Integrais. ( e 12/ )

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1 Integrais ( e 12/ )

2 Já estudámos a determinação da derivada de uma função. Revertamos agora o processo de derivação, isto é, suponhamos que nos é dada uma função F e que pretendemos determinar a função f cuja derivada é F. O processo que consiste em determinar a função f, dada F, designa-se por primitivação.

3 Vejamos o seguinte exemplo. Seja F(x) = 2x. Pretendemos determinar f(x) tal que f (x) = 2x. Uma função f que satisfaz esta condição é f(x) = x 2, pois (x 2 ) = 2x. Mas a função f(x) = x também satisfaz esta condição, pois (x 2 + 2) = 2x. Somente as funções f(x) = x 2 + C, com C uma constante, satisfazem a condição F(x) = 2x. Assim, dizemos que a primitiva geral de F(x) = 2x é f(x) = x 2 + C, onde C é uma constante arbitrária.

4 O processo de determinar uma primitiva de uma função é também denominado integração. A função resultante da integração é designada por integral indefinida ou simplesmente integral. Denotamos a primitiva geral (ou a integral indefinida) de uma função f(x) por f(x) dx Escreve-se 2x dx para indicar a primitiva geral da função f(x) = 2x e lê-se a integral de 2x em relação a x. 2x integrando sinal de integral (indica o processo de integração) dx indica que a integral é tomada em relação a x.

5 Potências de x x n dx = xn+1 + C ( para n 1) n + 1 De facto, ( xn+1 n C) = ( xn+1 n + 1 ) + (C) = 1 n + 1 (n + 1)x(n+1) = x n Exemplos x 4 dx = x C = x5 5 + C x 1 x dx = C = x 2 3 x dx = x 1 x dx = C = x + C = 3x C C = 2x C

6 Constante a a dx = ax + C De facto, (ax + C) = (ax) + (C) = a + 0 = a Exemplos 1 dx = 1x + C = x + C 2 dx = 2x + C 2 3 dx = 2 3 x + C

7 Constante a vezes uma função f af(x) dx = a f(x) dx De facto, (a f(x) dx) = a( f(x) dx) = af(x) Exemplos 3x 4 dx = x2 dx = 1 2 x 4 dx = 3[ x = 1 2.x3 3 + C 1 = x3 6 + C 1 + C] = 3.x C = 3.x5 5 + C 1 x 2 dx = 1 x2+1.[ C] = 1 2.x3 3 C 2

8 Soma de funções f e g (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx De facto, ( f(x) dx + g(x) dx) = ( f(x) dx) + ( g(x) dx) = f(x) + g(x) Exemplos (x 3 +4) dx = x 3 dx+ 4 dx = x C 1+4x+C 2 = x4 4 +4x+C 3 (2x x 1) dx = 2x 1 4 dx + 5x dx + 1 dx = 2 x 1 4 dx+5 x dx x+c 1 = 2[ x C 1 2]+5[ x C 3] x+c 1 = 2. x C x C 3 x + C 1 = 2. 4x x2 2 x + C 4 = 8x x2 2 x + C 4

9 Potências de uma função f(x) f (x).[f(x)] n dx = [f(x)]n+1 + C ( para n 1) n + 1 De facto, ( [f(x)]n+1 + C) = ( [f(x)]n+1 n + 1 n + 1 ) + (C) = 1 n + 1 (n + 1)f (x)[f(x)] (n+1) = f (x).[f(x)] n Exemplos 3x 2 (x 3 1) 2 dx = (x3 1) C = (x3 1) 3 + C x 3 (x 4 + 2) 5 dx = 1 4x 3 (x 4 + 2) 5 dx = 1 + 2) [(x ) 6 4.(x4 + C 6 4 = (x4 + 2) 6 + C C] =

10 Exponencial de uma função f(x) f (x).e f(x) dx = e f(x) + C De facto, (e f(x) + C) = (e f(x) ) + (C) = f (x).e f(x) + 0 = f (x).e f(x) Exemplos 2xe x 2 dx = e x2 + C cos xe sin x dx = e sin x + C x 2 e x3 dx = 1 3 3x 2 e x3 dx = 1 3 [ex3 + C] = ex3 3 + C 3 = ex3 3 + c 1

11 Exponencial de base a de uma função f(x) f (x).a f(x) dx = af(x) lna + C De facto, ( af(x) ln a +C) = ( af(x) ln a ) +(C) = 1 ln a f (x).a f(x) lna+0 = f (x).a f(x) Exemplos 3x 2 2 x3 dx = 2x3 ln2 + C sinx3 cos x dx = sinx3 cos x dx = 3cos x = 3cos x ln3 + C 1 ln3 C

