Notas de Análise Numérica

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1 Notas de Análise Numérica João Lopes Dias Departamento de Matemática, ISEG Universidade Técnica de Lisboa Rua do Quelhas 6, Lisboa, Portugal 13 de Junho de 2008 Resumo Estas notas destinam-se à cadeira Análise Numérica /08 do 3 o ano 2 o semestre da Licenciatura em Matemática Aplicada à Economia e Gestão do ISEG - Universidade Técnica de Lisboa. Para as seguir pressupõe-se os conhecimentos adquiridos nas disciplinas de Álgebra Linear, Análise Matemática em R e Rd, e Equações Diferenciais. Para a resolução de exercícios computacionais assume-se a familiaridade com alguma linguagem de programação. Conteúdo 1 Erros inerentes à representação numérica Representação de Z Representação de R Representação em ponto flutuante Erros de representação Erros nas operações aritméticas Soma Somas finitas Multiplicação Funções C Métodos numéricos para equações lineares Matrizes triangulares Matrizes não triangulares Método de Gauss Pesquisas de pivot Factorização triangular Análise de erros Normas de vectores e matrizes Normas de matrizes como operadores lineares Estimação de erros jldias@iseg.utl.pt 1 analysis 1

2 3 Interpolação polinomial Polinómios Existência do polinómio interpolador Fórmula de Lagrange Fórmula de Newton Cálculo de diferenças divididas Erros de interpolação Nós de Chebyshev Splines cúbicos Métodos numéricos para equações não lineares Método da bissecção Método de Newton Método da secante Problemas de ponto fixo Critérios de paragem Integração numérica Exemplos de quadraturas Quadratura do rectângulo Quadratura do trapézio Quadratura de Simpson Quadraturas compostas Erros de quadratura Quadratura de Gauss Construção de W n Exemplos de sistemas ortogonais Métodos numéricos para edos Erro e ordem do método Exemplos de métodos Método de Euler Métodos de Runge-Kutta Método de Runge-Kutta 1 a ordem Método de Runge-Kutta 2 a ordem Método de Runge-Kutta 3 a ordem Método de Runge-Kutta 4 a ordem Agradecimentos 46 Referências 46 1 Erros inerentes à representação numérica Com o objectivo de instruirmos uma máquina computacional a realizar rapidamente muitos cálculos básicos, temos em primeiro lugar de definir uma representação dos elementos de R. A primeira restrição óbvia tem a ver com os números arbitrariamente grandes. Outra restrição deriva da natureza aritmética dos números. Por exemplo, os números irracionais em R \ Q 2

3 são os que se escrevem em dízimas infinitas. Qualquer truncação desta dízima corresponde a um número racional. Ora, a capacidade de memória de um qualquer computador, quer seja agora no século XXI ou no XXX, será sempre finita. Logo, não nos é possível manipular um número irracional tendo em conta a sua expressão numérica. Assim, o conjunto dos números representáveis numericamente constituem um subconjunto finito de Q. Este subconjunto será o objecto do nosso estudo, tendo em conta a escolha inicial de uma forma consistente de representação de números. 1.1 Representação de Z Apesar de podermos sempre considerar representações de números reais em qualquer base, usamos frequentemente a base decimal 2. Note que todas as representações em bases diferentes são equivalentes entre si, como iremos ver em seguida. Começamos pelo caso de números inteiros, i.e. o conjunto Z. De facto, basta concentrarmo-nos em N pois zero é igual em qualquer base e para obtermos números negativos basta acrescentar em frente ao número o sinal. Considere uma base arbitrária b 2 e o conjunto A b de dígitos permitidos nessa base, i.e. #A b = b. Podemos escolher os símbolos que quiseremos como elementos de A b desde que sejam distintos entre si e totalizem b. Obviamente que os mais utilizados são os algarismos árabes. Por exemplo, podemos fazer corresponder à base binária os conjuntos A 2 = {0, 1}, A 2 = {V, F }, A 2 = {H, M}, etc. Sejam a i os elementos de A b onde i pertence a um subconjunto de N. Escrevemos um número inteiro na base b na forma (a n... a 0 ) b para algum n N. No caso de base decimal, i.e. b = 10, escrevemos simplesmente a n... a 0, por ser esta a base usual. A transformação para a base decimal é dada por (a n... a 0 ) b = n a i b i. (1.1) i=0 Exemplo 1. Confira: 1. (1010) 2 = (813) 9 = (220110) 3 = (864D5F 9A) 16 = ( ) 2 = onde usámos A 16 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }. Exercício 1. Aritmética em base b: 1. Descreva um algoritmo para a soma de dois números inteiros em base binária. 2. Desenvolva a forma de fazer o mesmo para uma base arbitrária b. 3. Repita as alíneas anteriores para a multiplicação. 2 Provavelmente relacionado com o facto dos humanos terem 10 dedos nas mãos. 3

4 A relação entre as representações em bases genéricas b e b é dada por ( n (a n... a 0 ) b = α i β )b i, onde α i e β são as representações de a i e b na base b, respectivamente. Exemplo 2. Queremos determinar (a 2 a 1 a 0 ) b = (813) 9 na base b = 3. Ora, a 2 = (22) 3, a 1 = (1) 3, a 0 = (10) 3 e b = (100) 3. Assim, (813) 9 = (22) 3 (100) (1) 3 (100) 3 + (10) 3 = (220000) 3 + (100) 3 + (10) 3 = (220110) 3. Um algoritmo simples para a representação de x N (base decimal) em base b é o seguinte. Queremos determinar os a i tais que x = (a n... a 0 ) b. Assim, o resto da divisão inteira de i=0 x = n a i b i = a n b n + + a 1 b + a 0, i=0 por b é igual a a 0 pois Em particular, x b = a nb n a 1 + a 0 b. ( x [ x ]) a 0 = b b b onde [y] é a parte inteira do número y. Finalmente, obtemos todos os dígitos a i usando a seguinte fórmula recursiva: [ xi 1 ] ( xi [ x 0 = x, x i =, a i = b b b xi ]). b 1.2 Representação de R Como já sabemos mudar bases de representação de Z, para completar R falta-nos considerar números em ]0, 1[. De facto, podemos sempre escrever x = (a n... a 0.a 1... a m ) b R como a soma da sua parte inteira [x] = (a n... a 1 a 0 ) b com a sua parte fraccionária x [x] = (0.a 1 a 2... a m ) b. Note que aqui m N { }. A parte fraccionária na representação decimal é então dada por 1 i= m a ib i. Finalmente, Exemplo ( ) 2 = ( ) 3 = 1 Exercício 2. x = n i= m a i b i. 4

