du ln sec u tg u c. cosec u du ln cosec u cotg u c. sec u tg u du sec u c. cosec u cotg u du cosec u c 4. sec u du tg u c du u arc sec u u a a a du a a u ln u a u a u du c u arc sen c, u a c a u a. senh u du cosh u c. cosh u du senh u c sec h u du tgh u c cosech u du cotgh u c 6. cosech u cotgh u du cosech u c 7. sech u tgh u du sech u c Propriedades da integral indefinida Sejam f, g: IR e c 0 uma constante. Então: a. cf ( ) c f ( ) b. f ( ) g( ) f ( ) g( )

3 5 f) cos ( ) 7 g) cos sec t t tg t dt e h) sec ( ) cossec( ) d) e) 4 4 i) cot g( ) sen ( ) sen( ) j) cot 4 tg t g t dt k) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taa de 4+5t / habitantes por mês. Se a população atual é habitantes, qual será a população daqui a 8 meses? l) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóido de carbono no ar estará aumentando a razão de 0,t + 0, partes por milhão por ano. Se o índice atual de monóido de carbono no ar é de,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a anos?

4 Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração Utilizando regras de integração, é possível encontrar a primitiva de algumas funções. Entretanto, o que acontece quando temos que encontrar a primitiva de funções do tipo: Método da substituição (Mudança de variável): Seja F() uma primitiva de f() em um intervalo I e g uma função derivável tal que Fog esteja definida. Usando a Regra da Cadeia, temos: (F(g())) = F (g()).g () = f(g()).g (). Logo, F(g()) é uma primitiva de f(g()).g (). Então: ( ) [ ] ( ) Fazendo u=g() tem-se du=g () temos: ( ) [ ] t e f) dt t cos ( e ) 5 7 g) sen( 7) 7 ( ) h) sen( ) d) i) sen ( ) cos( ) e) (ln ) j) ( sec ( ))

5 k) 5 m) 6 l) t t dt 4 n) OBS: Utilizando a Regra da Substituição é possível obter a integral imediata de algumas funções trigonométricas. tg sec cotg d) cosec Eercícios: 4 cos f) 5 sen cos d) e) ln sec tg cos(ln ) sen 5 7 g) h) i) ( ) ( ) sen tg tg sec j) sec(5 )

6 Método da Integração por Partes A integração por partes corresponde a regra do produto para a derivação. Sejam f() e g() funções deriváveis no intervalo I R. Então, para cada em I, temos: [f() g ()] = f () g () + g()f () f () g () = [f() g()] - g() f () Integrando ambos os lados desta equação: f g f g g f f g f g g f Sendo: u = f() du = f () dv = g () v = g() podemos escrever a formula da integração por partes, epressa por: ln ln sen d) e Uma estratégia para integrar por partes Ao integrar f g, devemos sempre escolher, dentre as duas funções da epressão f()g(), uma delas como sendo o fator u e a outra como parte de uma diferencial dv. Esta escolha deve ser feita de modo que ao passarmos da

7 integral udv para a integral vdu, passemos a uma integral mais simples de ser calculada. Uma sugestão que funciona bem na grande maioria das vezes é escolher as funções u e dv segundo o critério: ( Publicado como uma pequena nota em uma edição antiga da revista American Mathematical Monthly ) L I A T E Logarítmicas Inversas de trigonométricas Algébricas elementares Trigonométricas eponenciais Estratégia: Escolher entre as duas funções como: função u: a função cuja letra inicial de caracterização posiciona-se mais à esquerda no anagrama; diferencial dv: a função cuja letra inicial de caracterização posiciona-se mais à direita no anagrama. Resumindo: u deve caracterizar-se pela letra mais próima de L, e dv pela letra mais próima de E. Eemplos t ln t dt d) e sen sen 4 e) sen (ln ) t t e dt

8 Integração de algumas funções envolvendo funções trigonométricas Algumas identidades trigonométricas serão utilizadas para integrar certas combinações de funções trigonométricas. Integrais da forma m sen e cos n com m e n inteiros não negativos Identidades trigonométricas utilizadas: sen () + cos () = (identidade trigonométric (ângulo-metade) (ângulo-metade) Para potências de seno e cosseno ímpares, fazemos: n m m sen sen sen n cos cos cos Em seguida, utiliza-se a identidade trigonométrica sen () + cos () = para chegar a uma fórmula fácil de integrar. Se as potências de seno e cosseno são pares, utilizamos as identidades dos ângulos-metades. Algumas vezes pode ser útil utilizar a identidade. m n Para nas integrais da forma sen cos com m e n inteiros não negativos, quando pelo menos um dos epoentes é ímpar, usamos a identidade trigonométrica e, quando os dois epoentes são pares, usamos as identidades dos ângulos-metade. Algumas vezes pode ser útil utilizar. a. 5 cos d. 4 cos ( ) sen b. sen 4 ( ) e. 4 sen ( )cos ( ) c. sen d f. 4 4 sen ( )cos ( )