12 Quociente da derivada da função pela função f (x) dx = ln f(x) + C f(x) De facto, (ln f(x) + C) = (ln f(x) ) + (C) = f (x) f(x) + 0 = f (x) f(x) Exemplos 1 dx = ln x + C x cos(x) dx = ln sin(x) + C sin(x)

13 Função seno f (x)sin[f(x)] dx = cos[f(x)] + C De facto, ( cos[f(x)] + C) = ( cos[f(x)]) + (C) = [ f (x)sin[f(x)]] + 0 = f (x)sin[f(x)] Exemplos 2e 2x sin(e 2x ) dx = cos(e 2x ) + C xsin(x 2 ) dx = 1 2 = 1 2 cos(x2 ) + C 1 2xsin(x 2 ) dx = 1 2 ( cos(x2 ) + C)

14 Função cosseno f (x)cos[f(x)] dx = sin[f(x)] + C De facto, (sin[f(x)] + C) = (sin[f(x)]) + (C) = f (x)cos[f(x)] + 0 = f (x)cos[f(x)] Exemplos 3x 2 cos(x 3 ) dx = sin(x 3 ) + C cos(x + 1) dx = sin(x + 1) + C

15 Primitivação por partes f(x).g(x) dx = F(x).g(x) F(x).g (x) dx sendo F uma primitiva de f. De facto, [F(x).g(x) F(x).g (x) dx] =[F(x).g(x)] [ F(x).g (x) dx] =F (x)g(x) +F(x)g (x) F(x).g (x) =F (x)g(x) =f(x)g(x)

16 Exemplo Calculemos xlnx dx Fazendo f(x) = x e g(x) = lnx e atendendo a que F(x) = x2 2 temos xlnx dx = x2 x 2 2 lnx 2.(lnx) dx = x2 x 2 2 lnx 2.1 x dx = x2 2 lnx = x2 2 lnx 1 2 x 2 dx x dx = x2 2 lnx 1 2 (x2 2 + c) = x2 2 lnx x2 4 + c 1

17 Aplicação (Exercício) Suponha que a receita marginal para um produto é dada por RM(x) = 300 0,2x Determine a função de receita total R(x). Uma vez que a receita marginal para um produto é a derivada da função receita então R(x) = (300 0,2x) dx = 300 dx + 0,2x dx = 300x + c 1 0,2 x dx = 300x + c 1 0,2( x2 2 + c 2) = 300x 0,1x 2 + c 3. Sabemos que R(0) = 0, logo c 3 = 0, e portanto, R(x) = 300x 0,1x 2

18 Uma das motivações para o estudo dos integrais tem a ver com o problema do cálculo da área de uma região plana. Suponhamos que pretendemos calcular a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x 2, o eixo dos xx e as rectas verticais x = 0 e x = 2.

19 A área desta região R, será um número. Para definir este número, vamos considerar rectângulos (cuja área sabemos determinar) inscritos na região e rectângulos circunscritos na mesma região. Vamos começar por dividir o intervalo [0,2] em dois sub-intervalos [0,1] e [1,2]. Como f é crescente em [0,2], temos que, em cada sub-intervalo, o máximo M é atingido no extremo superior do intervalo, e o mínimo m é atingido no extremo inferior do sub-intervalo.

20 A soma das áreas dos rectângulos contidos na região R é = 1 A soma das áreas dos rectângulos que contêm R é = 5 Nestas condições, observamos que a área da região R é um valor compreendido entre 1 e 5.

21 Se em vez de dividirmos o intervalo [0,2] em dois sub-intervalos [0,1] e [1,2], dividirmos em mais, por exemplo quatro sub-intervalos [0, 1 2 ], [1 2,1], [1, 3 2 ] e [3 2,2] obtemos o seguinte:

22 A soma das áreas dos rectângulos contidos na região R é = 14 8 A soma das áreas dos rectângulos que contêm R é = 30 8 Nestas condições temos que a área da região R é um valor compreendido entre 14 8 e Observamos que, se aumentarmos o número de sub-intervalos em que dividimos o intervalo [0,2], este processo leva-nos para um valor mais aproximado do valor correcto da área da região R.

23 Suponhamos agora um caso mais geral: pretendemos determinar a área da região limitada pelo gráfico de f(x), o eixo dos xx e as rectas verticais x = a e x = b.

24 Podemos dividir o intervalo [a,b] em n sub-intervalos (não necessariamente iguais), com as extremidades desses intervalos em x 0 = a,x 1,x 2,...,x n = b. Agora escolhemos um ponto (qualquer) em cada sub-intervalo e denotamos os pontos por x 1,x 2,...,x i,...,x n.