5 1. Use as ideias da secção anterior para obter uma mudança de base da parte fraccionária em representação decimal para uma qualquer base b. 2. Encontre um algoritmo de mudança de base entre quaisquer duas bases. 3. Encontre algoritmos para a subtracção e divisão de números numa base arbitrária b. 4. Será que os irracionais em base b também correspondem a partes fraccionárias infinitas não periódicas? [Sugestão: Use os mesmos argumentos de Análise Matemática I] Exercício Indique a representação na base 2 dos números (C1DADE.DE) 16 e (715B0A) Mostre que para qualquer base b 2 e n i m, (10) i b (a n... a 0.a 1... a m ) b = (a n... a i.a i 1... a m ) b. 1.3 Representação em ponto flutuante A representação em ponto flutuante 3 é a mais apropriada para uso computacional. Fixando uma base b, escrevemos um número na forma 4 ±m b t, onde b 1 m < 1 e t Z. O número zero é um caso especial, sendo representado simplesmente por 0. Como já foi referido, um computador apenas trabalha com um número finito de dígitos. Assim, com essa restrição, temos que arrendondar os valores de m e t na expressão acima para m e t, respectivamente. Considere p N como o número máximo de dígitos à direita do ponto (ou vírgula) de m = 0.a 1... a p onde a 1 0. Adicionalmente, considere q N como o valor máximo de t. A regra de arredondamento que iremos respeitar é a da melhor aproximação. Em caso de ambiguidade arredondamos o último dígito para o caso par. Exemplo 4. Sejam b = 10, p = 2 e q = 4. Temos que = Note que qualquer número no intervalo [ , ] tem a mesma representação. Com as condições acima impostas, os valores de m e de t ficam restringidos a: 1 b m 1 1 b p, t { q,..., q}. Defina o conjunto Q b,p,q dos números representáveis em ponto flutuante com as restrições acima impostas, incluindo o zero. Exercício Prove que: 3 ou vírgula flutuante conforme a notação usada para a separação entre as unidades e a parte fraccionária. 4 De forma a simplificar, iremos sempre considerar b = 10. 5

6 fl M M x Figura 1: Exemplo de função fl. (a) M := max Q b,p,q = (1 b p )b q = min Q b,p,q (b) min Q b,p,q R + = b (q+1). 2. Conclua que Q b,p,q é um conjunto finito e que Z [ M, M] Q b,p,q Q R. Podemos agora definir uma função que a dado número real obtemos a sua representação numérica, i.e. a melhor aproximação em representação de ponto flutuante. Seja a função fl : R Q b,p,q tal que fl(x) x = min z x z Q b,p,q e em caso de ambiguidade escolhemos o valor de fl(x) onde o último dígito é par (ver Figura 1). Exemplo 5. Sejam b = 10, p = 5, q = fl(327) = fl(π) = Erros de representação Considere x = mb t dentro dos limites de representação dados por [ M, M]. Assim, fl(x) = mb t. O erro absoluto de aproximação é dado por E(x) = fl(x) x = ( m m)b t. 6

7 Esta grandeza não é contudo de grande utilidade. Se estivermos a trabalhar com valores muito pequenos, então E(x) será sempre muito baixo. O que interessa é a relação entre o erro absoluto e os valores que estamos a considerar. Assim, definimos o erro relativo como Note que podemos agora escrever e(x) = E(x) x fl(x) = x[1 + e(x)]. Exercício 5. Para x [ M, M], prove as seguintes estimativas por cima dos erros: 1. E(x) 1 2 bt p 2. e(x) 1 2 b1 p 1.5 Erros nas operações aritméticas Soma Ao somarmos computacionalmente dois números reais através das suas aproximações, a soma também será uma aproximação do valor exacto. Queremos estimar o erro de representação associado a esta operação. Tendo x i = m i b t i, i = 1, 2, obtemos { [m 1 + m 2 b (t 1 t 2 ) ]b t 1, t 1 > t 2 x 1 + x 2 = [m 1 b (t 2 t 1 ) + m 2 ]b t 2, t 2 t 1. Assim, relembrando que fl(x i ) = x i (1 + ε i ) com ε i = e(x i ), fl(fl(x 1 ) + fl(x 2 )) = [x 1 (1 + ε 1 ) + x 2 (1 + ε 2 )] (1 + σ) = x 1 (1 + ε 1 )(1 + σ) + x 2 (1 + ε 2 )(1 + σ), onde σ = e(fl(x 1 ) + fl(x 2 )). Logo, o erro absoluto é dado por fl(fl(x 1 ) + fl(x 2 )) (x 1 + x 2 ) = x 1 ε 1 (1 + σ) + x 2 ε 2 (1 + σ) + (x 1 + x 2 )σ. Exemplo 6. Sejam b = 10, p = 4, q = 2, x 1 = e x 2 = Queremos calcular a representação aproximada de x 1 x 2 : fl(fl(x 1 ) fl(x 2 )) = fl( ) = No entanto x 1 x 2 = Podemos pensar que o módulo do erro absoluto E = é um valor pequeno, mas é superior ao valor exacto da subtracção! O módulo do erro relativo e = 1.5 já nos mostra que o erro é relevante. Observação 1. Como vimos no exemplo anterior, quando se subtraem números muito próximos pode-se obter um erro relativo demasiado pessimista. Em alternativa para esta situação, para verificarmos o grau de viabilidade do resultado, podemos calcular E/x 1. 7

8 1.5.2 Somas finitas Podemos agora representar numericamente uma soma finita n i=1 x i. Para isso utilizamos uma algoritmo simples para o seu cálculo 5. Considere S 0 = 0 e S i = S i 1 + x i com i = 1,..., n. Logo, indutivamente obtemos S n = n i=1 x i. A representação numérica é assim calculada por S 0 = 0 e ( ) S i = fl Si 1 + fl(x i ) ( ) (1.2) = Si 1 + fl(x i ) (1 + σ i ), onde σ i é o erro relativo da soma i. O erro absoluto final é E = S n S n e o relativo e = E/S n. Exercício 6. Deduza uma fórmula explícita para a propagação de erros no cálculo de n i x i usando o algoritmo S 0 = 0, S i = S i 1 + x i, i = 1,..., n. Isto é, calcule S n S n dependendo de n Multiplicação Sejam x 1 e x 2 para os quais temos fl(x i ) = x i (1 + ε i ) com ε i = e(x i ). Queremos determinar a representação numérica do produto x 1 x 2. Assim, fl(fl(x 1 ) fl(x 2 )) = fl (x 1 x 2 (1 + ε 1 )(1 + ε 2 )) = x 1 x 2 (1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + µ), (1.3) onde µ = e(fl(x 1 ) fl(x 2 )). Finalmente, o erro absoluto é dado por E = x 1 x 2 [(1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + µ) 1] e o relativo e = (1 + ε 1 )(1 + ε 2 )(1 + µ) 1. Exercício 7. Deduza uma fórmula explícita para a propagação de erros no cálculo do produto interno usual x, y = n i=1 x iy i usando o algoritmo S 0 = 0, S i = S i 1 + x i y i, i = 1,..., n. Exercício 8. Escreva as fórmulas dos erros numéricos absoluto e relativo para a divisão x 1 /x 2 com x Funções C 1 O caso geral de uma função continuamente diferenciável é também simples de tratar. Seja f C 1 (D, R) com D R e fl(d) D. Para representarmos esta função numericamente podemos ter que definir uma aproximação numérica da função. Dado ɛ > 0, esta será uma nova função dada por f : Q b,p,q R tal que sup f(z) f(z) < ɛ. z D Q b,p,q Queremos obviamente considerar ɛ tão pequeno quanto possível, podendo mesmo ser que f = f (se f for uma função mal conhecida, podemos aproximá-la por exemplo por um polinómio). 5 Podem existir outros eventualmente mais eficientes. Por exemplo, reordenando a soma de acordo com a ordem de grandeza dos termos. 8

