Lista de exercícios sobre integrais

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1 Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral A Lista de exercícios sobre integrais Questão : Em nossa disciplina de Cálculo, estudamos a derivada desde sua definição formal, até as regras de derivação. O foco era calcular a derivada de uma dada função. Agora vamos percorrer o caminho contrário: dada a derivada, encontrar a própria função. Definição: Uma função F (x) é uma antiderivada ou primitiva de f(x) em (a, b) se F (x) = f(x) para cada x (a, b). Exemplos: F (x) = sen x é uma antiderivada de f(x) = cos x, pois (sen x) = cos x. F (x) = 3 x3 é uma antiderivada de f(x) = x, pois ( 3 x3 ) = x. Observe que F (x) = 3 x3 +, F (x) = 3 x3 7 e F (x) = 3 x também são antiderivadas de f(x) = x. Em geral, qualquer função F (x) = 3 x3 + C, para qualquer constante C, é uma primitiva para f(x) = x. Note que este fato é válido para quaisquer funções F (x) e f(x), ou seja, se F (x) é uma antiderivada de f(x), então F (x) + C também é uma antiderivada de f(x). A notação f(x) = F (x) + C significa que F (x) = f(x). Dizemos que F (x) + C é a integral indefinida de f(x). Com base no exposto, resolva as integrais indefinidas abaixo: a) x h) (3x 4 5x + 4 sen x) b) x i) (3 cos x sen x) c) e x x n cos x + 7 sen x + 0x 3, n j) 5 d) x x x + 0x 3 k) x e) sen x l) x + f) e x g) (x + x )

2 Questão : O processo de integração não é tão simples quanto o de derivação. Porém, há algumas ideias e técnicas que são facilmente aplicáveis, como a aplicação das propriedades de integração já vistas no exercício anterior. Uma outra técnica muito importante de integração é a Regra da Substituição Simples. Esta regra consiste na aplicação da Regra da Cadeia (para derivadas!) ao contrário. Exemplo: d sen (x ) = x cos(x ) x cos(x ) = sin (x ) + C Veja que, no integrando, temos uma função de fora, cos x, e uma função de dentro, x, e que há um produto entre a funcão de fora e a derivada da função de dentro. Essa expressão caracteriza, exatamente, uma derivada de uma função composta calculada pela Regra da Cadeia. Quando encontramos sua primitiva, estamos fazendo o processo contrário da Regra da Cadeia. Se chamarmos a função de fora de f(x) e a função de dentro de u(x), podemos escrever a Regra da Substituição Simples como a fórmula seguinte. Se F (x) = f(x), então f(u(x)) u (x) = F (u(x)) + C Apesar de sua ideia ser bastante simples, a aplicação da Regra da Substituição Simples não é tão trivial. Como você faria para calcular (e x + ). Antes de vermos como faremos para aplicar a regra, falaremos um pouco sobre as diferenciais, pois eles podem facilitar a aplicação da Regra da Substituição Simples. Entendemos as diferenciais como os símbolos, dy ou du, que aparecem nas notações de derivadas, du, e de integrais f(x). Nâo é o correto, entretanto podemos tratá-los como símbolos que podem ser manipulados algebricamente, ou seja, podem ser multiplicados, divididos, ou, principalmente, cancelados em algumas operações: du = du, ou, equivalentemente, du = u (x) (lembre-se da notação da derivada du = u (x) e passe o multiplicando ). Exemplo: ) Calcular (3x + )(x 3 + x) 5 Passo : Escolher a função u e calcular du. Uma boa dica é identificar a composição de funções do integrando e escolher para u a função de dentro, neste caso u = x 3 + x. E para calcular du, basta derivar u e acrescentar, assim du = (3x + ). Passo : Reescrever a integral em termos de u e du e calcular.

