INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Ano Lectivo: 2002/2003

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Licenciatura em Engenharia Física Tecnológica Licenciatura em Engenharia e Gestão Industrial Ano Lectivo 00/003 ANÁLISE NUMÉRICA Formulário 1. Representação de Números e Teoria de Erros Erro, erro absoluto, erro relativo x x i x R e x = x x, e x, δ x = e x x, δ x x 0 ii x R n e x = x x, e x, δ x = e x x, δ x x 0 Representação de números reais notação científica x = σ m β t R \ {0} base β N \ {1}, sinal σ {+, }, expoente t Z mantissa m = 0.a 1 a... β [β 1, 1[, a i {0, 1,..., β 1}, a 1 0 Sistema de ponto flutuante FPβ, n, t 1, t = {x Q x = σ m β t } {0} β N \ {1}, σ {+, }, t 1 t t, t, t 1, t Z m = 0.a 1 a... a n β [β 1, 1 β n ], a i {0, 1,..., β 1}, a 1 0 Arredondamentos x = σ0.a 1 a... a n a n+1... β β t R, flx FPβ, n, t 1, t i arredondamento por corte flx = σ0.a 1 a... a n β β t ii arredondamento simétrico β par σ0.a 1 a... a n β β t, 0 a n+1 < β flx = σ [0.a 1 a... a n β + β n ] β t β, a n+1 < β

2 Erros de arredondamento x = σmβ t R, x = flx FPβ, n, t 1, t i arredondamento por corte e x β t n, δ x β 1 n = U ii arredondamento simétrico e x 1 βt n, δ x 1 β1 n = U U unidade de arredondamento do sistema FP Algarismo significativo x = σm10 t R, x = σ0.a 1 a... a n t FP10, n, t 1, t, Propagação de erros δ φ x = δ φ x = e φ x φx a i é algarismo significativo de x se e x 1 βt i φx φ x φx x = x 1,..., x n R n, φ R n R, x x, φ = fl φ e φ x = φx φ x ẽ φ x = δ φ x = p φ,xk xδ xk, k=1 δ φ + δ arr, δφ = k=1 k=1 φ x k x e xk p φ,xk x = x k φ x k x φx m p φ,xk δ xk, δ arr = q k δ arrk k=1. Complementos de Álgebra Linear Normas matriciais induzidas por normas vectoriais x R n, A L n R x 1 = x i x = x i x = max x i 1 i n i=1 A 1 = max 1 j n i=1 norma por coluna i=1 a ij A = r σ A A A = max 1 i n a ij norma por linha r σ A = max 1 i n λ i, λ 1,..., λ n valores próprios de A Número de condição de uma matriz cond p A = A p A 1 p, p = 1,,, cond A = r σ Ar σ A 1

3 3 Condicionamento de sistemas lineares Ax = b, à x = b x x p x p cond p A 1 à A p A p cond p A à A p + b b p A p b p à A p A 1 p < 1, p = 1,, 3. Resolução de Sistemas Lineares Ax = b, A L n, b, x R n Métodos directos Ax = b LUx = b { Lg = b Ux = g Método de Doolittle A = LU, l 11 = l = = l nn = 1 k 1 u kj = a kj l kr u rj, j = k,..., n r=1 k = 1,,..., n l ik = 1 k 1 a ik l ir u rk, i = k + 1,..., n u kk Método de Crout A = LU, u 11 = u = = u nn = 1 k 1 l ik = a ik l ir u rk, i = k,..., n r=1 k = 1,,..., n u kj = 1 k 1 a kj l kr u rj, j = k + 1,..., n l kk Método de Cholesky A = LL T, A simétrica definida positiva k 1 l kk = akk lkr, k = 1,,..., n r=1 l ik = 1 k 1 a ik l ir l kr, i = k + 1,..., n l kk r=1 r=1 r=1 Métodos iterativos x k+1 = Cx k + w, k = 0, 1,... C = M 1 N, w = M 1 b, M + N = A = L + D + U