9 fl f fl f Figura 2: Exemplo de representação numérica da função f. x A representação numérica da função f será então dada pela transformação (cf. Figura 2) O erro cometido pode ser estimado por com ξ entre x e fl(x). E f (x) := fl f fl(x) f(x) x fl f fl(x). = fl f fl(x) f fl(x) + ( f f) fl(x) + f fl(x) f(x) = E( f fl(x)) + ( f f) fl(x) + f (ξ)[fl(x) x] Exercício 9. Mostre que o erro relativo dado por e f (x) = E f (x)/f(x) é aproximadamente e f (x) xf (x) f(x) e(x). Ou seja, o termo xf (x)/f(x) estima a propagação dos erros. Exemplo 7. Assuma os parâmetros b = 10, p = 6 e q = 99 para a representação numérica de ponto flutuante. Para as funções seguintes consideramos aproximações f tais que ( f f) fl(x) < f(x) = x, x > 0. Fazendo ξ x fl(x) x = x xe(x) x( ) obtemos e f (x) x ξx , que não depende de x e é pequeno. Note que xf (x)/f(x) = 1/2. 2. f(x) = x 2. Então, usando ξ x + fl(x) x x( ), Note que xf (x)/f(x) = 2. e f (x) ξx x

10 3. f(x) = e x. Então, e f (x) eξ x ex e x x, dependendo de x, logo podendo ser muito grande. Note que xf (x)/f(x) = x. Exercício 10. Encontre fórmulas dos erros para uma função de duas variáveis ϕ C 1 (D, R) onde D R 2 e F l(d) D com F l(x, y) = (fl(x), fl(y)). Obtenha o resultado do exercício 8 como caso particular. 2 Métodos numéricos para equações lineares Nesta secção iremos estudar métodos para determinar a solução x R d de um sistema de equações lineares na forma Ax = b, onde A é uma matriz 6 real d d invertível (det A 0) e b R d. Isto equivale a calcular a inversa de A e a multiplicá-la por b. O método de inversão de matrizes mais aconselhável na perspectiva de um analista numérico é aquele que optimiza o tempo de cálculo e/ou minimiza o erro. Iremos discutir alguns métodos dentro de duas classes: directos e iterativos. 2.1 Matrizes triangulares Começamos com o caso particular das matrizes triangulares superiores. Ou seja, matrizes A = [a ij ] tais que a ij = 0 se i > j. Recorde que det A 0, logo a ii 0 para qualquer 0 i d. Exercício Mostre que a solução de Ax = b com A triangular superior invertível é dada por x d = b d a dd, x i = b i d j=i+1 a ijx j, i = d 1,..., 1. a ii 2. Justifique que o número de operações aritméticas efectuadas para calcular a solução acima é dado por: Número de divisões: d Número de multiplicações: d(d 1)/2 Número de somas: d(d 1)/2 Número total de operações: d 2 3. Repita o procedimento para matrizes triangulares inferiores (matrizes transpostas de triangulares superiores). 6 O espaço das matrizes d d com entradas reais é denotado por M d d (R). 10

11 2.2 Matrizes não triangulares Método de Gauss O caso geral de matrizes triangulares é mais complicado. Envolve recorrer ao método de Gauss para obtermos um sistema triangular, como anteriormente. Exemplo 8. Considere a equação linear Ax = b onde A = e b = O 1 o passo do método de Gauss corresponde à eliminação das entradas na coluna por debaixo do pivot a 11 = 1: Ou seja, a nova 2 a linha obteve-se pela multiplicação da 1 a linha por a 21 /a 11 = 2 somando à 2 a, e a nova 3 a linha pela multiplicação da 1 a por a 31 /a 11 = 1 somando à 3 a. Este passo pode ser resumido como a multiplicação pela matriz M 1 = dando origem a uma equação equivalente M 1 Ax = M 1 b. O 2 o passo envolve a escolha de pivot da entrada em (2, 2), que denotamos por b 22, e a eliminação da entrada por debaixo /2 0 Para a obtenção da nova 3 a linha multiplicámos por 1/2 a 2 a linha que somámos à 3 a. Como anteriormente, este passo resume-se à multiplicação por M 2 = /2 1 dando origem a uma equação equivalente M 2 M 1 Ax = M 2 M 1 b. Ora, U = M 2 M 1 A é uma matriz triangular superior. Temos assim uma equação linear triangular, de fácil resolução. Isto é, 1 x =

12 Exercício 12. Baseando-se no exemplo anterior (onde não foi necessário haver trocas de linhas de forma a obtermos pivots diferentes de zero), confira o número de operações aritméticas efectuadas para uma matriz d d são dados por: 1 o passo do método de Gauss: Número de divisões: d 1 Número de multiplicações: d(d 1) Número de somas: d(d 1) Número total: (d 1)(2d + 1) Totais do método de Gauss: Número de divisões: d(d 1)/2 Número de multiplicações: d(d 2 1)/3 Número de somas: d(d 2 1)/3 Número total: d(d 1) ( 2 3 d + 7 ) 6 Observação 2. Note que o cálculo de inversas de matrizes pela Regra de Cramer envolve n! parcelas e n!(n 1) multiplicações decorrentes da necessidade de calcular determinantes de matrizes. O número de operações aritméticas necessárias torna este método inviável do ponto de vista numérico para valores de n acima de Pesquisas de pivot Por simplicidade começámos por estudar um caso onde pudemos escolher pivots diferentes de zero ao longo de todos os passos do método de Gauss, sem necessidade de troca de linhas. O exemplo seguinte ilustra o caso onde esse facto pode levar a erros numéricos consideráveis. Exemplo 9. Considere a equação linear Ax = b com [ ] A = e b = 1 1 [ ] Queremos resolver este sistema por diferentes variações do método de Gauss. 1. Usando o pivot a 11 = 10 6 : [ ] [ ] A solução é então x [ ] Usando o pivot a 11 = 10 6 e tendo em conta as representações numéricas em ponto flutuante com máximo de 6 dígitos na parte decimal: [ ] [ ]