3 Nesta etapa, basta trocar as expressões em termos de x por expressões em termos de u, de acordo com o passo. Desta forma, (3x + )(x 3 + x) 5 = (x 3 + x) 5 (3x + ) = u 5 du = 6 u6 + C. Passo 3: Expressar a resposta final em termos de x. Aqui, basta destrocar as expressões em termos de u por expressões em termos de x. Fazemos 6 u6 + C = 6 (x3 + x) 6 + C. Com base no exposto, resolva as integrais indefinidas abaixo: a) (3x ) 0 h) e 3x b) xe x i) e ax c) x+ j) x d) sen(x) k) ln x x e) sen (ax) l) x 3 x + f) (x + )(x + x ) 000 m) x 5 x + g) arctg x x + n) x x + Questão 3: Calcule as integrais indefinidas abaixo: (ln x) (a) x sen x (f) (k) sen πt dt x cos t (b) (3x ) 0 (g) dt (l) e tg x sec x t (c) (x + ) x + x (h) cos θ sen 6 x θ dθ (m) 4 x + (d) (i) e x + e 5 3x x (n) x 3 x + sen x cos(π/x) (e) (j) sec 3 x tg x (o) + cos x x Questão 4: (O Problema da Área) Um dos problemas mais antigos da matemática é o problema de 3

4 calcular áreas de figuras planas. Recentemente, após o desenvolvimento da Geometria Analítica,este problema foi tratado da seguinte forma: Considere uma função f(x) positiva definida em um intervalo [a, b]. Como encontrar a área A da região abaixo do gráfico de f e acima do eixo x? Figura : O problema da área. Este problema foi resolvido aproximando a área da figura pela soma de áreas de retângulos como na figura a seguir: Figura : Observe que a soma das áreas dos retângulos é uma aproximação da área abaixo do gráfico de f. Se diminuirmos a base de cada um dos retângulos na Figura, aumentaremos o número de retângulos e consequentemente, obteremos uma melhor aproximação para o problema da área. Como você pode inferir, para a resolução do problema da área passamos por um limite, isto é a área exata deve ser obtida ao fazermos as bases desses retângulos tenderem a zero, denotamos esse limite por b a f(x), caso ele exista, assim A = b a f(x). 4

5 Dizemos ainda que b f(x) é a integral definida de f calculada de a até b e que f é inegrável em a [a, b]. Note a semelhança entre as notações para a integral definida e indefinida. Isso sugere alguma relação entre elas, mesmo que tenham sido definidas a partir de raciocínios tão distintos. Essa ligação entre esses dois tipos de integral será evidenciada a seguir com o Teorema Fundamental do Cálculo. Entretanto, antes de enunciarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, será conveniente estudarmos algumas propriedades da integral definida. Quando definimos a integral definida, levamos em conta uma função f definida em um intervalo [a, b], sendo a < b. Mas e se b fosse menor do que a? E se a e b fossem iguais? Nossa definição não cobre esses casos. Por conveniência iremos definir b a a a f(x) = 0 quando a está no domínio de f e f(x) = a b f(x) quando f for integrável em [a, b] Propriedades da Integral Definida Como as integrais definidas são dadas por um limite, algumas propriedades dos limites são automaticamente verdadeiras para as integrais. Assim, se f for integrável em [a, b], vamos admitir as seguintes propriedades. ) b cf(x) = c b f(x), a constante passa para fora da integral ; a a ) b [f(x) + g(x)] = b f(x) + b a a a g(x), a integral da soma é a soma das integrais; 3) b [f(x) g(x)] = b f(x) b g(x), a integral da diferença é a diferença das integrais a a a Agora, motivados pela interpretação da integral como área, vamos ver uma das propriedades mais importantes da integral definida. Considere a função f integrável em [a, b] e c [a, b]. Certamente, a área sob o gráfico de f e acima do intervalo [a, b] pode ser interpretada como a soma de duas áreas, as áreas sob o gráfico de f e acima dos intervalos [a, c] e [c, b], como ilustra a figura a seguir. Isto Figura 3: Na figura a < c < b. nos leva a estabelecer a seguinte propriedade, enunciada sem prova. 5

6 Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os pontos a, b e c, então b f(x) = c f(x) + b a a c f(x) O Teorema Fundamental do Cálculo Quando estudamos as integrais definida e indefinida, vimos que elas não parecem relacionadas. A integral indefinida vem diretamente das antiderivadas, assim está intrinsecamente relacionada com as derivadas, já a integral definida aparece como a solução do problema da área, uma soma de áreas de retângulos. Foi uma grande descoberta matemática a relação entre as antiderivadas e o problema da área. Creditamos esta descoberta a Newton e Leibniz e por isso eles são chamados de Pais do Cálculo. Teorema (Teorema Fundamental do Cálculo) Se uma função f for contínua em [a, b], então a função F definida por F (x) = x a f(t) dt é uma antiderivada de f em (a, b), isto é F (x) = f(x) em (a, b). Além disso, b a f(x) = F (b) F (a). Exemplo: Temos que F (x) = x3 é uma antiderivada de f(x) = 3 x, então pelo Teorema Fundamental do Cálculo x = F () F () = = 7 3 Com base na exposição, resolva resolva as integrais definidas abaixo. (a) (b) 0 π 0 (u 5 u 3 + u ) du (f) (4 senθ 3 cos θ) dθ (g) 0 0 x ( + x 3 ) 5 e z + e z + z dz (c) π/4 0 + cos θ cos θ dθ (h) e 4 e x ln x (d) (e) 4 (x x ) (i) 5 x (j) 4 0 π/3 0 x + x senθ cos θ dθ 6