25 Então o i-ésimo rectângulo (para qualquer i) tem altura f(x i ) e largura x i x i 1, de forma que a sua área é f(x i )(x i x i 1 ) Assim, a soma das áreas dos n rectângulos é S = f(x 1 )(x 1 x 0 ) + f(x 2 )(x 2 x 1 ) f(x n)(x n x n 1 ) = n i=1 f(x i )(x i x i 1 ) = n i=1 f(x i ) x i, onde x i = (x i x i 1 )

26 Como os pontos nos sub-intervalos podem ser escolhidos em qualquer ponto do sub-intervalo, não sabemos se os rectângulos irão superestimar ou subestimar a área sob a curva f(x). Contudo, se aumentarmos o número de sub-intervalos (aumentando o valor de n) e garantirmos que cada sub-intervalo se torne menor, iremos melhorar a aproximação do valor da área. Assim, para qualquer subdivisão de [a,b] e qualquer x i, a área é dada por n A = n lim f(x i) x i máx x i 0 i=1 desde que esse limite exista.

27 O estudo precedente ocorreu no contexto do cálculo de uma área sob uma curva. Não obstante, se f for uma função qualquer, não necessariamente positiva, definida em [a,b], então para cada subdivisão de [a,b] e cada escolha de x i, definimos a soma n S = f(x i) x i i=1 como a soma de Riemann de f para a subdivisão de [a,b]. O limite da soma de Riemann (quando x i 0) designa-se por Integral definida de f(x) sobre o intervalo [a,b] e denota-se por b a f(x) dx

28 Integral definida Se f for uma função no intervalo [a,b], então a integral definida de f de a até b é b a f(x) dx = lim n máx x i 0 n f(x i) x i i=1 Se f for contínua, x i for um ponto no i-ésimo intervalo e x i 0 quando n, então o limite existe e dizemos que f é integrável no intervalo [a,b].

29 Qual a relação entre integral indefinida e integral definida? Vejamos o seguinte exemplo: Consideremos a função receita marginal de um produto RM(x) = R (x) = 300 0,2x Já vimos, num exercício anterior, que a função receita é R(x) = (300 0,2x) dx = 300x 0,1x 2 que é uma integral indefinida da função receita marginal.

30 A receita da venda de unidades do produto é R(1.000) = euros. A receita da venda de 500 unidades do produto é R(500) = euros. Assim, a receita adicional recebida pela venda de 500 unidades adicionais é =

31 Se utilizarmos a definição de integral definida para encontrar a área sob o gráfico da função receita marginal de x = 500 até x = 1.000, encontraremos que a área é De facto, a área é a soma das áreas a amarelo e a azul da figura seguinte. Área do rectângulo amarelo = = Área do triângulo azul = = Assim, a área total é

32 Podemos, então, determinar a receita adicional quando as vendas aumentam de 500 para 1.000, calculando a integral definida (300 0,2x) dx Em geral, a integral definida b a f(x) dx pode ser utilizada para determinar a variação na função F(x) quando x muda de a para b, onde f(x) é a derivada de F(x). Este resultado é o Teorema Fundamental do Cálculo.

33 Teorema Fundamental do Cálculo Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b]. Então a integral definida de f existe nesse intervalo, e b a f(x) dx = F(b) F(a) onde F é qualquer primitiva de f, isto é, qualquer função tal que F (x) = f(x), para todo os x em [a,b].

34 Exemplos 2 0 π 2 0 (x + 1) dx = [ x2 2 + x]2 0 = (22 + 2) ( ) = 4 0 = 4 cos x dx = [sinx] π 2 0 = sin π 2 sin0 = 1 0 = 1

35 Propriedades b a b a a a b a [f(x) ± g(x)] dx = kf(x) dx = k f(x) dx = 0 f(x) dx = b a a b b a f(x) dx f(x) dx f(x) dx ± b a g(x) dx onde k é uma constante

36 Área sob uma curva Se f for uma função contínua em [a,b] e f(x) 0 em [a,b] então a área entre f(x) e o eixo dos xx de x = a até x = b é dada por b a f(x) dx

37 Suponhamos que os gráficos de y = f(x) e y = g(x) estão ambos acima do eixo dos xx e que o gráfico de y = f(x) está acima do gráfico de y = g(x) em todo o intervalo [a,b], isto é, f(x) g(x) para todo o x em [a,b].