13 Logo, a solução numérica aproximada é x [ ] A primeira componente de x difere completamente do valor exacto obtido anteriormente. O problema reside no uso de um pivot com um valor absoluto muito inferior às restantes entradas da matriz. 3. Usando pesquisa parcial de pivot. De forma a evitarmos erros como o anterior, podemos escolher para pivot de uma determinada coluna, a entrada com maior valor absoluto. Para isso basta-nos trocar as linhas: [ ] [ ] [ ] Logo, x [ ] Uma forma de optimizar ainda mais o método de Gauss, usamos uma pesquisa total de pivot. Escolhemos para pivot a entrada de toda a matriz (não somente da coluna respectiva como na pesquisa parcial) com maior valor absoluto. Agora temos que trocar linhas e colunas. A troca de colunas implica uma troca da ordem das componentes da solução, que se terá que ter em conta no final: 5. A calibração de matrizes corresponde à multiplicação de linhas por uma constante, com o objectivo de termos pivots com valor absoluto pequeno relativamente às outras entradas. Pode ser utilizado juntamente com as pesquisas de pivots, e depende fortemente de cada caso a considerar. Exercício 13. Implemente computacionalmente o método de Gauss na sua linguagem preferida. Use o código para determinar a solução de Ax = b com A = [a ij ] i,j=1,...,10 e b R 10 dados por 0 2, i = j 1 0 a ij = 1, i j = 1 e b = Factorização triangular 0, o.c. Como vimos, podemos reduzir a solução de uma equação linear ao caso triangular usando uma factorização triangular obtida pelo método de Gauss. Em muitas aplicações é necessário calcular soluções da equação linear Ax = b para vários valores de b, mantendo A. De forma a evitar ter que resolver numericamente o método de Gauss para cada um separadamente (usando cerca de d 3 operações), podemos memorizar a factorização e aplicá-la de forma simples (em d 2 operações) para cada b dado. Isto é, no caso mais geral queremos escrever P AQ = LU. 1 13

14 com L = [l ij ] triangular inferior e diagonal unitária (l ii = 1) e U = [u ij ] triangular superior. A matriz P é uma permutação de linhas e Q permuta colunas. O sistema Ax = b pode assim ser escrito como P AQz = L(Uz) = P b onde x = Qz, dando origem a dois problemas triangulares de resolução simples: Ly = P b e Uz = y. A solução é então obtida por x = Qz. Note que a matriz P corresponde ao método de pesquisa parcial de pivot referido anteriormente. A pesquisa total de pivot corresponde à utilização simultaneamente de P e de Q, i.e. permutações de linhas e de colunas. No Exemplo 8 já vimos como o método de Gauss nos dá uma factorização triangular. Nesse caso obtivemos U = M 2 M 1 A onde as matrizes M i correspondem aos passos do método, e são matrizes triangulares inferiores com diagonal unitária. As suas inversas são ainda do mesmo tipo, assim como o produto. Logo, neste caso L = M1 1 M 2 1. O caso de uma matriz geral invertível é similar. No k o passo (de entre d 1 passos totais), o método de Gauss corresponde a multiplicar pela matriz 0, i < j M k = [m (k) ij ] onde m(k) ij = 1, i = j γ (k) i, j = k, i = k + 1,..., d 0, o.c. Os números γ (k) i são os multiplicadores (relacionados com o pivot e a entrada a eliminar) pela linha k (a do pivot) que será somada à linha i. Se for necessário trocar primeiro de linhas pela pesquisa parcial de pivot, construímos a matriz de permutação entre as linhas k e m > k: 1, i = j e i m e i k P k = [p (k) 1, i = m, j = k ij ] onde p(k) ij = 1, i = k, j = m 0, o.c. Note ainda que P 2 k Exercício 14. = I, P 1 k = P k e P T k = P k. 1. Mostre que M k é invertível e calcule a sua inversa. 2. Calcule P k+1 M 1 k P k+1 e mostre que é uma matriz triangular inferior com diagonal unitária onde apenas a coluna k tem entradas abaixo da diagonal diferentes de zero. Repita para as matrizes N k = P d 1... P k+1 M 1 k P k+1... P d 1 (considere N d 1 = M 1 d 1 ). 3. Obtenha a matriz de permutações P não trivial tal que Finalmente, P P 1 M P d 1 M 1 d 1 = N 1... N d 1. U = M d 1 P d 1... M 1 P 1 A é triangular superior e L = P P 1 M P d 1 M 1 d 1 é triangular inferior com diagonal unitária e P = P d 1... P 1 pelo exercício acima. Logo, P A = LU. 14

15 Exercício 15. Determine a decomposição P A = LU da matriz A usando o método de Gauss com pesquisa parcial de pivot, onde A = Exercício 16. Repita o procedimento anterior considerando a cada passo do método de Gauss pesquisa total de pivots. Obtenha assim simultaneamente uma matriz de permutação de colunas Q (não trivial) e prove a decomposição P AQ = LU. Exercício A partir da factorização triangular de uma matriz A invertível, determine um algoritmo para o cálculo de det A. 2. Considere a representação numérica com parâmetros p = 6 e q = 99. Dê exemplo de uma matriz para a qual testar a sua invertibilidade pelo cálculo numérico do seu determinante daria um resultado errado. Exercício 18 (Método de Doolitle). Considere as matrizes d d dadas por A = [a ij ], U = [u ij ] e L = [l ij ] tais que A = LU é uma factorização triangular, i = 1,..., d. Mostre que: 1. A primeira linha de U é dada por u 1j = a 1j e a primeira coluna de L é l i,1 = a i,1 /a 1,1. 2. As entradas das matrizes U e L são dadas por 2.3 Análise de erros u ij = a ij i 1 m=1 l im u mj, j i l ij = a ij j 1 m=1 l imu mj u jj, j < i. De forma a estimar erros associados aos vectores solução de uma equação linear, vamos primeiro estudar normas de vectores e de matrizes Normas de vectores e matrizes Seja E um espaço vectorial real. Uma norma em E é uma aplicação : E R + 0 x = 0 sse x = 0, tal que αx = α x, x E e α R, x + y x + y, x, y E. Exemplo 10. Considere E = R d e x = (x 1,..., x d ) R d. 1. As normas l p, p N, são dadas por [ d ] 1/p x p = x i p. i=1 As mais usadas são l 1 e l 2 (conhecida por euclideana). 15

16 2. A norma l é x = max i=1,...,d x i. Note que a implementação numérica das diferentes normas anteriores varia conforme o número de operações aritméticas necessárias para o seu cálculo, e as estimativas dos erros associados. Exercício 19. Esboce as circunferências centradas na origem e raio r > 0 em R 2, definidas por {x R 2 : x p = r}, para p = 1, 2,. Exemplo 11. Seja E = M d d (R) e A = [a ij ] i,j=1,...,d M d d (R). 1. Normas induzidas pelo isomorfismo entre espaços lineares com a mesma dimensão finita M d d (R) R d, e.g. A = i,j a ij. 2. A 1 = max j=1,...,d d i=1 a ij corresponde ao máximo das normas l 1 dos vectores coluna. 3. A = max i=1,...,d d j=1 a ij corresponde ao máximo das normas l 1 dos vectores linha. 4. A 2 = ρ(a T A) onde ρ(b) é o raio espectral, i.e. o máximo valor próprio de B em valor absoluto. Note que A T A é uma matriz simétrica, logo pode ser diagonalizável por matrizes ortogonais 7 e os valores próprios são reais e não negativos. 5. Sendo A = obtemos A 1 = 4, A = 6 e A 2 = Duas normas e em E são equivalentes sse existe C > 1 tal que para qualquer x E temos C 1 x x C x. Ou seja, podemos sempre comparar as normas de um vector x uniformemente (usando a mesma constante. Um resultado clássico de Álgebra Linear garante-nos que todas as normas para um espaço de dimensão finita são equivalentes Normas de matrizes como operadores lineares Sejam (E, E ) e (F, F ) espaços vectoriais normados. Definimos L(E, F ) como o espaço das transformações (operadores) lineares E F. A norma usual em L(E, F ) induzida pelas normas em E e F é dada por: L L = Lx F sup, L L(E, F ). x E,x 0 x E Exercício 20. Demonstre que L é uma norma. O subconjunto de L(E, F ) que corresponde aos operadores L com norma limitada, L L <, é denotado por L(E, F ). Para espaços de dimensão finita temos sempre L(E, F ) = L(E, F ) (basta pensar em termos de R d pois todos os com a mesma dimensão finita são isomorfos). 7 M é uma matriz ortogonal se M T M = MM T = I. 16