4 4 x x k+1 c x x k, x x k c k x x 0 x x k 1 1 c xk+1 x k, x x k+1 c 1 c xk+1 x k x x k ck 1 c x1 x 0, c = C < 1 Método de Jacobi M = D x k+1 = D 1 [ b L + Ux k], k = 0, 1... x x k µ k x x 0 i 1 µ = max α i + β i, α i = a ij 1 i n, β i = Método de Gauss-Seidel M = D + L a ii j=i+1 x k+1 = D 1 b Lx k+1 Ux k, k = 0, 1... a ij a ii η = max 1 i n x x k η k x x 0 i 1 a ij, β i = β i 1 α i, α i = Método da iteração simples ou da relaxação linear a ii j=i+1 a ij a ii M = Iω, ω R \ {0} x k+1 = x k + ω b Ax k, k = 0, 1,... Método de Jacobi modificado M = Dω, ω R \ {0} x k+1 = 1 ωx k + ωd 1 [ b L + Ux k], k = 0, 1,... Método de Gauss-Seidel modificado ou SOR M = Dω + L, ω R \ {0} x k+1 = 1 ωx k + ωd 1 b Lx k+1 Ux k, k = 0, 1, Determinação de Valores e Vectores Próprios Método das potências Au 1 = λ 1 u 1, λ 1 R, λ 1 > λ i, i =,..., n Au k u k+1 = σ k, Au k λ k = [Auk ] m, k = 0, 1,..., u 0 u k = 1 m

5 5 σ k sinal da componente do vector Au k de maior valor absoluto m índice da componente do vector u k de maior valor absoluto u k u 1 = O ρ k, λ k λ 1 = O ρ k, ρ = max i n λ i λ 1 Método das iterações inversas Au j = λ j u j, λ j R B = A µi 1, µ t.q. 1 λ j µ > max 1 i j λ i µ Bu k u k+1 = σ k, Bu k u k u j = O ρ k, λ k = [Buk ] m, k = 0, 1,... u 0 = 1 u k m λk 1 λ j µ = O ρ k, ρ = λ j µ min i j λ i µ 5. Resolução de Equações e Sistemas Não-lineares Resolução de equações f R R Método da bissecção fz = 0, fafb < 0 x m+1 = x m b a m+1 sgn[fb] sgn[fx m], m = 0, 1,... z x m b a m, z x m+1 x m+1 x m Método do ponto fixo fz = 0 z = gz x m+1 = gx m, m = 0, 1,... z x m+1 L z x m, z x m L m z x 0 z x m 1 1 L x m+1 x m, z x m+1 L 1 L x m+1 x m z x m Lm 1 L x 1 x 0 L < 1, L constante de Lipschitz g z 0 z x m+1 = g ξ m z x m, ξ m intz, x m z x m+1 L z x m, L = max x [a,b] g x g r z = 0, r = 1,..., p 1, g p z 0, p =, 3,... z x m+1 = 1 p! 1p+1 g p ξ m z x m p, ξ m intz, x m z x m+1 K p x x m p, z x m K 1 1 p p K 1 p 1 p z x 0 p m

6 6 K p = 1 p! max g p x x [a,b] Método de Newton fz = 0, f z 0 x m+1 = x m fx m, m = 0, 1,... f x m z x m+1 = f ξ m f x m z x m, ξ m intz, x m z x m+1 K z x m, z x m 1 K K z x 0 m K = max x [a,b] f x min x [a,b] f x z x m+1 x m+1 x m, se K z x m 1 Método de Newton modificado f r z = 0, r = 0,..., p 1, f p z 0, p =, 3,... Método da secante fz = 0 x m+1 = x m p fx m, m = 0, 1,... f x m x m+1 = x m fx m x m x m 1, m = 1,,... fx m fx m 1 z x m+1 = f η m f ξ m z x m z x m 1, ξ m, η m intx m 1, z, x m z x m+1 K z x m z x m 1, K = max x [a,b] f x min x [a,b] f x z x m+1 x m+1 x m, se K z x m 1 1 z x m+1 lim = f r 1 z m z x m r f z = K [r], r = Resolução de sistemas de equações f R n R n Método do ponto fixo fz = 0 z = gz x m+1 = gx m, m = 0, 1,... z x m+1 L z x m, z x m L m z x 0 z x m 1 1 L x m+1 x m, z x m+1 L 1 L x m+1 x m z x m Lm 1 L x 1 x 0, L < 1, L = sup J g x x D

7 7 Método de Newton generalizado fz = 0, det[j f z] 0 x m+1 = x m + x m, J f x m x m = fx m, m = 0, 1,... z x m+1 K z x m, K = M M 1 1 = sup M 1 x D M = max [J f x] 1, sup 1 i n x D z x m 1 K K z x 0 m H fi x, H fi L n, H fi jk = f i x j x k 6. Interpolação Polinomial Fórmula interpoladora de Lagrange p n x = f j l j x, l j x = n i=0,i j x x i x j x i Fórmula interpoladora de Newton j 1 p n x = f[x 0 ] + f[x 0,..., x j ] x x i, f[x 0,..., x j ] = i=0 j l=0 fx l j x l x i i=0,i l Fórmula do erro e n x = fx p n x = f n+1 ξ n + 1! W n+1x = f[x 0,..., x n, x] W n+1 x W n+1 x = n x x i, ξ intx 0,..., x n, x i=0 7. Teoria da Aproximação Melhor aproximação uniforme φ de f E em F E, F subespaço de dimensão n, E = C[a, b], espaço normado com a norma uniforme φ é a m.a. uniforme de f em F x 0 < x 1 < < x n em [a, b] tais que i fx i φ x i = 1 i δ, i = 0,..., n δ R ii δ = f φ = inf φ F f φ