38 A integral b a o eixo dos xx f(x) dx fornece a área entre o gráfico de y = f(x) e

39 A integral b a o eixo dos xx g(x) dx fornece a área entre o gráfico de y = g(x) e

40 A área da região entre o gráfico de y = f(x) e o gráfico de y = g(x) é dada pela diferença entre as duas áreas anteriores, isto é, Área entre f(x) e g(x) é b a f(x) dx b a g(x) dx

41 Este resultado é válido mesmo que os gráficos das funções f(x) e g(x) não estejam acima do eixo dos xx. Temos o seguinte resultado. Área entre duas curvas Se f e g forem funções contínuas em [a,b] e se f(x) g(x) em [a,b], então a área da região limitada por y = f(x), y = g(x), x = a e x = b é A = b a [f(x) g(x)] dx

42 Exemplo Determinemos a área da região limitada por x = 0, x = 1, y = x e y = x + 1. Comecemos por esboçar os gráficos das funções Como y = x está acima de y = x + 1 no intervalo [0,1], então a área é A = 1 0 (x2 + x) dx = [ x = [(x 2 + 1) ( x + 1)] dx = 3 + x2 2 ]1 0 = ( ) ( ) = =

43 Outro exemplo Determinemos a área da região limitada por x = 1, x = 0, y = x e y = x + 1. Comecemos por esboçar os gráficos das funções Como y = x + 1 está acima de y = x no intervalo [ 1,0], 0 então a área é A = [( x + 1) (x 2 + 1)] dx = ( x2 x) dx = 0 1 (x2 + x) dx = 0 1 (x2 + x) dx = [ x3 3 + x2 [0 ( ]0 1 = [( )] = ) (( 1) = ( 1)2 2 )] =

44 Já estudámos algumas técnicas para integração e usámos tabelas para calcular algumas integrais. Contudo, algumas funções não podem ser integradas usando fórmulas de primitivação. Vimos que, para qualquer função f(x) 0 no intervalo [a,b], a integral definida pode ser entendida como uma área e que, geralmente, podemos aproximar a área e, portanto a integral. Um desses métodos de aproximação utiliza os rectângulos, como vimos anteriormente. Agora, vamos considerar um método de integração numérica para aproximar a integral definida designado por Regra dos Trapézios.

45 Suponhamos que f(x) 0 em [a,b] e subdividamos o intervalo [a,b] em n partes iguais, cada uma de comprimento b a n = h. Podemos aproximar a área em cada subdivisão utilizando um trapézio. A área do trapézio é A 1 = [ B + b ].h 2

46 Podemos utilizar a fórmula para a área de um trapézio para aproximar a área da primeira subdivisão e, continuar o processo para todas as outras subdivisões. A 1 = [ B + b ]h = [ f(x 0) + f(x 1 ) ]h 2 2 Assim, b a f(x) dx A 1 + A A n 1 + A n = [ f(x 0) + f(x 1 ) ]h + [ f(x 1) + f(x 2 ) ]h [ f(x n 1) + f(x n ) ]h = h 2 [f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + f(x 2 ) f(x n 1 ) + f(x n 1 ) + f(x n )]

47 b a Regra dos Trapézios Se f for contínua no intervalo [a,b], então f(x) dx h 2 [f(x 0) + 2f(x 1 ) + 2f(x 2 ) f(x n 1 ) + f(x n )] onde h = b a n e n é o número de subdivisões do intervalo [a,b].

48 Exemplo 1 x dx Usemos a Regra dos Trapézios para aproximar o valor de 3 1 com n = 4. Comecemos por dividir o intervalo [1,3] em quatro partes iguais de comprimento h = = 1 2, como a seguir: Pela Regra dos Trapézios, temos 3 1 x dx h 2 [f(x 0) + 2f(x 1 ) + 2f(x 2 ) + 2f(x 3 ) + f(x 4 )] = [f(1) + 2f(1,5) + 2f(2) + 2f(2,5) + f(3)] 2 = 1 1 [1 + 2( 4 1,5 ) + 2(1 2 ) + 2( 1 2,5 ) ] 0,25(1 + 1, ,8 + 0,3333) 1,117

49 Observemos que: 3 1 O valor de x dx = [lnx]3 1 = ln3 ln1 = ln3 1,099 1 enquanto que, utilizando a Regra dos trapézios com n = 4, 3 1 obtivemos dx 1,117. x 1

50 Uma vez que, o valor exacto de uma integral raramente se obtém quando se utiliza uma aproximação, torna-se necessário ter alguma forma de julgar a precisão de resposta. Enunciaremos a seguir uma fórmula (sem a demonstrarmos) que pode ser usada para limitar o erro que resulta da utilização da Regra dos Trapézios. Erro da Regra dos Trapézios O erro E na utilização da Regra dos Trapézios para aproximar b a f(x) dx satisfaz E (b a)3 12n 2 [máx a x b f (x) ] onde n é o número de subdivisões do intervalo [a,b] e f (x) é a função derivada da função f (x).