Instituto de Matemática - UFRGS - Mat Cálculo Numérico

Transcrição

1 Primeira Verificação Questão 1. (2. pt) Sendo x =.4334 e y = , encontre fl(x + y) em F L(B, p, L, U) com dígito guarda, onde B = 1, p = 5, L = 6, U = 7. Problema: Numa máquina digital onde as operações de adição, multiplicação e troca de sinal são implementadas via hardware, é desejado um procedimento para a inversão de um número ponto-flutuante r dado, então possibilitando a operação de divisão de dois números w, z de máquina via w/z = w (1/z). Estratégia: Seja B = 1, r = ( 1) s m r B E r. Para qualquer r na forma acima, calcular 1/r é equivalente a calcular x = 1/m r, e então 1/r = ( 1) s xb E r. Dessa forma somente precisamos inverter a mantissa, e assim consideramos aqui a inversão de números reais u tais que < u < 1. Dado r, tal u será considerado também nas questões 2, 3, e 4, que seguem. Questão 2. (2. pt) Uma idéia que pode ser usada é escrever x = 1/u como x = 1/(1 q), onde q = 1 u (e segue q < 1) e então aproximar x pelos termos parciais x n da soma de uma progressão geométrica infinita. Por exemplo, 1.31 = = 1 + (.69) + (.69)2 + (.69) Para r = 71, encontre tal PG e calcule x 1, x 2,..., x 5, fazendo uma tabela (n, x n, δ n ), onde δ n é alguma medida da exatidão. Classifique a convergência. Questão 3. (2. pt) Uma outra possibilidade é aplicar o método de Newton para f(x) = 1/x u. Mostre que essa estratégia nos dá uma recursão do tipo x n+1 = x n (α βx n ); explicitamente encontre α e β. Usando x = 1/2, r = 71, encontre x 1, x 2,..., x 5, fazendo tabela (n, x n, δ n ), onde δ n é alguma medida da exatidão. Classifique a convergência. Questão 4. (2. pt) Novamente para r = 71, mostre que 1 < u < 2 e aproxime u = 1/x pelo método da Bissecção aplicado no intervalo inicial [1, 2] (errata: use f(x) = 1/x u). Novamente faça uma tabela (n, x n, δ n ) onde δ n é alguma medida da exatidão. Classifique a convergência. Questão 5. (2. pt) Localize, enumere e separe as raízes de p(x) =, onde p(x) = x 6 x 4 x Para tal, mostre que x = 1 é uma raiz, mostre que p(x) = p( x) (conclusão?) e aplique as técnicas e estimativas vistas em aula.

2 Segunda Verificação - 23/2 (3) O gabarito será disponibilizado no xerox (térreo) após o término da prova. Questão 1. (2. pt) Encontre a solução do sistema linear Ax = b, onde A = , b = , usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial de linhas. Questão 2. (2. pt) Encontre a solução do sistema linear 7 1 x y = z 8 pelo Método do Gradiente. Use aproximação inicial nula e ao menos 5 iterações. Questão 3. (2. pt) A tabela abaixo foi gerada usando f(x) = x 5 2x 3. x f(x) Encontre um polinômio interpolador para essa tabela (em qualquer formato). Questão 4. (2. pt) Use a tabela abaixo para aproximar f(1.9) x f(x) (a) usando diferenças divididas de Newton; (b) usando a reta que melhor se ajusta aos dados no sentido dos mínimos quadrados. Questão 5. (2. pt) Um experimento, baseado na medição de uma quantidade y(t), foi realizado em instantes de tempo t = 1, 2, 3, 5, 6. Pesquisador A, usando os dados em t = 2, 3, 5, 6, interpolou y(4) usando um polinômio de grau 3, encontrando y(4) = Pesquisador B, usando os dados em t = 1, 2, 3, 5, também interpolou y(4) usando um polinômio de grau 3, encontrando y(4) = Encontre uma aproximação para y(4) que seja proveniente de um polinômio interpolador de grau 4 sobre os dados em t = 1, 2, 3, 5, 6.

3 Terceira Verificação - 23/2 (3) O gabarito será disponibilizado no xerox (térreo) após o término da prova. Questão 1. (2.5 pontos) Deseja-se uma fórmula do tipo αy n+2 + βy n+1 + γy n 1 + δy n 2 h 2 para a aproximação numérica de d 2 y/dx 2. Encontre os valores de α, β, γ e δ tais que a aproximação tenha erro de truncamento com maior ordem possível. Encontre, precisamente, a ordem desse erro de truncamento. Questão 2. (2.5 pontos) Encontre a fórmula de quadratura de Gauss-Legendre para o intervalo [ 1, 1] usando 3 pontos x, x 1, x 2. Adapte essa fórmula e aproxime numericamente 4 cos(π x)dx. Questão 3. (2.5 pontos) Avalie numericamente 2 cos ( ln(x + 1) ) dx usando a Regra Composta de Simpson em 2 intervalos. Questão 4. (2.5 pontos) Usando o esquema Preditor-Corretor de Adams de segunda ordem, proponha um esquema para a solução do Problema de Valor Inicial { y (t) + 4y(t) = 2 t + 1. y() = 1