8 8 Melhor aproximação φ mínimos quadrados de f E em F E, F subespaço de dimensão n gerado por {ϕ 0,..., ϕ n }, E espaço pré-hilbertiano φ = φ = f φ = inf φ F f φ f φ, φ, φ F a kϕ k, a k = M 1 f, ϕ kj j, M L n, M jk = ϕ j, ϕ k a kϕ k, a k = f, ϕ k ϕ k, ϕ k, se {ϕ 0,..., ϕ n } é um sistema ortogonal Polinómios ortogonais com respeito ao produto interno f, g = b a wxfxgx dx, f, g C[a, b], w C]a, b[, wx 0 Polinómios de Legendre, P n x [a, b] = [ 1, 1], wx = 1 P n+1 x = n + 1 n + 1 xp nx n n + 1 P n 1x, n = 1,,... P 0 x = 1, P 1 x = x P n x = 1n n n! d n dx n [ 1 x n], n = 1,... P n, P m = 0, n m, P n, P n =, n = 0, 1,... n + 1 Polinómios de Chebyshev, T n x [a, b] = [ 1, 1], wx = 1/ 1 x { Tn+1 x = xt n x T n 1 x, n = 1,,... T 0 x = 1, T 1 x = x T n x = cosn arccos x, n = 0, 1,... T n, T m = 0, n m, T 0, T 0 = π, T n, T n = π, n = 1,,... i + 1π T n x i = 0, x i = cos, i = 0,..., n 1, n = 1,,... n 8. Integração Fórmulas de Newton-Cotes fechadas de ordem n f C[a, b] If = b a fx dx I n f = w j,n fx j,n I n x k = Ix k, k = 0, 1,..., n

9 9 x j,n = a + jh, j = 0, 1,..., n, h = b a n n n w j,n = Il j,n = h 1n j t i dt, w j,n = w n j,n j!n j! E n f = If I n f = C n = 1 n n + 1! 0 0 i=0,i j { Cn h n+ f n+1 ξ, n ímpar D n h n+3 f n+ ξ, n t i dt, D n = i=0 n par 1 n +! n 0 t ξ a, b n t i dt Regra dos trapézios Newton-Cotes fechada com n = 1, h = b a I 1 f = b a Regra de Simpson I f = b a 6 [fa + fb], i=0 E 1 f = h3 1 f ξ, ξ a, b Newton-Cotes fechada com n =, h = b a [ fa + 4f Regra dos três oitavos I 3 f = b a 8 Regra de Milne I 4 f = b a 90 a + b ] + fb, E f = h5 90 f 4 ξ Newton-Cotes fechada com n = 3, h = b a 3 [fa + 3fa + h + 3fb h + fb], E 3 f = 3h5 80 f 4 ξ Newton-Cotes fechada com n = 4, h = b a 4 [ 7fa + 3fa + h + 1f E 4 f = 8h7 945 f 6 ξ, ξ a, b ] a + b + 3fb h + 7fb Fórmulas de Newton-Cotes abertas de ordem n If = b a fx dx I n f = w j,n fx j,n I n x k = Ix k, k = 0, 1,..., n x j,n = a + j + 1h, j = 0, 1,..., n, h = b a n + n+1 n w j,n = Il j,n = h 1n j t i dt, w j,n = w n j,n j!n j! 1 i=0,i j

10 10 Regra do ponto médio I 0 f = b a f Newton-Cotes aberta com n = 0, h = b a a + b, E 0 f = h3 3 f ξ, ξ a, b Fórmulas de Newton-Cotes compostas x j = a + jh M, j = 0, 1,..., M, h M = b a M Regra dos trapézios composta [ I M 1 f = h M fx 0 + fx M + M 1 fx j E M 1 f = b ah M f ξ, ξ a, b 1 Regra de Simpson composta M par I M f = h M 3 M/ fx 0 + fx M + 4 ] M/ 1 fx j 1 + fx j E M f = b ah4 M f 4 ξ, ξ a, b 180 Regra do ponto médio composta M par M/ I M 0 f = h M fx j 1, E M 0 f = b ah M f ξ, ξ a, b 6 Fórmulas de Gauss If = b a wxfx dx I n f = w j,n fx j,n I n x k = Ix k, k = 0, 1,..., n + 1 x j,n, j = 0, 1,..., n zeros do polinómio ϕ n+1 de grau n + 1 pertencente ao sistema {ϕ 0, ϕ 1,...} de polinómios mónicos ortogonais com respeito ao produto interno f, g = Ifg. w j,n = Il j,n = Ilj,n ϕ n+1, ϕ n+1 = ϕ n+1x j,n ϕ n+ x j,n, E n f = ϕ n+1, ϕ n+1 f n+ ξ, ξ a, b n +! Fórmulas de Gauss-Legendre [a, b] = [ 1, 1], wx 1 j = 0, 1,..., n