17 Observação 3. Apesar de podermos definir normas para o espaço de matrizes como vimos na secção anterior, interessa-nos considerar normas matriciais induzidas por normas vectoriais interpretando as matrizes como operadores lineares. De facto, o nosso interesse centra-se na obtenção de soluções vectoriais de equações lineares, onde o papel da matriz é o do operador. Assim, nestas notas restringimo-nos a normas matriciais induzidas pelas normas vectoriais indicadas, e escrevemos = L. Exemplo 12. Considere E = F = R d e L(R d, R d ) = M d d (R). Seja A = [a ij ] i,j M d d (R) e e j os vectores da base canónica de R d. Em particular e j 1 = 1. Assim, A = sup Ax 1 max Ae j 1 = A 1. x 1 =1 j Por outro lado, para x 1 = 1, Ax 1 = a ij x j = j i 1 i a ij x j i j max a ij j j x j = A 1 Isto implica que A A 1. Finalmente, logo A = A 1. A 1 A A 1, Exercício 21. Repita o exemplo anterior para a norma l. Exemplo 13. Considere agora a norma l 2 em R d. Seja A = [a ij ] i,j no espaço S d d (R) das matrizes simétricas d d. A matriz simétrica A T A tem valores próprios reais λ i 2 onde λ i são os valores próprios (reais) de A. Os vectores próprios v i (normalizados v i 2 = 1) da matriz simétrica formam uma base ortonormada de R d, i.e v i, v j = δ ij, onde, é o produto interno 8 usual em R d. Temos assim, A = sup x 2 =1 Ax 2 max j Seja x = j x jv j e x 2 2 = j x j 2 = 1. Então, Av j 2 = max λ j v j = A 2. j Ax 2 2 = Ax, Ax = ij λ i λ j x i x j v i, v j = i λ i 2 x i 2 A 2. Concluindo, A 2 A A 2, ou seja A = A Estimação de erros Consideremos em vez da equação A x = b, a equação aproximada à x = b. Queremos estimar o erro absoluto cometido E = x x e o respectivo erro relativo e = x x / x. Se considerarmos somente um erro inicial em b, i.e. à = A, temos x x = A 1 ( b b). 8 Recorde que um produto interno verifica as seguintes propriedades: u, u 0 com a igualdade sse x = 0, u 1 + u 2, u 3 = u 1, u 3 + u 2, u 3, cu 1, u 2 = c u 1, u 2 e u 1, u 2 = u 2, u 1. 17

18 Logo, os erros são dados por x x A 1 b b e x x x A 1 A b b b, onde usámos b A x. Observação 4. Note que o número de condição cond(a) = A 1 A é determinante na estimação da grandeza do erro. Além disso, como A 1 A = I = 1 A A 1, temos sempre cond(a) 1. Se cond(a) 1 a solução da equação A x = b é sensível às perturbações de b (matriz A mal condicionada). Se cond(a) 1, a solução é robusta (bem condicionada). Exemplo 14. [ ] cos θ sin θ 1. Seja A =. Temos A sin θ cos θ 2 = A 1 2 = 1. [ ] Seja A = 1. Agora A 0 2 = A 1 2 = 2. 2 [ ] 10 7 Exercício 22. Resolva a equação Ax = b com A =, b = (32, 23) e b = (32.1, 22.9). 7 5 Calcule as duas soluções e conclua que a matriz A é mal condicionada. Consideremos agora o caso de perturbações na matriz A. Neste caso estamos a assumir que b = b. Logo, à x = Ax. Proposição 2.1. Seja B M d d (R) tal que B < 1. Então, I + B é invertível e (I + B) 1 < 1 1 B. Demonstração. Supondo que I + B não é invertível, i.e. det(i + B) = 0, temos que λ = 1 é valor próprio de B. Então, Bv 1 = v 1 para o vector próprio v 1 respectivo. Finalmente, B = sup x Bx / x Bv 1 / v 1 = 1. Pela proposição acima aplicada a à = [I + (à A)A 1 ]A, se à A < A 1 1 a matriz à é invertível. Logo, a equação à x = b tem solução e Ou seja, os erros são estimados por x x = (à 1 A I)x x x à 1 à A x e x x x à 1 à A. Exercício 23. Considere o caso geral, i.e. erros associados à solução. à A e b b. Determine estimativas para os 18

19 3 Interpolação polinomial Neste capítulo vamos estudar soluções para o seguinte problema. São-nos dados n + 1 pares de pontos (x i, y i ), i = 0,..., n, correspondendo a pontos do gráfico de uma função desconhecida definida num intervalo [a, b] 9. Encontrar a função original é tarefa impossível pois existem infinitas funções todas coincidindo nos n + 1 pontos dados. Porém, podemos fazer algumas restrições relativamente às funções interpoladoras, baseadas em critérios razoáveis. Os polinómios são bom candidatos a funções interpoladoras pois são definidos por um número finito de coeficientes reais (apropriado para o cálculo numérico) e aproximam relativamente bem funções (ver teorema de Weiestrass abaixo). Deste modo vamo-nos restringir ao caso das interpolações polinomais. Aos valores x i chamamos nós interpoladores e a y i valores nodais. 3.1 Polinómios Considere o conjunto P n dos polinómios de grau n: P n (x) = n a j x j. Recorde que P n é uma função analítica 10 em R. Seja P = n P n C 0 (R) o conjunto de todos os polinómios, e consideremos a norma uniforme em C 0 (R) dada por j=0 f C 0 = sup f(x). x [a,b] Teorema 3.1 (Weierstrass). O conjunto P é denso em C 0 ([a, b]) para a norma uniforme. Ou seja, para quaisquer ε > 0 e f C 0 ([a, b]), existe P P tal que f P C 0 < ε. Exercício Detenha-se por alguns momentos a apreciar o resultado do Teorema de Weierstrass. 2. *Escreva uma demonstração deste resultado clássico (recorra à biblioteca). 3. Mostre que f(x) = x sin(10 10 x) e g(x) = x estão à distância 10 5 na norma uniforme. 4. Calcule a distância entre f e g para a norma C 1 dada por f C 1 = max{ f C 0, f C 0}. Exercício Confira que o número de operações algébricas de multiplicação e soma envolvidas no cálculo do valor de um polinómio grau n na forma P n (x) = 0 j n a jx j, é dado por: Número de multiplicações: n(n + 1)/2 9 Este é um problema típico nas ciências experimentais, quando se efectuam medições de uma determinada grandeza relativamente a uma variável. E.g. medições da pressão atmosférica a diferentes valores de altitude, o valor do PIB nacional em cada mês, o arco da trajectória de uma bola de futebol variando a impulsão inicial, o gasto de combustível de um veículo variando o peso, etc. 10 Uma função f diz-se analítica se f C (R) e a sua série de Taylor converge (é igual a f) no seu domínio. A classe de funções analíticas representa-se por C ω. 19

