Cálculo Numérico BCC760 Integração Numérica

Transcrição

1 Cálculo Numérico BCC76 ntegração Numérica Departamento de Computação Página da disciplina 1

2 ntegração Numérica - Motivação Suponha que queremos obter uma folha de papelão de 4 metros de comprimento. A altura de cada onda do papel ondulado e de 1cm, a partir de seu centro, e cada onda tem um período de, aproximadamente, 2cm. O problema de se encontrar o comprimento da folha ondulada necessária para fabricar este papelão consiste em determinar o comprimento da curva dada por f (x) = sin(x), a partir de x = cm, ate x = 4cm. 2

3 ntegração Numérica 1 ntrodução 2 Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios 2.2 Primeira Regra de Simpson 2.3 Segunda Regra de Simpson 2.4 Grau de exatidão 3. ntegração dupla 4. Considerações finais 3

4 1. ntrodução O Cálculo Diferencial e ntegral ensina que se = f(x) é uma função contínua em [a, b], então para se obter b a f (x) dx basta determinar uma primitiva, isto é, uma função F(x), tal que F (x) = f(x), de forma que b a f (x) dx F(b) F(a) 4

5 1. ntrodução Problemas Pode não ser fácil, ou impossível, expressar F(x) por meio de uma combinação finita de funções elementares. Há situações nas quais = f(x) é conhecida apenas em um conjunto discreto de pontos. Nestas situações, avalia-se numericamente!!! b a f (x) dx 5

6 1. ntrodução deia básica Aproximar (substituir) a função integranda, = f(x), por outra cuja integral seja fácil de avaliar. Substitui-se, então, = f(x) pelo polinômio que a interpola em um conjunto de pontos (x i, i ), i =,1,..., n; pertencentes ao intervalo de integração [a, b]. 6

7 2. Fórmulas de Newton-Cotes Serão estudadas as Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado. Neste caso, todos os pontos estão no intervalo de integração [a, b], e x = a e x n = b são os extremos. Estas fórmulas permitem calcular, por aproximação, uma integral definida substituindo a função a ser integrada pelo polinômio com diferenças finitas ascendentes que a interpola em um conjunto de pontos (x i, i ), i =, 1,..., n. Sendo assim, é necessário que as abscissas dos pontos sejam equidistantes. 7

8 2. Fórmulas de Newton-Cotes Sabe-se que p(x h.z) z(z 1) 2 z. 2! z(z 1)...[z (n 1)] n n! z(z 1)(z 2) 3! 3... E que z x - x h x = x + h.z dx = h.dz Para x = x x - x z h z Para x = x n x - x h z n n.h h z n 8

9 2. Fórmulas de Newton-Cotes A integral que se deseja calcular é b a f ( x) dx, onde a x e b x n A integral que será, efetivamente, calculada é n p(x h.z).h.dz h. n p(x h.z).dz Este resultado constitui uma família de regras de integração ou de fórmulas de quadratura. 9

10 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios Esta regra é obtida fazendo-se n igual a um, ou seja, integrando-se o polinômio interpolador de grau um Fórmula Simples É calculada a integral h. 1 [ z ] dz h. z 2 z 2 1 h 2 Como = 1 h 2 1 Fórmula simples da Regra dos Trapézios 1

11 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios Note-se que é a área do trapézio de altura h = x 1 x e de bases e 1. f (x) 1 p(x) a x b x 1 11

12 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios Fórmula Composta Para melhorar o resultado, o intervalo de integração é dividido em n partes de tamanho h e aplica-se a fórmula simples em cada uma delas x a x1 2 xn 1... x x n b h n 1 n x 12

13 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios Fazendo a soma = n h 2 h h n1 n n Logo h n 1 n Fórmula composta da Regra dos Trapézios 13

14 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.1 Regra dos Trapézios Erro de truncamento E T (x n x 12n 2 ) 3.f '' ( ) x x n 14

15 Exemplos 15

16 Exemplos 16

17 Exemplos 17

18 Exercício 18

19 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson Esta regra é obtida fazendo-se n igual a dois, ou seja, integrando-se o polinômio interpolador de grau dois Fórmula Simples É calculada a integral h. 2 z(z 1) 2 [ z ] dz 2 19