7 Questão 5: Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções abaixo: a) F (x) = x t (t 4 +) 9 dt b) F (x) = ln(5+arctan x tπ ) c) F (x) = x (sen φ cos φ) 5 dφ x 3 Questão 6: (Integração por partes) Dada uma integral do tipo f(x).g (x), utilizamos a notação diferencial u = f(x), du = f (x), dv = g (x) e v = g(x), e escrevemos f(x).g (x) = u dv = uv v du = f(x).g(x) g(x).f (x) Exemplo: Considere x cos x, tomando u = x e dv = cos x, teremos du = = e v = sen x, portanto x cos x = u dv = uv v du = xsen x sen x = xsen x ( cos x)+c = xsen x+cos x+c. A grande dificuldade da Integração por Partes é a escolha correta de u e dv. Como identificar corretamente u e dv? E se, no exemplo anterior, tivéssemos escolhido u = cos x e dv = x? Será que teríamos trocado uma integral mais difícil por uma mais fácil? Faça o teste e convença-se que não. Mas como saber qual é a escolha adequada? Essa pergunta não possui uma regra geral como resposta. Temos sempre que ter como objetivo obter uma integral mais fácil de calcular. Se fizemos uma escolha e a integral obtida, não ficar mais fácil, devemos trocar nossa escolha. Usualmente a prática faz com que façamos escolhas melhores já na primeira tentativa, mas há uma dica que pode ser seguida se você ainda não tem muita experiência no cálculo de integrais: siga o acrônimo LIATE. O LIATE pode ser utilizado quando o integrando for um produto de duas funções de categorias distintas da lista Logarítmica, trigonométrica Inversa, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial, e indica uma ordem para a escolha de u, ou seja, escolhemos para u a função do tipo que ocorre antes na lista acima e para dv o restante do integrando. No exemplo anterior x é uma função algébrica e cos x é uma função trigonométrica, se seguirmos o acrônimo LIATE, temos que escolher u = x, pois a função algébrica aparece antes da trigonométrica, exatemente como fizemos no exemplo. Ainda, é importante salientar que essa regra não vale sempre, mas o bastante para ser útil. 7

8 Com base na exposição, resolva resolva as integrais abaixo. (a) e x (f) x 0 x e x (b) θ cos θ dθ (g) arctan z dz (c) (d) e t 9 ln t dt ln x (h) (i) ln y y 3 dy sec 3 x (e) x arctan x Questão 7:(Substituição Trigonométrica) O método da Substituição Trigonométrica é utilizado para resolver integrais que contém expressões do tipo a x, a + x e x a, sendo a é uma constante. Basicamente, para resolver tais problemas, faremos substituições do tipo ( x ( x ( x u = arcsen, u = arctan e u = arcsec, a) a) a) dependendo do radical do integrando. Pela própria definição das substituições indicadas, u sempre representa um ângulo, por isso vamos chamá-lo de θ. Vamos ainda, a fim de tornar a substituição mais efetiva e simples, escrever a substituição de uma maneira diferente da usual, ou seja, vamos fazer x em função de θ. No caso θ = arcsen ( x a), por exemplo, vamos inverter a função arcsen, obtendo x = a sen θ. Porém, quando fazemos essa inversão, temos que ter cuidado, pois a função arcsen x só é inversa de sen x, se π/ x π/. Assim, a substituição descrita só é válida se π/ θ π/. Então, a substituição que faremos será x = asen θ, para π/ θ π/. Para as outras substituições podemos fazer raciocínios semelhantes. Neste texto, vamos focar na resolução de integrais com expressões do tipo a x, que são resolvidas com a substituição x = a senθ, para π/ θ π/. Veja no exemplo a seguir. Exemplo:Calcular a integral (9 x ). Fazemos a substituição x = 3sen θ e = 3 cos θ dθ, para π/ θ π/, obtendo (9 x ) = (9 9sen θ).3 cos θ dθ = 9( sen θ).3 cos θ dθ. 8