20 Número de somas: n Número total: n(n + 3)/2 2. Mostre que P n (x) = a 0 + x [a 1 + x [a 2 + x [ + xa n ]]], e verifique que neste caso o número de operações reduz-se a: Número de multiplicações: n Número de somas: n Número total: 2n Podemos escrever um polinómio de muitas maneiras equivalentes. Porém, como o exercício anterior pretende ilustrar, algumas são mais aconselháveis que outras do ponto de vista numérico (ver exemplo seguinte). Exemplo 15. Queremos construir um polinómio interpolador P 1 de grau 1 tal que P 1 (5000) = e P 1 (5001) = Solução exacta. Escrevendo P 1 (x) = a 0 + a 1 x e calculando-o nos pontos acima, obtemos o sistema { a a 1 = com solução a 0 = e a 1 = 1. a a 1 = Solução numérica usando representação em ponto flutuante com parâmetros p = 4 e q = 10. A solução obtida é ã 0 = e ã 1 = 1. Porém, o polinómio assim determinado P 1 (x) = ã 0 +ã 1 x calculado nos pontos indicados dá valores muito diferentes dos esperados: P 1 (5000) = 0 e P1 (5001) = Repetindo a alínea anterior usando a representação P 1 (x) = a 0 + a 1 (x 5000), obtemos agora P 1 (x) = (x ), que corresponde ao valor exacto. Exercício 26. A representação de Newton de polinómios é dada por P n (x) = n a j j=0 i=1 j (x c i ) para dados c i R. Escreva P 3 (x) = x 3 x na representação de Newton para c 1 = 1, c 1 = 1 e c 3 = 0. É simples verificar que o número de zeros de um polinómio de grau n não pode ser superior a n. Podemos ainda factorizá-lo usando os zeros z i. De facto, temos a forma geral (para exemplos e uma demonstração reveja J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Gulbenkian, 6 a ed, 1995 ou os apontamentos de AM1-Primitivação de funções racionais): [ k P n (x) = a n z i ) i] l i=1(x m [ (x pj ) 2 + qj 2 ]. Os factos acima permitem-nos desde já garantir a unicidade do polinómio interpolador se existir. 20 j=1

21 Proposição 3.2. Dados (x i, y i ) [a, b] R, i = 0,..., n, se existe um polinómio interpolador (i.e. P n (x i ) = y i de grau n), então é único. Demonstração. Suponha que existem dois polinómios interpoladores Q n P n. Então a sua diferença R = Q n P n tem grau n e n + 1 zeros distintos, que são x i. Isto implica que o grau de R é n + 1, o que leva a uma contradição. 3.2 Existência do polinómio interpolador Dados (x i, y i ), i = 0,..., n, as n+1 equações P n (x i ) = y i para determinar os n+1 coeficientes a i de P n correspondem ao sistema linear onde 1 x 0... x n 0 V n =. 1 x n... x n n V n a = y,, a = a 0. a n e y = O sistema V n a = y tem solução a R n+1 sse V n é invertível, i.e. det(v n ) 0. Observação 5. Resolver computacionalmente o sistema anterior torna-se impossível para valores de n elevados. Isto acontece quando os coeficientes x n n ultrapassam os limites de representatividade numérica. Além do mais, o número de operações necessárias para calcular a inversa de V n será muito elevado (da ordem de n 3 usando o método de Gauss). Nas próximas secções apresentamos outros métodos de determinação do polinómio interpolador mais rápidos e eficazes no ponto de vista da implementação numérica. Teorema 3.3. Para qualquer n N, det(v n ) = 0 i<j n (x j x i ). Em particular, como os nós de interpolação são todos distintos, i.e. x i x j, existe um único polinómio interpolador. Demonstração. Vamos demonstrar por indução. Para n = 1 temos det(v 1 ) = x 1 x 0 o que verifica a fórmula. Assumindo que também se verifica para n N arbitrário, vamos calcular det(v n+1 ). Temos que x 0... x n+1 (x 0 x n+1 )... (x n x n+1 ) 0 det(v n+1 ) = =. x n x n+1.. n+1 x n 0 (x 0 x n+1 )... x n n(x n x n+1 ) 0 onde no último passo multiplicámos cada linha por x n+1, somámo-la à seguinte e colocámos o resultado aí. O determinante acima é então obtido por (x 0 x n+1 )... (x n x n+1 ) det(v n+1 ) = ( 1) n+1 n.. = det(v x n 0 (x n ) (x n+1 x i ), 0 x n+1 )... x n n(x n x n+1 ) i=0 o que prova o resultado. y 0. y n. 21

22 3.3 Fórmula de Lagrange Considere os polinómios de Lagrange L i (x) = j i x x j x i x j, i = 0,..., n. É simples verificar que L i (x j ) = δ ij e que o grau de L i é n. Teorema 3.4 (Fórmula de Lagrange). O polinómio interpolador para (x i, y i ), i = 0,..., n é dado por n P n (x) = L i (x) y i. Demonstração. Basta verificar que P n (x i ) = y i e que o grau de P n é n. Exemplo 16. Queremos encontrar P 3 para os seguintes dados: Então, Finalmente, P 3 (x) = 3 i=0 L i(x) y i. i=0 x y L 0 (x) = 1 (x 1)(x 3)(x 4) 12 L 1 (x) = 1 x(x 3)(x 4) 6 L 2 (x) = 1 x(x 1)(x 4) 6 L 3 (x) = 1 x(x 1)(x 3). 12 Exercício 27. Considere a função Γ: R + R dada por Γ(x) = 1. Mostre que Γ(n) = (n 1)!, n N. 0 t x 1 e t dt. 2. Calcule valores aproximados para Γ(3/2) usando a fórmula de interpolação de Lagrange. Observação 6. Repare que quando acrescentamos mais um ponto aos nossos dados, temos que recalcular todos os polinómios de Lagrange. Isto porque cada L i depende de todos os nós simultaneamente. Esta desvantagem é removida usando a fórmula de Newton (ver secção seguinte). 22