11 11 x j,n, j = 0, 1,..., n zeros do polinómio de Legendre P n+1 w j,n =, j = 0, 1,..., n n + P n+1x j,n P n+ x j,n E n f = n+3 [n + 1!] 4 n + 3[n +!] 3 f n+ ξ, ξ a, b Fórmulas de Gauss-Chebyshev [a, b] = [ 1, 1], wx = 1/ 1 x j + 1 x j,n = cos n + π, w j,n = π n + 1, E n f = Fórmulas de Gauss-Legendre compostas If = x m j,n b a π4 n n +! f n+ ξ, ξ a, b fx dx I n M f = h M w j,n j = 0, 1,..., n M m=1 f x m j,n = a + h Mm 1 + h M x j,n + 1, h M = b a M 9. Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Problemas de Valor Inicial { Y x = fx, Y x, x 0 x b Y x 0 = Y 0 Métodos de passo simples y n+1 = y n + h ϕx n, y n ; h, n 0 x n = x 0 + nh, n = 0, 1,..., N, h = b x 0 N Erro de discretização local τx, y; h = 1 [Y x + h Y x] ϕx, y; h, h Y x = y Erro de discretização global Y x n y n h emxn x 0 1 M Método de Euler max τx n, Y x n ; h, 0 n N 0 n N y n+1 = y n + hfx n, y n, τx n, y n ; h = Oh

12 1 Métodos de Taylor de ordem p p 1 h j y n+1 = y n + h D j f x n, y n, τx n, y n ; h = Oh p j + 1! Dfx, y = f x, y + fx, y f x, y x y Métodos de Runge-Kutta de ordem τx n, y n ; h = Oh Método de Euler modificado ou do ponto médio y n+1 = y n + hf x n + h, y n + h fx n, y n Método de Heun y n+1 = y n + h [fx n, y n + f x n + h, y n + hfx n, y n ] Método de Runge-Kutta de ordem propriamente dito y n+1 = y n + h [ fx n, y n + 3f x n + h 4 3, y n + h ] 3 fx n, y n Método de Runge-Kutta clássico de ordem 4 τx n, y n ; h = Oh 4 y n+1 = y n + h 6 [ϕ 1 + ϕ + ϕ 3 + ϕ 4 ], ϕ 1 = fx n, y n, ϕ = f x n + h, y n + h ϕ 1 ϕ 3 = f x n + h, y n + h ϕ, ϕ 4 = fx n + h, y n + hϕ 3 Métodos multipasso lineares com p + 1 passos, p > 0 y n+1 = a k y n k + h b k fx n k, y n k, k= 1 a p + b p 0 n p x n = x 0 + nh, n = 0, 1,..., N, h = b x 0 N Erro de discretização local [ ] τx, y; h = 1 Y x + h a k Y x kh h b k fx kh, Y x kh, k= 1 Y x = y

13 13 Condições de consistência q 1 a k = 1, τx, y; h = Oh q k j a k + j k j 1 b k = 1, j = 1,..., q k= 1 Condição da raiz p ρr = r p+1 a k r p k = r r j i r j 1, j = 0, 1,..., p; ii r j = 1 ρ r j 0 Métodos de Adams-Bashforth f m = fx m, y m y n+1 = y n + h b k f n k, n p p = 1, q = y n+1 = y n + h [3f n f n 1 ] p =, q = 3 y n+1 = y n + h 1 [3f n 16f n 1 + 5f n ] p = 3, q = 4 y n+1 = y n + h 4 [55f n 59f n f n 9f n 3 ] Métodos de Adams-Moulton f m = fx m, y m y n+1 = y n + h b k f n k, p = 0, q = k= 1 n p y n+1 = y n + h [f n+1 + f n ] p = 1, q = 3 y n+1 = y n + h 1 [5f n+1 + 8f n f n 1 ] p =, q = 4 y n+1 = y n + h 4 [9f n f n 5f n 1 + f n ] 1.JUN.003