9 Usando a identidade trigonométrica fundamental sen θ + cos θ =, obtemos 9( sen θ).3 cos θ dθ = (9 cos θ).3 cos θ dθ. O grande trunfo deste método é a eliminação do radical. Isso pode ser feito pois, no intervalo π/ θ π/, temos que cos θ 0 e portanto cos θ = cos θ. Assim, a integral anterior pode ser escrita como (9 cos θ).3 cos θ dθ = 3 cos θ.3 cos θ dθ = 9 cos θ dθ. Utilizando a identidade trigonométrica cos cos θ θ =, obtemos 9 cos θ dθ = 9 ( cos θ) dθ = 9 ( θ Aplicando a identidade trigonométrica sen θ = sen θ cos θ, temos 9 θ sen θ + C = 9 θ + 9 sin θ cos θ + C. ) sen θ + C. Agora, ainda temos que retornar para a variável x. Na primeira expressão, basta utilizarmos a definição da substituição x = 3sen θ e, partindo daí, escrever θ em função de x, ou seja, θ = arcsen ( x 3). Mais uma vez, note que tal inversão só pode ser feita porque π/ θ π/. Para as expressões trigonométricas envolvendo θ é conveniente desenhar um triângulo retângulo apropriado. Partimos da substituição x = 3sen θ, escrevemos sen θ = x e desenhamos um triângulo retângulo 3 com um ângulo agudo θ e com catetos e hipotenusa que satisfaçam sen θ = x, ou seja, que o cateto 3 oposto a θ seja x e a hipotenusa seja 3. Daí calculamos o outro cateto pelo Teorema de Pitágoras. Veja a figura abaixo. Figura 4: O triângulo retângulo da substituição sen θ = x 3. Com base no triângulo desenhado, podemos calcular qualquer razão trigonométrica do ângulo θ. 9

10 Assim, temos que senθ = x e cos θ = 9 x. Substituindo na resposta obtida em termos de θ, vamos 3 3 obter a resposta em termos de x 9 θ + 9 sin θ cos θ + C = 9 ( x ) arcsen x 3 9 x + C = 9 ( x ) 3 arcsen + 3 x 9 x + C. Observação: Para calcular integrais definidas você pode utilizar qualquer uma das maneira vistas na substituição, ou seja, você pode calcular a integral indefinida primeiro e após, com a primitiva encontrada, aplicar o Teoream Fundamental do Cálculo, ou você pode fazer a substituição diretamente na integral definida, alterando, também, os limites de integração. Com base na exposição, resolva resolva as integrais abaixo. (a) x x 4 + x (c) + x 0 (b) (d) dz x z 3 z 9 Questão 7:(Introdução ao Método das Frações Parciais) Considere a seguinte soma de frações 3 x + 3(x 5) (x + ) = x 5 (x + )(x 5) Como podemos utilizar esse fato para resolver a integral = x 7 x 4x 5. x 7 x 4x 5 pode ser resolvida por nenhum dos métodos vistos anteriormente? Primeiro, como 3 = x 7, temos que x+ x 5 x 4x 5 3 x + x 5 = x 7 x 4x 5 Daí, separando a soma e passando as constantes para fora, temos, que é uma integral que não 3 x + x 5 = 3 ln x+ ln x 5 +C = ln x+ 3 ln(x 5) x + 3 +C = ln (x 5) +C Até aí, muito simples, a integral de uma fração complicada, foi trocada por uma soma de integrais de frações mais simples que puderam ser resolvidas. Mas e se tivermos que resolver a integral 3x + 4 x + x 6 3x+4 e não soubermos nada a respeito da fração? O Método das Frações Parciais consiste em x +x 6 encontrarmos uma soma de frações mas simples equivalentes à fração mais complicada. Cada parcela desta soma mais simples é uma fração parcial da fração mais complicada. 0