23 3.4 Fórmula de Newton Considere agora os polinómios W 1 (x) = 1 e W i (x) = i (x x j ), i = 0,..., n. j=0 Verifica-se facilmente que W i (x j ) = 0 se j i, e que o grau de W i é i + 1. Teorema 3.5 (Fórmula de Newton). O polinómio interpolador para (x i, y i ), i = 0,..., n é dado por n P n (x) = φ 0,...,i W i 1 (x), onde φ 0 = y 0 e i=0 φ 0,...,i = y i P i 1 (x i ), i = 1,..., n. W i 1 (x i ) Demonstração. Basta verificar que P n (x i ) = y i e que o grau de P n é n. Observação 7. Os coeficientes φ 0, φ 0,1,..., φ 0,...,n são chamados diferenças divididas. Note que φ 0,...,i apenas depende dos nós 0,..., i. Quando acrescentamos mais nós interpoladores (de forma a controlarmos a variação da aproximação polinomial, ou porque obtivemos mais dados experimentais), não temos que recalcular todos os coeficientes, pois: 3.5 Cálculo de diferenças divididas P n+1 (x) = P n (x) + φ 0,...,n+1 W n (x). Teorema 3.6. Para 0 i n e 0 k < m n, temos φ i = y i e φ k,...,m = φ k+1,...,m φ k,...,m 1 x m x k. Exercício 28. *Demonstre o teorema anterior. Exemplo 17. Na tabela seguinte apresentamos 4 nós e as correspondentes diferenças divididas. x i y i = φ i φ i,i+1 φ i,i+1,i+2 φ i,i+1,i+2,i Assim, P 3 (x) = (x 1)(x 2) (x 1)(x 2)(x 3). A partir dos valores na tabela, podemos considerar várias combinações de pontos sem recorrer a mais cálculos. Por exemplo: 23

24 1. Usando x 1 = 2 e x 2 = 3 calculamos P 1 (x) = 1 + (x 2). 2. Usando x 1 = 2, x 2 = 3 e x 3 = 4 temos P 2 (x) = P 1 (x) (x 2)(x 3). Exercício 29. Escreva um código para calcular um polinómio interpolador. Use-o para calcular o polinómio interpolador para as cotações (no fecho da sessão diária) das acções do Bank of America 11 durante os últimos 30 dias. Consulte para obter os dados. Desenhe o gráfico do polinómio interpolador extrapolando para os próximos 30 dias. Exercício 30. Para a função do Exercício 27, obtenha valores aproximados para Γ(3/2) usando diferenças divididas. 3.6 Erros de interpolação Se estivermos a estudar uma função f, o erro de interpolação é dado naturalmente por E n (x) = f(x) P n (x). A função é desconhecida, pelo que a estimativa do erro terá que ser baseada nalguma hipótese sobre f. Assumir que f C n+1 é por vezes razoável. Iremos considerar este caso e assim estimar o erro de interpolação. Teorema 3.7. Seja f C n+1 ([a, b]) e o polinómio interpolador P n para (x i, y i ) com x i [a, b], i = 0,..., n. Então, para qualquer x [a, b] existe ξ ]a, b[ tal que E n (x) = 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ)w n (x). Demonstração. Seja x [a, b] tal que x x i, i = 0,..., n. interpolador para x 0,..., x n, x n+1 = x. Ou seja, Considere P n+1 o polinómio P n+1 (x) = P n (x) + φ 0,...,n,n+1 W n (x). Em particular, f( x) = P n+1 ( x). Portanto, E n ( x) = f( x) P n ( x) = φ 0,...,n+1 W n ( x). Por outro lado, a função E n+1 tem n + 1 zeros conhecidos, logo pelo menos um zero ξ da sua (n + 1)-ésima derivada. Ou seja, f (n+1) (ξ) = P (n+1) n+1 (ξ) = (n + 1)!φ 0,...,n+1. O que completa a demonstração. Observação 8. Podemos então estimar o erro da seguinte forma: E n C 0 1 (n + 1)! f (n+1) C 0 W n C 0. Se x i+1 x i h, então W n C 0/(n + 1)! h n+1 /(n + 1). Este limite superior não é contudo convergente quando n + se h > 1. Para esta estimativa ser útil, temos de supôr ainda que f (n+1) C 0 é limitada. 11 ou outra empresa ou índice à sua escolha 24

25 3.7 Nós de Chebyshev Se numa determinada aplicação for possível escolher os nós onde interpolamos a função 12, então podemos controlar de melhor forma o factor W n C 0/(n + 1)! no erro. Uma abordagem é através dos nós de Chebyshev, que definimos abaixo. Exercício 31. Mostre que os polinómios de Chebyshev, definidos por recorrência: T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x e T n+2 (x) = 2xT n+1 (x) T n (x), n 0, verificam as seguintes propriedades: T n (x) = cos(n arccos x), x [ 1, 1] T n ( x) = ( 1) n T n (x) Em [ 1, 1] os zeros de T n são os nós de Chebyshev dados por [ ] (2i 1)π x i = cos 2n e os extremos estão em ) x k = cos ( kπ n com T n (x k ) = ( 1)k. Restringimo-nos agora ao domínio [ 1, 1]. Note que T n C 0 = 1. Por outro lado, para qualquer polinómio P de grau n com coeficiente de ordem n igual a 1, temos que 1 = T n C 0 2 n 1 P C 0. Para demonstrar esta desigualdade suponha que existe P nas condições acima tal que P C 0 < 2 1 n. Seja Q = 2 1 n T n P n um polinómio de grau n 1. Então, Q(x k ) = ( 1)k 2 1 n P (x k ). Pela majoração da norma de P, Q tem n zeros. Porém, Q só pode ser um polinómio de grau n 1 e ter n zeros simultaneamente se Q = 0. Assim, 2 1 n T n = P n o que contradiz a hipótese P C 0 < 2 1 n. Restringindo ao intervalo [ 1, 1] e usando os nós de Chebyshev como os nós interpoladores, obtemos W n (x) = 2 n T n+1 (x) e W n (x k ) = 2 n ( 1) k. Finalmente, W n C 0 = 2 n. Resta passar para o caso geral de um intervalo [a, b] em vez de [ 1, 1]. Tal pode ser feito usando um rescalamento dos T n, e é deixado como exercício. 3.8 Splines cúbicos Um método muito popular de interpolação baseia-se no uso de splines cúbicos (ou somente splines). Consiste em aproximar a função entre cada dois nós por um polinómio de grau 3 de forma que a função global seja C 2. Ou seja, uma spline é uma função S(x) = S i (x) para x [x i, x i+1 [, i = 1,..., n, onde S i são polinómios de grau 3 tais que S C 2 e S(x i ) = y i. 12 Se forem dados experimentais, basta colher as amostras apenas para determinados valores dos parâmetros. 25