9 Integrais da forma m tg e cotg n com m e n inteiros não negativos Identidades trigonométricas utilizadas: tg () = sec () cotg () = cossec () - Os artifícios utilizados consistem em: m m m tg tg tg tg (sec ) n n n cotg cotg cotg cotg (cos sec ) tg 4 cotg Integrais da forma sec m e cossec n com m e n inteiros não negativos Quando m e n forem números pares, os artifícios utilizados consistem em: n m m sec m (sec ) sec ( tg ) sec n cossec n (cossec ) cossec (cotg ) cossec Quando m e n forem ímpares, utiliza-se o método da integração por partes. 6 cossec sec

10 Integrais da forma negativos m n m n tg sec e cotg cossec com m e n inteiros não Quando m for ímpar e n for par, podemos preparar o integrando e aplicar o método da substituição. Quando m for par e n for ímpar, a integral deve ser resolvida por integração por partes. tg sec 6 4 tg sec tg sec 5 7 Integração de funções envolvendo seno e cosseno de arcos diferentes Para a resolução dessas integrais, as seguintes identidades trigonométricas serão utilizadas: sen(cos( = ½ [sen(a+ + sen(a-] sen(sen( = ½ [cos(a- - cos(a+] cos(cos( = ½ [cos(a+ + cos(a-] sen 4 cos cos5 cos

11 Integração de funções racionais por frações parciais Uma função racional f() é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja,, em que p() e q()são polinômios e q() 0.,, Para calcular a integral de qualquer função racional, escrevemos a função como uma soma de frações mais simples. Proposição: Se q() é um polinômio com coeficientes reais, então q() pode ser epresso como o produto de fatores lineares e/ou quadráticos, todos com coeficientes reais. Para a decomposição da função racional em funções mais simples, o coeficiente do termo de mais alto grau do polinômio q() =. Se isso não ocorrer, dividimos p() e q() por esse coeficiente. Além disso, é possível epressar f()como uma soma de frações mais simples desde que o grau de p() seja menor que o grau de q() (função racional própri. Se o grau de p() for maior que o grau de q(), dividimos p() por q() até que o resto r() tenha grau menor que o grau de q(). Situações que podem ocorrer: Caso : O denominador q()é um produto de fatores lineares distintos. q() = ( + a)( +... ( + an) em que nenhum fator é repetido (e nenhum fator é múltiplo constante do outro). Nesse caso, eistem constantes A, A,..., An tais que:

12 a. b. 4 c. 6 6 ( )( )( ) Caso : O denominador q()é um produto de fatores lineares sendo que alguns deles se repetem Se na decomposição de q() há fatores da forma ( ai ) r, r, a cada um desses fatores corresponderá uma soma de frações da forma: Caso : Os fatores de q() são quadráticos irredutíveis que não se repetem. Se q() tiver um fator a + b + c, em que b 4ac < 0, então, a cada fator quadrático corresponderá uma fração parcial da forma: 5 ( )( ) d) 54

13 Caso 4: Os fatores de q() são quadráticos irredutíveis e se repetem. Se q() tiver um fator (a + b + r, em que b 4ac < 0 e r, então, a cada um desses fatores corresponderá uma soma de frações parciais da forma: ( ) 5 7 ( ) Integração de funções racionais de seno e cosseno Se na integral o integrando for uma função racional de sen() e cos(), podemos reduzir a integral a uma função racional de uma nova variável t fazendo a substituição:, < < Para obter as fórmulas de sen() e cos() em termos de t, usamos as identidades: sen(y) = sen y cos y cos(y) = cos y Fazendo, temos: Logo,

14 Logo, Como ( ) sen cos 5cos

15 Integração por substituição trigonométrica As substituições trigonométricas são substituições empregadas em integrais envolvendo uma das epressões, e, nas quais a variável é substituída (correspondentemente) por uma das funções asen, atg e asec. Quando a função integrando envolve, fazemos. Assim, = a sen e = a cos d. Supondo que : a a a sen θ a ( sen θ) a cos θ acosθ Quando a função integrando envolve, fazemos ou. Assim, = a sec e = a sec tg d. Supondo que ou : a a sec θ a a (sec θ ) a tgθ a tgθ OBS: Em ambos os casos, a raiz quadrada da diferença de quadrados é um cateto. Quando a função integrando envolve, fazemos. Neste caso, = a tg e = a sec d. Supondo tal que : a a a tg θ a ( tg θ) a sec θ asecθ 9 4