11 Em primeiro lugar, é preciso esclarecer que o Método das Frações Parciais só pode ser aplicado em um quociente de polinômios p(x)/q(x) quando o grau do polinômio p(x) for menor do que o grau de q(x). Há alternativas para tratarmos dos demais casos, mas vamos explorá-los depois. Além disso, o Método das Frações Parciais está diretamente relacionado com a fatoração do denominador q(x). Assim, vamos relembrar algumas propriedades de polinômios que devem ter sido estudadas no ensino médio. Teorema Suponha que p(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 é um polinômio com coeficientes reais que possui n raízes reais: x, x,..., x n. Então p(x) pode ser escrito como p(x) = a n (x x )(x x )...(x x n ). A prova deste Teorema não é de nosso interesse em Cálculo, e é feita em um curso de Álgebra. Nos interessa é a aplicação deste teorema para fatorarmos polinômios. Vamos ver alguns exemplos. Exemplos: ) Fatorar p(x) = x + x 6. Utilizando a Fórmula de Bháskara, podemos encontrar as raízes de p(x) que são x = e x = 3. Assim, temos p(x) = (x )(x ( 3)) = (x )(x + 3). ) Fatorar p(x) = x 3 3x + x. Encontrar raízes não é a única maneira de fatorar um polinômio, se temos um fator comum em todos os termos, podemos colocá-lo em evidência. Neste caso, fazemos p(x) = x(x 3x + ). E então, encontramos as raízes de x 3x + pela Fórmula de Bháskara, obtendo x = e x =. Continuando a fatoração de p(x), obtemos p(x) = x(x )(x ). Observe que o fator x corresponde a uma raiz 0, pois x = x 0. 3) Fatorar p(x) = x x +. Neste caso, o discriminante da Fórmula de Bháskara é 0 e então obtemos x = como uma raiz de multiplicidade. A fatoração de p(x) fica p(x) =.(x )(x ) = (x ). Mais geralmente, polinômios de grau n podem ter raízes de multiplicidade no máximo n. Há polinômios que possuem raízes que não são reais. Nesse caso, podem aparecer fatores quadráticos na fatoração do tipo x +, que não pode ser fatorado no conjunto dos números reais, pois suas raízes são i e i.

12 Método das Frações Parciais - o. Caso Considere um quociente de polinômios p(x)/q(x), com grau de p(x) menor que grau de q(x) e que o denominador q(x) possa ser fatorado em um produto de fatores lineares distintos Então p(x)/q(x) pode ser escrito como em que A, A,..., A n são constantes. q(x) = (a x + b )(a x + b )...(a n x + b n ). p(x) q(x) = A + A A n , a x + b a x + b a n x + b n Exemplo Calcular 3x+4 x +x 6. Passo : Fatorar o denominador q(x) e montar as frações parciais de p(x)/q(x). Pela Fórmula de Bháskara temos que as raízes de q(x) são x = e x = 3, assim, q(x) = (x )(x + 3). Daí, temos p(x)/q(x) = A + B. x x+3 Passo : Encontrar o valor das constantes do item anterior. Para isso, efetuamos a soma do item anterior 3x + 4 x + x 6 = p(x) q(x) = A x + B x + 3 = A(x + 3) + B(x ) (x )(x + 3) = Ax + 3A + Bx B. x + x 6 Colocando x em evidência no numerador temos 3x + 4 x + x 6 (A + B)x + (3A B) =. x + x 6 Como os denominadores são iguais, os numeradores também devem ser. Assim 3x + 4 = (A + B)x + (3A B). Igualando os coeficientes obtemos A + B = 3 3A B = 4 que é um sistema linear de duas equações a duas incógnitas. Este sistema pode ser resolvido de inúmeras maneiras. Após resolvê-lo, obtemos A = e B =

13 Ou seja, obtemos que 3x + 4 x + x 6 = x + x + 3. Passo 3: Substituir a fração complicada por uma soma de frações parciais e calcular a integral resultante. 3x + 4 x + x 6 = x + x + 3 = ln x + ln x C = ln (x ) x C. Método das Frações Parciais - o. Caso Considere um quociente de polinômios p(x)/q(x), com grau de p(x) menor que grau de q(x) e que o denominador q(x) possa ser fatorado em um produto de n fatores lineares, onde haja pelo menos um fator (a i x+b i ) que se repita k vezes, ou seja, q(x) = (a x+b )(a x+b )...(a i x+b i ) k... (a m x+b m ), k > e m < n. Então, para cada fator repetido (a i x + b i ) k, escrevemos as frações parciais correspondentes sendo A, A,..., A n constantes. Exemplo: A A + a i x + b i (a i x + b i ) A k (a i x + b i ), k Calcular 5x 3x x 3 x. Passo : Fatorar o denominador q(x) e montar as frações parciais de p(x)/q(x). Neste caso, para fatorar q(x), basta colocar x em evidência, obtendo x (x ). Daí, para montarmos as frações parciais de p(x)/q(x), veja que, agora, há um fator repetido, x, então precisamos usar o o. caso. Para o fator (x-), fazemos como no caso anterior. Com isso obtemos p(x) q(x) = A x + B x + C x. Passo : Encontrar o valor das constantes do item anterior. Para isso, efetuamos a soma do item anterior 5x 3x x 3 x = p(x) q(x) = A x + B x + C x = Ax(x ) + B(x ) + Cx x (x ) = (A + C)x + (B A)x B x 3 x. Como os denominadores são iguais, os numeradores também devem ser. Assim 5x 3x = (A + C)x + (B A)x B. Igualando os coeficientes obtemos 3