26 A definição de S é dada então por: S i (x) = M i 1(x i x) 3 M i (x i 1 x) 3 6(x i x i 1 ) + [6y i 1 M i 1 (x i x i 1 ) 2 ](x i x) [6y i M i (x i x i 1 ) 2 ](x i 1 x). 6(x i x i 1 ) Para determinar os coeficientes M 0,..., M n é necessário impôr as n 1 condições: S i (x i ) = S i+1 (x+ i+1 ). Faltam mais duas condições para podermos determinar todos os M i. Para isso temos que usar condições fronteira. Por exemplo, fixando S 1 (x 0) e S n(x n ) ou então S 1 (x 0) e S n(x n ). 4 Métodos numéricos para equações não lineares Após termos tratado a resolução de equações lineares, queremos agora desenvolver métodos para obter aproximações de soluções de equações não lineares, nomeadamente encontrar zeros de funções. Seja f : D R d com D R d. O nosso problema é então resolver a equação f(z) = 0, onde z D é zero de f. Esta tarefa não é trivial. Por exemplo, para f(x) = e x + x é simples verificar que existe pelo menos um zero visto que é uma função contínua com f( 1) < 0 < f(0). Porém, a determinação de um zero não é simples. Se uma função não for contínua, pelo menos no intervalo que estejamos interessados em estudar, então torna-se impossível determinar um zero. Assumimos assim que as funções estudadas são contínuas nos respectivos domínios. 4.1 Método da bissecção Este método é restrito ao caso d = 1 pois baseia-se num resultado de análise em R: o teorema do valor intermédio (teorema de Bolzano). Considere f C 0 ([a, b]) tal que f(a) f(b) < 0, i.e. os sinais de f nos extremos do intervalo são contrários. Pelo teorema do valor intermédio existe pelo menos um zero em ]a, b[. Este facto leva-nos a considerar um algoritmo simples de pesquisa de zeros. Denotando I 0 = [a 0, b 0 ] com a 0 = a e b 0 = b, testamos o sinal de f no valor médio de I 0 dado por a 0+b 0 2. Escolhemos então um novo intervalo I 1 = [a 1, b 1 ] com metade da largura do anterior e onde temos seguramente um zero (por ter extremos com sinais contrários). Iterando este procedimento obtemos uma sucessão de intervalos I n = [a n, b n ] I n 1, n N, contendo um zero de f, onde o par dos extremos de cada intervalo é dado por { (a n 1, a n 1+b n 1 (a n, b n ) = 2 ), f(a n 1 ) f( a n 1+b n 1 2 ) < 0 ( a n 1+b n 1 2, b n 1 ), f(a n 1 ) f( a n 1+b n 1 2 ) 0. A aproximação a z em cada passo é escolhida como o ponto médio de I n : x n = a n + b n. 2 Note que se obtivermos f(a n ) = 0 ou f(b n ) = 0 para algum n, então o zero está determinado e a iteração pode terminar. 26

27 Exercício 32. Implemente computacionalmente o método da bissecção para determinar zeros de uma função f C 0 ([a, b]). Use-o para calcular um zero de f(x) = e x + x O próximo teorema determina a convergência deste algoritmo e o erro de aproximação a cada passo n dado por e n = z x n. Teorema 4.1. Seja f C 0 ([a, b]) tal que f(a) f(b) < 0. Então, lim x n é um zero de f e e n b a 2 n+1. Demonstração. Note que a n e b n são sucessões limitadas e monótonas, logo convergentes. Assim a n+b n 2 também converge sendo o limite denominado z. Por outro lado, como a largura de I n é dada por b n a n 1 2 (b n 1 a n 1 ) 1 2 (b a), os limites de a n n e b n são também iguais a z. O erro é estimado por metade da largura de I n, i.e. e n 1 2 (b n a n ). Falta verificar que f(z) = 0. Ora, como f(a n ) f(b n ) < 0, usando o facto que f é contínua, lim f(a n ) f(b n ) = f(lim a n ) f(lim b n ) = f(z) 2 0. Ou seja, f(z) = Método de Newton O método de Newton corresponde a uma iteração onde em cada passo determinamos o zero da linearização de f. Este passo é trivial pois sabemos calcular zeros de sistemas lineares desde que não seja um sistema singular. Como iremos ver, o método de Newton distingue-se pela sua rapidez de convergência para um zero de f. O preço a pagar é a necessidade de obter uma boa condição inicial x 0. Ou seja, a convergência só é boa se x 0 estiver já numa vizinhança suficientemente pequena de z. Recorde que a fórmula de Taylor de 2 a ordem em redor de x 0 para uma função C 2 é dada por f(x) = f(x 0 ) + Df(x 0 ) (x x 0 ) + R 2 (x, x 0 ), onde a matriz derivada é Df(x 0 ) = [ ] fi (x 0 ) x j i,j=1,...,d e R 2 é o resto de ordem 2, i.e. R 2 (x, x 0 ) C x x 0 2 para algum C dependendo de x 0. Queremos resolver f(z) = 0, mas em vez disso calculamos o zero x 1 da linearização de f: dado por f(x 0 ) + Df(x 0 ) (x 1 x 0 ) = 0 x 1 = N(x 0 ) = x 0 Df(x 0 ) 1 f(x 0 ) desde que a derivada de f seja invertível em x 0. Observe agora que f(x 1 ) = R 2 (x 1, x 0 ) tem norma da ordem x 1 x 0 2. O caso d = 1 não se distingue do caso d 2. Porém, em dimensão 1 temos também uma interpretação geométrica do algoritmo, tendo em conta que a linearização de f é a recta tangente ao gráfico da função em cada ponto. Ou seja, x 1 é o ponto de intersecção entre a recta e o eixo horizontal (ver Figura 3). Iterando o procedimento anterior obtemos o algoritmo: x n+1 = N(x n ), n N, 27

28 f x 1 x 0 x Figura 3: Exemplo do primeiro passo do método de Newton em dimensão 1. para uma escolha inicial x 0. Como N é contínua, se lim x n existe este é necessariamente um zero de f. De facto, lim N(x n ) = N(lim x n ) = lim x n Df(lim x n ) 1 f(lim x n ). Assumindo que a derivada é invertível nesse ponto, a igualdade lim x n+1 = lim N(x n ) verifica-se sse f(lim x n ) = 0. Para determinarmos a convergência e uma estimativa do erro, consideremos primeiro o caso unidimensional. Teorema 4.2. Seja f C 2 ([a, b]) tal que 0 < m f (x) M e f (x) M, x ]a, b[, e c = M (2m) 1. Para x 0 na vizinhança de raio c 1 de um zero z de f, lim x n = z, e n+1 c e n 2 e e n c 1 (c e 0 ) 2n. Demonstração. Escrevendo a fórmula de Taylor de 2 a ordem em torno de x n para o ponto z com ξ entre z e x n, obtemos Logo, f(z) = f(x n ) + f (x n )(z x n ) f (ξ)(z x n ) 2 = 0 z = N(x n ) f (ξ) 2f (x n ) (z x n) 2. e n+1 = z x n+1 = f (ξ) 2f (x n ) e n 2 c e n 2. Por indução, temos que e n c 1 (c e o ) 2n. Se e o < c 1, então e n 0 e lim x n = z. Teorema 4.3. Sejam f C 1 (D), D R d aberto e convexo, z D zero de f, Df(z) invertível, Df(z) 1 β e Df(x) Df(y) γ x y, x, y D. Para qualquer x 0 D, lim x n = z e e n c 1 (c e 0 ) 2n para alguma constante c > 0. Exercício 33. *Prove o Teorema 4.3. Exercício 34. Compute numericamente zeros para a função f(x, y) = (1 + e x sin y x, x 2 e sin y ). 28