4 Primeira Recuperação - 23/2 Questão 1. (2. pt) Numa computação feita em aritmética IEEE FL(2,9,-9,1), dois números x 1 e x 2 foram multiplicados. Sendo fl(x 1 x 2 ) o valor de máquina obtido, verificou-se que fl(x 1 x 2 ) = (1.21)(x 1 x 2 ). O que pode ser afirmado com relação ao uso de dígito guarda? Justifique. Questão 2. (2. pt) Dado um número real u, o que o algoritmo x dado u x n+1 =, n = 1, 2, 3,... x n 1 calcula? Esse algoritmo converge ou não para seu objetivo (assuma que x esteja suficientemente próximo desse objetivo)? Justifique matematicamente. Questão 3. (2. pt) Justifique (matematica e graficamente) que a função f(x) = ln(x) x possui uma único zero em (, e), onde e = é o número de Euler. Encontre essa raiz, aplicando o Método de Newton a f(x), com exatidão de 3 digses (monte tabela comprovando isso; use x = 1). Questão 4. (2. pt) Proponha uma benfeitoria para remover a subtração catastrófica (ainda agravada pelo fato de as quantidades cancelantes serem de pequena magnitude) da expressão u = ln(1 + h) h onde h é um número de magnitude sabidamente muito pequena. Questão 5. (2. pt) Localize, enumere e separe as raízes de p(x) =, onde p(x) = x 3 3x 2 + x + 1.

5 Segunda Recuperação - 23/2 Questão 1. (2. pt) Proponha um algoritmo para a solução numérica de x y 1 4 z = w 32. (a) pelo Método de Gauss-Seidel; (b) pelo Método de Jacobi. Questão 2. (2. pt) Encontre a solução do sistema linear Ax = b, onde A = , b = , usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial de linhas. Questão 3. (2. pt) Usando a tabela abaixo, x f(x) aproxime f(1.19) (a) usando o polinômio interpolador na forma de Lagrange; (b) usando diferenças FINITAS de Newton. Questão 4. (2. pt) A tabela abaixo foi gerada f(x) = cos(1/x). x f(x) Use-a para aproximar o valor perdido f(.6) usando: (a) diferenças DIVIDIDAS de Newton; (b) a reta que melhor aproxima a tabela no sentido dos Mínimos Quadrados. Questão 5. (2. pt) Proponha um algoritmo para a solução numérica de pelo Método de Newton. x 2 y + 2yz + 2z = 3 2x + y 2 z = 2 xz 3 2y 3z = 1

6 Terceira Recuperação - 23/2 Questão 1. (2. pt) Avalie numericamente 2 x 2 sen (πx 2 )dx usando (a) Regra Composta de Simpson em 2 intervalos. (b) Regra Composta do Trapézio em 2 intervalos. Questão 2. aproximação para d 2 y/dx 2. (2. pt) Verifique consistência e ordem do erro de truncamento da y n+2 y n+1 y n 1 + y n 2 3h 2 Questão 3. (2. pt) Encontre os parâmetros da fórmula de quadratura de Gauss- Legendre 1 1 x 2 f(x)dx = w x 2 f(x ) + w 1 x 2 1f(x 1 ) usando 2 pontos x, x 1. Adapte essa fórmula e aproxime numericamente 2 Questão 4. (2. pt) Verifique se o esquema x 2 sen (πx 2 )dx y n+1 = 8hy n + y n 1 + h(sen (t n ) + sen (t n 1 )) proposto para a aproximação numérica de y (t) + 4y(t) = sen (t) é consistente ou não e encontre, precisamente, a ordem de seu erro de truncamento. (b) O que pode ser dito sobre a estabilidade desse esquema segundo a definição vista em aula? Questão 5. (2. pt) Usando o esquema Corretor de Adams de segunda ordem, proponha um esquema para a solução do Problema de Valor Inicial { y (t) + 4y(t) = 2 cos(t + 1). y() = 1/2

7 Exame Geral - 23/2 Questão 1. (1.5 pt) Justifique (matematica e graficamente) que a função f(x) = ln(x) x possui uma único zero em (, e), onde e = é o número de Euler. Encontre essa raiz, aplicando o Método de Newton a f(x), com exatidão de 3 digses (monte tabela comprovando isso; use x = 1). Questão 2. (1.5 pt) Localize, enumere e separe as raízes de p(x) =, onde p(x) = x 3 3x 2 + x + 1. Questão 3. (2. pt) Encontre a solução do sistema linear Ax = b, onde A = , b = , usando eliminação gaussiana com pivotamento parcial de linhas. Questão 4. (2. pt) A tabela abaixo foi gerada f(x) = cos(1/x). x f(x) Use-a para aproximar o valor perdido f(.6) usando: (a) diferenças DIVIDIDAS de Newton; (b) a reta que melhor aproxima a tabela no sentido dos Mínimos Quadrados. Questão 5. aproximação para d 2 y/dx 2. (1.5 pt) Verifique consistência e ordem do erro de truncamento da y n+2 y n+1 y n 1 + y n 2 3h 2 Questão 6. (1.5 pt) Usando o esquema Corretor de Adams de segunda ordem, proponha um esquema para a solução do Problema de Valor Inicial { y (t) + 4y(t) = 2 cos(t + 1). y() = 1/2