14 A+ C = 5 A+ B = 3 B = que é um sistema linear de três equações a três incógnitas. Este sistema pode ser resolvido de inúmeras maneiras. Após resolvê-lo, obtemos A = e B = e C = 3 Ou seja, obtemos que 5x 3x = x 3 x x + x + 3 x. Passo 3: Substituir a fração complicada por uma soma de frações parciais e calcular a integral resultante. 5x 3x = x 3 x x + x + 3 x = ln x x + 3 ln x + C. Método das Frações Parciais - 3 o. Caso Considere um quociente de polinômios p(x)/q(x), com grau de p(x) menor que grau de q(x) e que o denominador q(x) em sua fatoração possua um polinômio do o grau irredutível (sem raízes reais). Seja q(x) = (a x + b )(a x + b )...(a n x + b n )(a n x + b n x + c), tal fatoração, em que (a n x + b n x + c) é um polinômio do o grau irredutível. Então p(x)/q(x) pode ser escrito como p(x) q(x) = A a x + b + A a x + b em que A, A,..., A n, B, C são constantes. A n a n x + b n + Bx + C a n x + b n x + c, Exemplo Calcular x x 3 +x. Passo : Fatorar o denominador q(x) e montar as frações parciais de p(x)/q(x). Neste caso, para fatorar q(x), basta colocar x em evidência, obtendo x(x + ), sendo x + irredutível. Daí, para montarmos as frações parciais de p(x)/q(x), então precisamos usar o 3 o. caso. Para o fator x, fazemos como no o caso. Com isso obtemos p(x) q(x) = A x + Bx + C x + 4

15 Passo : Encontrar o valor das constantes do item anterior. Para isso, efetuamos a soma do item anterior x x 3 + x = p(x) q(x) = A x + Bx + C x + = A(x + ) + (Bx + C)x x(x + ) = (A + B)x + Cx + A. x 3 + x Como os denominadores são iguais, os numeradores também devem ser. Assim x = (A + B)x + Cx + A. Igualando os coeficientes obtemos A+ B = 0 C = A = que é um sistema linear de três equações a três incógnitas. Este sistema pode ser resolvido de inúmeras maneiras. Após resolvê-lo, obtemos A = e B = e C = Ou seja, obtemos que x x 3 + x = x + x + x + Passo 3: Substituir a fração complicada por uma soma de frações parciais e calcular a integral resultante. x = x 3 + x x + x x + + x + = ln x + ln(x + ) + arctan x + C. Método das Frações Parciais - 4 o. Caso Considere um quociente de polinômios p(x)/q(x), com grau de p(x) menor que grau de q(x) e que o denominador q(x) possa ser fatorado em um produto de n fatores lineares ou de grau dois, onde haja pelo menos um fator (a i x + b i x + c i ) que se repita k vezes. Então, para cada fator repetido (a i x + b i x + c i ) k, escrevemos as frações parciais correspondentes A + B x A + B x + a i x + b i x + c i (a i x + b i x + c i ) A k + B k x (a i x + b i x + c i ), k sendo A, A,..., A n, B, B,..., B n constantes. Exemplo: Pelos o e 4 o métodos x 4 + x (x + ) = A x + B x + Dx + E x + + F x + G (x + ), repetindo os 3 passos dos exemplos anteriores, obtemos A = C = D = E = F = 0, B = e G =. Logo x 4 + x (x + ) = x (x + ). 5

16 Com base na exposição, resolva resolva as integrais abaixo. (a) x 9 (f) x 4 x 3x 0 x 4 (b) x (g) t t (t ) (c) 4z 7z z 3 +z 6z dz (h) x 3 (d) x 4 x (i) e x (e x )(e x +) (e) x x 3 +x 6