20 O resultado é Como = 1 e 2 = Então z 6 z. 2 z z. h h Fórmula simples da Primeira Regra de Simpson 2 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson

21 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson 21

22 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson Fórmula Composta Divide-se o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples de forma repetida. Representação geométrica f (x) 1 2 x 2... n / 2 x a 1 x3 x4 xn 2 xn 1... x x n b 22 x

23 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson 23

24 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson Fazendo a soma: = n/2 h 3 h h n2 n1 n n 2 A fórmula composta é h.[ n2 4.n1 3 n ] Atenção! n deve ser par! 24

25 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.2 Primeira Regra de Simpson Erro de truncamento E S1 - (x n x 18n 4 ) 5 f (V) ( ) [x, x n ] 25

26 Exemplos 26

27 Exemplos 27

28 Exemplos 28

29 Exercício 1 29

30 Exercício 2 3

31 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.3 Segunda Regra de Simpson Esta regra é obtida fazendo-se n igual a três, ou seja, integrando-se o polinômio interpolador de grau três Fórmula Simples É calculada a integral h. 3 z. z(z 1) 2! 2 z(z 1)(z 2) 3! 3.dz Como = 1 2 = = h Fórmula simples da Segunda Regra de Simpson 31

32 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.3 Segunda Regra de Simpson Fórmula Composta Divide-se o intervalo de integração em n partes de tamanho h e aplicase a fórmula simples de forma repetida. 3h Resultando em 3h h n3 n2 n1 n n 3 3h [ n 2 3.n 1 8 Atenção! n deve ser múltiplo de três! n ] 32

33 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.3 Segunda Regra de Simpson Erro de truncamento E S2 - (x n x 8n 4 ) 5 f (V) ( ) [x, x n ] 33

34 Exemplos 34

35 Exercício 1 35

36 Exercício 2 x ln(x)

37 2. Fórmulas de Newton-Cotes 2.4 Grau de exatidão Uma regra de integração diz-se de grau de exatidão n se integrar, exatamente, todos os polinômios de grau menor ou igual a n e existir pelo menos um polinômio de grau n + 1 que não é integrado exatamente por esta regra. Portanto Regra dos Trapézios grau de exatidão 1 Primeira Regra de Simpson grau de exatidão 3 Segunda Regra de Simpson grau de exatidão 3 37

38 3. ntegração Dupla Trata-se da utilização de métodos numéricos para integração de funções de duas variáveis, ou seja, Pode-se escrever x n x m f (x, )d dx x x n m f (x, ) d dx x x n G(x) dx onde G(x) m f (x, ) d 38

39 3. ntegração Dupla Para calcular estas integrais, x x n G(x) dx G(x) m f (x, ) d Podem ser utilizadas as regras de integração estudadas. 39

40 3. ntegração Dupla Sendo = k x.[a.g(x ) + a 1.G(x 1 ) + a 2.G(x 2 ) a n.g(x n )] G(x i ) = k [b f(x i, ) + b 1 f(x i, 1 ) + b 2 f(x i, 2 ) + + b m f(x i, m )] i =, 1,..., n Verifica-se que k x.k n m j i a i.b j.f (x i. j ) 4

41 3. ntegração Dupla 41

42 3. ntegração Dupla 42

43 3. ntegração Dupla 43

44 3. ntegração Dupla 44

45 4. Considerações finais Comparando as expressões dos erros, verifica-se que as fórmulas de Simpson têm ordem de convergência h 4, enquanto que a Regra dos Trapézios é da ordem h 2. Portanto, as regras de Simpson convergem para o resultado exato da integral com a mesma velocidade, e mais rapidamente do que a regra dos Trapézios, quando h. Embora a Primeira Regra de Simpson tenha sido obtida por meio do polinômio interpolador de grau dois, ela é exata, também, para polinômios de grau três, uma que, na fórmula do erro de truncamento, aparece a derivada quarta da função. Pode ser demonstrado que, se n é par, então as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado têm grau de exatidão (n + 1). 45